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1、第五章 连续系统的S域分析,上一章讨论的傅里叶变换法对系统分析无疑是有用的.,它使响应的求解得到简化。特别在有关信号的分析与处理方面诸如有关谐波成分、频率响应、系统带宽、波形失真等问题上，它所给出的结果都具有清楚的物理意义。,但它也有不足之处：,1、傅里叶变换存在的充分条件是 =有限值， 因而有些工程中常用的信号如 、 等并 不满足该条件，因而不能从定义来求。还有一些信号 如 根本不存在傅里叶变换,无法在频域进行分析.,2、傅里叶逆变换的确定有时是很困难的，因此使傅里 叶变换的应用受到限制。,3、它只能求出系统的零状态响应，零输入响应还得用 其他方法确定。,在这一章中将通过把频域中的傅里叶变换
2、推广到复频域来解决这些问题-即拉普拉斯变换。,应用拉普拉斯变换进行系统分析的方法，同样是建立在线性时不变系统具有叠加性和齐次性的基础上的，只是信号分解的基本单元函数不同。因此这两种变换，无论在性质上或是在进行系统分析的方法上都有着很多类似的地方。事实上，傅里叶变换可看成是拉普拉斯变换的一种特殊情况。,因此，傅立叶变换是拉普拉斯变换的一个特例。拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广。,由于当,本章共四节：拉普拉斯变换；拉普拉斯变换的性质；拉普拉斯逆变换；复频域分析；,一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换,那么，能不能将这些信号乘上一个衰减因子，这 样它就可能满足绝对可积条件？正是这种想法， 引出了拉普拉斯变换
3、。,如：一个指数增长的信号 显然不满 足绝对可积条件，且它的傅里叶变换是不存在的。,51 拉普拉斯变换,对任意信号 乘以一个衰减因子 ,适当 选取 的值使 当 时, 信号幅度趋于0，从而使其满足绝对可积的条件：,例如,不满足绝对可积的条件。,只要,满足绝对可积的条件。,又如,也不满足绝对可积的条件。,只要,满足绝对可积的条件。,上述积分结果是 的函数，令其为 即：,假设 满足绝对可积条件，则,由傅立叶逆变换得：,令 ， 为实数，则 于是上面 两个式子变为：,式称为双边拉普拉斯变换对；称为 的双边拉氏变换（或象函数）；称为 的双边拉氏逆变换（或原函数）。,二、收敛域,如前所述，选择适当的 值才可
4、能使 满 足绝对可积,才可使(1)式积分收敛，信号 的双边拉普拉斯变换存在。通常把 满足绝对可积的 值的范围称为收敛域。,我们先来研究两种信号：,（1）因果信号,（2）反因果信号,解：,可见对于因果信号，仅当 时， 其拉氏变换才存在。其收敛域为 。,在以 为横轴， 为纵轴的 平面（复平面），是一个区域，称为拉普拉斯变换的收敛域或 象函数的收敛域。如下图 所示。,收敛边界,解：,可见对于反因果信号，仅当 时， 其拉氏变换才存在。其收敛域为 。 如图所示。,S平面,如果一个双边函数,其双边拉氏变换为,如果 ，当然存在共同的收敛域 ，收敛域是带 状区域 ;,如果 则没有共同的收敛域， 不存在。,双边
5、函数 的收敛域,当收敛域包含虚轴时，拉氏变换与傅氏 变换同时存在，将 代入即可得其傅氏 变换。,双边拉氏变换便于分析双边信号,但其收敛条件较为苛刻,这也限制了它的应用,单边拉氏变换,实际用到的信号都有初始时刻，不妨设其为坐标原 点，这样， 时， 从而拉氏变换可写成,本章仅讨论单边拉普拉斯变换，单边拉普拉斯变换简称为拉普拉斯变换或拉氏变换。,这里 0是指,三、 （单边） 拉普拉斯变换,的拉氏变换简记为:,逆变换简记为:,1、拉普拉斯变换的符号表示,（2）存在某个 有,(1) 在有限区间 内可积。,那么对于 ，拉氏积分收敛。,2收敛域（单边拉氏变换存在条件）,我们称 为 指数阶的。,其中,(1)
6、在有限区间 内可积。,条件1表明， 可以包含有限个间断点，只要求它在有限区间可积。,（2）存在某个 有,满足条件2，且 有界，其拉氏变换 存在,满足条件2，但 无界，其拉氏变换 不存在,说明：,(1) 在有限区间 内可积。,条件2表明， 可以是随t的增大而增大的，只要它比某些指数函数增长的慢即可。,（2）存在某个 有,满足条件1，但不满足条件2，其拉氏变换不存在,说明：,满足条件1，且 选 ，有 其拉氏变换存在,再例如：,增长比任何指数阶都快，所以不存在拉氏变换。,而,定理表明，满足条件1和2的因果函数 存在拉氏变换，其 收敛域为 以右，即 的半平面，而且积分是一致收敛的,(1) 在有限区间
7、内可积。,（2）存在某个 有,说明：,另外，要注意还有一类信号：时限信号收敛域,时限信号的收敛域为整个 平面。,即,时限信号对于任何 都有,解：这个信号显然是可积的，且对于任何 都有,所以收敛域是整个 S 平面。,3常用信号的拉氏变换,例5.1-4 求 、 的象函数。,解： ， 均为时限信号，所以收敛域 为整个 平面。,解：,特例：,*.收敛域简单记忆法 ：,其中 为 所有极点的实部的最大值。,的收敛域为：,*.由于单边拉氏变换的积分区间是 ，所以 ， 与 的拉氏变换相同。为简便，时间函数中的 也常略去不写。,因此，傅立叶变换是拉普拉斯变换的一个特例。拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广。,由于当,
8、拉氏变换与傅里叶变换比较:,2.拉氏变换是傅氏变换的拓展，它对信号的限制要宽 的多。象函数是复变函数，它存在于收敛域的半平面 内，而傅里叶变换仅是收敛域中虚轴上的函数。,4.但拉氏变换也有不足之处，单边拉氏变换仅适用 于因果信号，而且它们的物理意义不很明显，例 有明确的物理含义，而 却没有明确的含义。,拉氏变换与傅里叶变换比较:,3. 拉氏变换可同时求解零输入响应和零状态响应， 且拉氏逆变换容易求得。,一线性,则,52 拉普拉斯变换的性质,且有常数,实际上若是两函数之差,收敛域有可能扩大， 这是由于位于收敛边界的极点被抵消的缘故。,有限个函数求和,例5.2-1 求单边正弦函数 和单边余 弦函数
9、 的象函数。,解：因为,同理因为,证明：,令,二尺度变换,得证。,若 且 为正实常数则,证明:,三时移（延时）特性,如函数 ，显然 与不同，其象函数也不相同。,这里注意一下延时信号是指因果信号 延时 后的信号 ,并非 。,例5.2-2 求矩形脉冲,的象函数。,解:,例5.2-3 求在 时接入的周期性单位冲激函 数序列 的象函数。,解:,这是等比级数。当 时 该级 数收敛，所以,这里象函数的收敛域比任何一个冲激函数的收 敛域都小,而线性性质的收敛域只适用于有限 个函数求和的形式。,四复频域 ( 域平移)特性,若 且有复常数 ，则,证明:,例5.2-4 求衰减的正弦函数 及 衰减的余弦函数 的象函
10、数.,解：,同理,例5.2-5 已知因果信号 的象函数,求 的象函数。,解:,微分定理: 若,则,五时域微分特性(定理）,主要用于求解具有初始条件的微分方程,收敛域至少是,证明:,其他结论可由此推得。,则,如,如果 是因果信号，则由于 微分特性具有更简洁的特性：,例5.2-6 若已知 的象函数 为 ，求 的象函数。,解法一：,例5.2-6 若已知 的象函数 为 ，求 的象函数。,解法二：,六时域积分定理P222,其收敛域至少是 和 相重叠的 部分。,若,则,若,则,证明：设n=1,若 是因果函数，则,证明：,这里,时域积分特性也应用于求某些函数的拉普拉斯变换:先求导,再积分.,时域积分特性应用于求某些函数的拉普拉斯变换:先求导,再积分.,下面说明微分及积分定理应用时应注意的问题：,图5.2-1 微分与积分特性的应用,(1),由图可见,结论：两个函数只要t0-是相同，其拉氏变换就相同。,这是由于,可见,（3） 和 的一阶导数的拉氏变换相同，那么， 和 的拉氏变换是否相同？,例5.2-8 已知 ，利用阶跃函数的积分 求 的象函数。,解： 由于,利用积分特性及 得,例5.2-7 求三角脉冲,的象函数。,解：,令 则,七卷积定理,
