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1、二 极坐标系 第1课时 极坐标系的概念,【自主预习】 1.极坐标系 (1)取极点:平面内取一个_. (2)作极轴:自极点引一条射线Ox. (3)定单位:选定一个长度单位,一个角度单位(通常取 弧度)及其正方向(通常取逆时针方向).,定点O,2.点的极坐标 (1)定义:有序数对(,)叫做点M的极坐标,记为 _. (2)意义:=_,即极点O与点M的距离(0). =_,即以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角.,M(,),|OM|,xOM,【即时小测】 1.极坐标系中,下列与点(1,)相同的点为 ( ) A.(1,0) B.(2,) C.(1,2016) D.(1,2017),【解析】选D.点(1,)
2、的极径为1,极角为,由终边相同的角的概念得,点(1,)与点(1,2017)相同.,2.点M的直角坐标是(-1, ),则点M的极点坐标为( ),【解析】选C.由2=x2+y2,得2=4,=2, 则cos=x得:cos=- , 结合点在第二象限得:= , 则点M的极坐标为,【知识探究】 探究点 极坐标系 1.平面直角坐标系与极坐标系有什么不同?,提示:(1)两种坐标系形式上的区别是直角坐标系有原点,x轴,y轴,极坐标系有极点、极轴. (2)点的直角坐标是有序实数对(x,y),点的极坐标是(,).,2.极坐标系中,点的极坐标唯一吗?,提示:(1)由于极坐标系中,对于给定的有序数对(,)都有唯一确定的
3、点与之对应,但是,对于给定一点M,可以有无数个有序数对(,+2k)(kZ)与之对应,所以极坐标系中的点与极坐标不能建立一一对应关系. (2)如果规定0,02,那么除极点外的任意一点都有唯一的极坐标(,)与之对应,反之亦然.,【归纳总结】 1.极坐标系的四要素 极点;极轴;长度单位;角度单位和它的正方向.四者缺一不可. 2.在极坐标系中找点的位置,应先确定极角,再确定极径,最终确定点的位置.,特别提醒:若已知点的极坐标(,),则点是确定的,反之,若已知点,则其极坐标不确定.,类型一 极坐标系与点的极坐标 【典例】在极坐标系中,点P 到极点的距离为 _,点P 到极轴的距离为_.,【解题探究】怎样求
4、点到极点和极轴的距离? 提示:点到极点的距离等于极径,点到极轴的距离转化为三角函数计算.,【解析】因为在极坐标系中,点P ,=2,= ,所 以点P到极点的距离为2,点P到极轴的距离为2sin =1. 答案:2 1,【方法技巧】确定点的极坐标的方法 点P的极坐标的一般形式为(,+2k),kZ,则 (1)为点P到极点的距离,是个定值. (2)极角为满足+2k,kZ的任意角,不唯一,其中是始边在极轴上,终边过OP的任意一个角,一般取绝对值较小的角.,【变式训练】1.在极坐标系中,极轴的反向延长线上一点M与极点的距离为2,则点M的极坐标的下列表示: (2,0);(2,);(2,-);(2,2k)(kZ
5、). 其中,正确表示的序号为_.,【解析】由于极轴的反向延长线上一点M与极点的距离为2,极角的始边为Ox,终边与平角的终边相同,故点M的极坐标为(2,+2k)(kZ),故正确. 答案:,2.如图,在极坐标系中, (1)作出以下各点:(2)求点E,F的极坐标(,)(0,R).,【解析】(1)如图,在极坐标系中,点A,B,C,D的位置是 确定的. (2)由于点E的极径为4, 在0,2)内,极角 又因为点的极坐标为(,)(0,R),所以点E的极坐标为 同理,点F的极坐标为,类型二 极坐标系中两点间的距离 【典例】在极坐标系中,点O为极点,已知点 求|AB|的值.,【解题探究】根据点A,B在极坐标系中
6、的位置关系,可得AOB为多少度? 提示:AOB=90.,【解析】因为 故AOB=90,故,【延伸探究】 1.本例已知条件不变,试求AOB的面积.,【解析】因为 故AOB=90, 所以SAOB=,2.本例已知条件不变,试求线段AB中点的极坐标.,【解析】设线段AB中点M的极坐标为(,), 则 故线段AB中点M的极坐标为,【方法技巧】点与极坐标的对应关系以及两点间的距离公式 (1)在极坐标系中,点的极坐标不唯一,这是由于与角1的终边相同的角的集合为|=1+2k,kZ. 如果限定0,0,2),那么,除极点外,点与有序数对(,)可以建立一一对应关系.,(2)在极坐标系中,如果P1(1,1),P2(2,
7、2),那么 两点间的距离公式 的两种 特殊情形为: 当1=2+2k,kZ时,|P1P2|=|1-2|; 当1=2+2k,kZ时,|P1P2|=|1+2|.,【变式训练】1.(2016南昌高二检测)在极坐标系中, 两点 间的距离是 ( ) A. B. C.6 D. 4,【解析】选B.|AB|=,2.在极坐标系中,若ABC的三个顶点为 判断三角形的形状.,【解析】 所以ABC是等边三角形.,自我纠错 已知距离求点的极坐标 【典例】已知在极坐标系中,O为极点, B(, ),OAOB,|AB|=5,0,0,2),求点B的极坐 标.,【失误案例】,分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:出错的根本原因是对题目中的垂直条件理解不全面,导致确定极角时漏掉一种情况. 正确解答过程如下:,【解析】由OAOB,得 kZ, 即 kZ,由0,2),得 由 得 故=4. 所以点B的极坐标为,
