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1、,第四章,滤波器设计方法及基本结构,4.1 引言,数字滤波器的总体设计步骤包括：,（1）按照设计要求，确定滤波器的性能指标；,（2）采用一个因果、稳定的离散LTI系统的系统函数逼近该性能指标;,（3）利用有限精度算法来实现该系统函数;,（4）采用通用计算机软件、专用或通用的数字信号处理器（DSP）来实现。,本章主要讨论其中的第（2）项和第（3）项 中的运算结构等内容,4.2 模拟滤波器的设计,按照频率特性，模拟滤波器可分为低通、高通、带通、带阻和全通等类型。,模拟低通滤波器的传输函数经频率变换可以转换成模拟高通、带通和带阻滤波器。,设计模拟低通滤波器是根据一组设计规范求得模拟系统函数，使其逼近
2、理想低通滤波器的特性。通常可根据滤波器的幅度平方函数进行逼近，也可根据相位特性或群延迟特性进行逼近。,模拟低通滤波器的幅度平方逼近函数有巴特沃斯型、切比雪夫型和椭圆型函数等。,4.2.1 低通模拟滤波器特性及幅度平方逼近,1理想滤波器的幅频特性,上图给出了各种理想滤波器的幅频特性，这些 特性包括：,(1)通带内传输函数的幅度是常数，相移特性是线性的；,(2)阻带内传输函数的幅度为零，对相移特性没有要求；,(3)从通带到阻带有一个过渡带，对于理想滤 波器为零。,2. 低通滤波器的技术指标及其幅频特性,对于模拟低通滤波器，技术指标包括：,通带截止频率 及通带内的最大衰减 （或通带边缘增益 ）或通带
3、波纹 ；(2)阻带截止频率 及阻带内最小衰减 （或阻带边缘增益 ）或阻带波纹 。,对于单调下降的幅度特性，如果 且 ， ，则 称为3dB截止频率 或半功率截止频率。 通带波纹 用来描述通带内最大和最小增益之差， 即 。衰减为 。可得 与 的关系为：,阻带波纹 用来描述阻带内的最大增益， 即 。衰减为 dB，可得 与 的关系为：,给定技术指标后，模拟滤波器的设计任务就是求得一个系统函数 ，使其满足该技术指标。,3由幅度平方函数确定系统函数,模拟滤波器的幅度响应常用幅度平方函数来表示，即,由于滤波器冲激响应是 实信号，有 ，所以,若已知 ，如何求得 呢？,由于 为实信号，其系统函数中的极点（或零
4、点）必以共轭对形式出现。又由于实际可实现的滤波器 都是稳定的，其系统函数 的极点一定位于s左半平 面，而 的极点一定位于s右半平面，即左半平面 的极点属于 ，而右半平面的极点属于 。,4.2.2 巴特沃斯滤波器设计1巴特沃斯滤波器的特性,巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数定义为：,式中，N为正整数，表示滤波器的阶数， 为3dB截止频率。,应用巴特沃斯幅度平方函数描述的低通滤波 器具有如下特点。,（1）当 时， 。,（2）当 时， ， ， 或 。,（4）当 时，即过渡带和阻带内， 也随 着 的增大单调减小，但比通带内衰减的速度快得 多，且N越大，衰减速度越快，过渡带也就越陡峭， 如图所示。,（3）
5、当 时，即通带内， 随着 的 增加单调减小，且N越大，实际越慢，通带也就越平 坦。,巴特沃斯滤波器幅度特性及其与N的关系,2巴特沃斯滤波器的系统函数,将 代入式中，可得：,可见，巴特沃斯滤波器是一个全极点型滤波器。共 有2N个极点，每个极点表示如下：,由上可看出， 的极点分布特点为：,（1）极点在s平面是象限对称的，分布在半径为 的圆（巴特沃斯圆）上，共有2N个极点。极点间的角度间隔为 。,（2）极点绝不能落在虚轴上，这样滤波器才有可能稳定。,（3）N为奇数时，实轴上有极点；N为偶数时，实轴上无极点。,选取在左半平面上的极点作为 的极点，因此 有：,例4-1 导出三阶巴特沃斯型低通滤波器的系统
6、函数，已知,解 该巴特沃斯型低通滤波器的幅度平方函数为：,即,各极点为：,即,极点的分布如图所示。,取s平面左半平面的极点 、 和 组 成 ：,3巴特沃斯模拟滤波器的设计方法,确定技术指标，包括：通带截止频率 及通带 内的最大衰减 ，阻带截止频率 及阻带内最 小衰减 。,根据式得到：,从而得到：,则,当 时，简化得：,例4-2 已知一个模拟低通滤波器通带截 止频率 通带最大衰减 阻带起始频率 ，阻带最小衰 减 ，试根据上述要求设计巴特 沃斯低通滤波器。,解 （1）确定滤波器的阶数,因为 ，由 及 可求得,则,取阶数N5。,因为 所以,（2）计算s左半平面上的N个极点,（3）写出滤波器的系统函数
7、,4.2.3 切比雪夫I型滤波器设计,1切比雪夫滤波器的特性,若切比雪夫滤波器的幅度特性在通带内是等波纹的， 而在阻带内是单调的，则称之为切比雪夫I型滤波器，如图 所示,若幅度特性在通带内是单调的，而在阻带内是等波纹 的，则称之为切比雪夫II型滤波器。这里主要介绍切比雪夫I型滤波器的设计。,N阶切比雪夫I型滤波器形状,N阶模拟切比雪夫I型滤波器，其幅度平方函数定义为：,式中，参数 为小于1的正数， 为低通滤波器的截止频率 （不一定是3dB频率）。 是N阶切比雪夫多项式，定义为：,可知，幅度平方函数由阶数N和参数 确定。,2切比雪夫模拟滤波器的设计方法,模拟切比雪夫I型滤波器的阶数N可由下式确定
8、：,式中， 由阻带边缘增益 （如图所示）计算得到：,参数 由通带边缘增益计算得到：,则系统函数为：,线性增益频谱图,例4-3 一个模拟低通滤波器，要求通带截止频率为3kHz，通带最大衰减为0.1dB，阻带截止频率为12kHz，阻带最小衰减为60dB。应用切比雪夫I型滤波器的设计方法求该滤波器的幅度函数。,解,由 ，求得 ，则,由 ，求得 。则,所需滤波器的阶数为：,取N=5，则该模拟低通滤波器的幅度表示为：,4.3 无限冲激响应（IIR）数字滤波器设计,无限冲激响应滤波器也称为递归滤波器，其所 对应的差分方程如下：,一般IIR滤波器的传输函数为：,具有M个零点和N个极点，可见递归滤波器不能保证
9、其稳定性。所以，稳定性检验是许多IIR滤波器设计的重要组成部分。,递归滤波器很难实现非递归滤波器所具有的线性 相位；递归滤波器的优势在于，在实现类似的性能要 求时，递归滤波器比非递归滤波器所需要的系数 （或阶数）要小得多。,设计IIR数字滤波器一般有以下两种方法。,递归滤波器与非递归滤波器之间的区别还包括：,（1） 先按照技术指标设计一个模拟滤波器 ，然后再按 照一定的映射关系将 转换成数字滤波器的 。,（2） 计算机辅助设计法。这是一种最优化的设计方法。这 种设计需要进行大量的迭代运算，故需要计算机的支持。,我们主要介绍第一种方法，即利用模拟滤波器设计 数字滤波器。那么，如何将模拟滤波器的传
10、输函数 转换成数字滤波器的传输函数 呢？,模拟滤波器到数字滤波器的转换可以在时域实现，也可以在频域实现。,时域转换法是使数字滤波器的时域响应与模拟滤波器的时域 采样值相等，具体方法有：冲激响应不变法、阶跃响应不变法和 匹配z变换法。,频域变换法是使数字滤波器在范围内的幅度特性与模拟滤波 器在范围内的幅度特性一致，具体方法有：双线性变换法、微分 映射法。,上述方法中得到广泛使用的有冲激响应不变法和双线性变换法。,无论采用哪种方法，为了保证由 转换得到的 仍然满足技术指标并具有稳定性，复变量s到复 变量z之间的映射关系必须满足以下两个基本要求：,（1） 的频率响应要能够模仿 的频率响应。,（2）因
11、果稳定的 能够映射成因果稳定的 。,4.3.1 冲激响应不变法,1 变换原理,冲激响应不变法是依据数字滤波器的冲激响应 与模拟滤波器的冲激响应 在采样点上值 相等，即,如果令 是 的拉普拉斯变换， 是 的z变换，则由模拟系统的系统函数 求拉普 拉斯逆变换得到模拟的冲激响应 ，然后采样得 到 ，再取z变换得 。,s平面和z平面之间的对应关系：,下图显示了冲激响应不变法的s域到z域的映射关系。,若将 和 代入 ，可得,分析结果表明： （1） 当 ，即 时， ，即s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上； （2） 当 时， ，即s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内； （3） 当 时， ，即s平面的右半平
12、面映射到z平面的单位圆外。,分析图不难发现，从s平面到z平面是一种多值映射关系，因此，要求 必须在 内严格带限，且带限于折叠频率以内时，即,2 混叠失真,时才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤 波器的频率响应而不产生混叠失真，即,但是，任何严格设计的模拟滤波器的频率响应都不是严格带限的，变换后会产生周期延拓分量的频谱交叠。,由于 是实数，因而 的极点必成共轭对存在， 则 变成 的映射关系为：，,3 模拟滤波器数字化,例4-4 已知模拟滤波器的系统函数为试用冲激响应不变法求出相应的数字滤波器的系统函 数。解,根据冲激响应不变法中z平面和s平面的映射关系可知，相应 的数字滤波器在 处有一对极点，其系统函数为：这是一个二阶递归滤波器，在 处有一对共轭极 点，在 和 处有两个零点。,将进行部分分式展开得,4 冲激响应不变法的优缺点,冲激响应不变法的最大优点是保持了模拟滤波器的时域瞬态特性，具有良好的时域逼近，而且模拟频率和数字频率之间呈线性映射关系。,冲激响应不变法的主要缺点是有频域混叠，所以它只适用于带限的模拟滤波器。,
