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1、初等数学研究,主讲人：张新颜,第二章 数学问题研究,问题1：“八字眉”问题,除了“8点又 分”，还有没有其它时刻时针与分针也处于对称位置？如果有，共有几次？它们分别在哪一时刻？,“八字眉”问题实际上是求钟表上时针与分针的相对位置是哪一时刻的问题，诸如此类的问题还有很多，比如：在哪一时刻时针与分针重合、垂直、成30度角等等。,典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。牧场上有一片青草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周。如果草每周生长速度相同，那么这片青草可供21头牛吃几周?,问题3：牛吃草问题,方法一
2、每天的长草量： ( 239276)( 96 ) 15 ( 单位量) 牧场原有草量 ：(2715 )672( 单位量) 或：(2315 )972( 单位量) 21头牛去吃，可吃天数： 72( 2115 ) 12 牧场原有草量 21头牛每天实际消耗原有草量可吃天数,解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是 草的生长速度（对应的牛头数吃的较多天数相应的牛头数吃的较少天数）（吃的较多天数吃的较少天数）； 原有草量牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数； 吃的天数原有草量（牛头数草的生长速度）； 牛头数原有草量吃的天数草的生长速度。,方法二 设而不求法设这片青草可供21头牛吃x周，每头牛每周吃草量为a，每周
3、新长出的草量为b，牧场原有的草量为m。,练习： 一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速地进入船内。如果10人舀水，3小时可以舀完；5人舀水，8小时可以舀完。如果要求2小时舀完，要安排多少人舀水?解：设1人1小时的舀水量为“1”。每小时进入船内的水量为：(58-103)(8-3)=(40-30)5=105=2(份)船内原有的水量为:103-23=30-6=24(份)2小时船内的总水量为:24+22=28(份)2小时舀完水需要的人数是:282=14(人),某火车站的检票口，在检票开始前已有人排队，检票开始后每分钟有10人前来检票，一个检票口每分钟能让25人检票进站。如果只开一个检票口，检票开
4、始8分钟后就没有人排队了；如果开2个检票口，那么检票开始后多少分钟就没有人排队了？解：8分钟时，检票口共检票:258=200(人)8分钟时，车站新进来的检票人数为:108=80(人)车站原来等待检票的人数为:200-80=120(人)同时开两个检票口需要的时间是:120(252-10)=12040=3(分钟),现在父母年龄的和是子女年龄和的6倍；2年前，父母年龄的和是子女年龄和的10倍；6年后，父母年龄的和是子女年龄和的3倍，问共有子女几人？解：设现在父母年龄的和为x岁，子女年龄和为y岁，子女共有z人,由题意得：,一水库存水量一定，河水均匀入库。5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续
5、15天可抽干。若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？解：5台抽20天相当于1台抽多少天？ 520=1006台抽15天相当于1台抽多少天？ 615=90（20-15）天流入水库的水相当于1台抽多少天？ 100-90=101天流入水库的水相当于1台抽多少天？ 105=2水库原有的水相当于1台抽多少天？ 100-220=60或 90-215=606天流入水库的水相当于1台抽多少天？ 26=126天抽完需要多少台抽水机？ （60+12）6=12,问题3：鸡兔同笼问题,大约在1500年前，孙子算经中就记载了这个有趣的问题。,折半法,去足法,增头法,二元一次方程组,公式法,推算法,一元一次方程,翅膀当足
6、,面积法,图像法,折半法,去足法,增头法,二元一次方程组,公式法,推算法,一元一次方程,翅膀当足,面积法,图像法,列表推算假设若笼中全是鸡或兔，足将分别是70只或 140只，可见鸡多兔少。设鸡34只、兔1只，则有72足；若鸡33只、兔2只，则有74足；这样鸡逐一减少，兔逐一增加，最后必能推算出鸡23只，兔12只。,计算推算假设若笼中全是兔子，相当于每只鸡增加2条腿，鸡的数量是(435 - 94)(4 - 2)=23(只)假设若笼中全是鸡，相当于每只兔子减少2条腿，兔子的数量是(94 - 235)(4 - 2)=12(只),折半法,去足法,增头法,二元一次方程组,公式法,推算法,一元一次方程,翅
7、膀当足,面积法,图像法,“金鸡独立”波利亚笼中鸡独足立地，兔双足站立，则触地足是原足数的一半。兔子的数量是 94 2 - 35=12(只)鸡的数量是 35 - 12=23(只),折半法,去足法,增头法,二元一次方程组,公式法,推算法,一元一次方程,翅膀当足,面积法,图像法,去足法周沛耕假象鸡兔都受过专门训练，具有特异功能，听到哨声，鸡就展翅飞翔，兔子前腿离地站立起来。兔子的数量是 (94-352)2=12(只)鸡的数量是 35 - 12=23(只),折半法,去足法,增头法,二元一次方程组,公式法,推算法,一元一次方程,翅膀当足,面积法,图像法,假设笼中每个小动物都再长出一个头来兔子的数量是(9
8、4-352)2=12(只)鸡的数量是 35 - 12=23(只),假设兔子再长出一个头来，然后把它劈开，变成“一头两腿”的兔子单墫兔子的数量是 942-35=12(只)鸡的数量是 35 - 12=23(只),折半法,去足法,增头法,二元一次方程组,公式法,推算法,一元一次方程,翅膀当足,面积法,图像法,把鸡的两个翅膀当成双脚张景中 鸡的数量是 354-942 =23(只)兔子的数量是35 - 23=12 (只),折半法,去足法,增头法,推算法,翅膀当足,公式,二元一次方程组,公式法,一元一次方程,面积法,图像法,折半法,去足法,增头法,二元一次方程组,公式法,推算法,一元一次方程,翅膀当足,面
9、积法,图像法,一元一次方程 设鸡的数量为x，则兔子的数量为35-x2x+4(35一x)=94,折半法,去足法,增头法,二元一次方程组,公式法,推算法,一元一次方程,翅膀当足,面积法,图像法,二元一次方程 设鸡的数量为x，兔子的数量为y,折半法,去足法,增头法,二元一次方程组,公式法,推算法,一元一次方程,翅膀当足,面积法,图像法,图像法 (1)先画头和身；(2)再按鸡生足；(3)补足差数；(4)鸡兔见分晓，兔12只，鸡23只。,折半法,去足法,增头法,二元一次方程组,公式法,推算法,一元一次方程,翅膀当足,面积法,图像法,长方形的长表鸡（兔）的数量，宽表示每只鸡（兔）腿的数量，面积则分别表示鸡
10、（兔）腿的总数。,化归思想 枚举思想 数形结合思想 假设思想 方程思想 建模思想,“鸡兔同笼”中的数学思想方法,100名师生绿化校园，老师每人栽3棵树，学生每两人栽1棵树，总共栽树100棵，求老师和学生各栽树多少棵？某小学举行一次数学竞赛，共15道题，每做对一题得8分，每做错一题倒扣4分，小明共得72分，他做对了多少道题？小明运送25个花瓶,规定运送一个运费4元,损伤一个,不但不得运费,还得倒赔10元。如果小明共获运费44元,那么在运输途中他损伤了几只花瓶?有2角、5角和1元的人民币20张，共计12元，三种票子各多少张？,“鸡兔同笼”问题变形,问题4：七桥问题,在18世纪的哥尼斯堡（当时属德国
11、东普鲁士）的省会，1944年后变成前苏联的加里宁格勒，有一条普雷格尔（Pregel）河横穿哥尼斯堡城，河里有两个小岛，岛与岛之间有7座桥当地居民热衷于一个流传很广的难题：一个人能否设计一次散步，从两岸或两个小岛的某处出发，经过每座桥一次且仅一次，再回到出发点。,1736年，年仅29岁的瑞士数学家欧拉解决了哥尼斯堡七桥问题，开创了数学研究的新领域图论。1736年被数学界公认为“图论元年”。欧拉创立了一门新的几何学，即拓扑学数学的一个十分奇特的分支。,不抬笔，不重复,基本知识 偶（奇）顶点：从顶点出发的边的条数为偶（奇）数的顶点。这里的边可以是曲线。欧拉图：不重复地走遍每一边再返回原点，构成一条欧
12、拉回路，有欧拉回路的图称为欧拉图。一笔画：下笔后，笔不理纸，一次可以重复地走遍每一边。连通图：若图中任意两点都有连接它们的边存在，则这个图称为连通图，否则称为不连通图。,判断下列图形能否一笔画,不连通的图形不能一笔画,连通的图形有可能一笔画,不连通的图形不能一笔画,连通的图形有可能一笔画,全都是偶点的连通图可以一笔画,奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画,画时以任一点为起点，最后仍回到该点,画时以一个奇点为起点，另一个奇点为终点,有两个奇点的连通图可以一笔画,欧拉解决“七桥问题”的方法在数学上叫做数学模型方法,哥尼斯堡七桥问题,反映七桥问题的一笔画问题,无解 一次不重复地通过七桥不可能,与七桥
13、问题相应的图不可能一笔画出,数学抽象,一笔画的特征分析,返回原型,现实原型,数学模型,现实原型的解,数学模型的解,数学抽象,数学处理,返回原型,判断下列图形能否一笔画,a,图2,下图是某展馆的平面图，那么一个参观者能否不重复地穿过每一扇门呢?,“一笔画”问题变形,下图是某地区街道的平面图，图上的数字表示那条街道的长度清晨，清洁队用一辆洒水车从A出发，要洒遍所有的街道最后再回到A，问怎样设计洒水路线最合理?全程要走多少千米?(单位:千米),如何把1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个不重复的数字填入下图，使每一横行、竖列、对角线上的三个数字的和都相等？,问题5：三阶幻方,如何把1、2、3、4、
14、5、6、7、8、9这9个不重复的数字填入下图，使每一横行、竖列、对角线上的三个数字的和都相等？,“四二为肩，八六为足，左三右七，五居中央”。,问题5：三阶幻方,三阶幻方据传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，我国南宋时期数学家杨辉将它命名为“纵横图”，又名“九宫图”，并在续古摘奇算法中，总结出了洛书幻方构造的方法.,国外最早的幻方，是印度加泰苏立神庙碑文上的四阶纵横图。欧洲人直到14世纪才开始研究幻方，比我国迟了将近2000年。 幻方出现之后，曾使不少人为之入迷，古今中外许多大数学家、大学者如欧拉、富兰克林等对幻方都很感兴趣，并且逐步研究出了不少独特的构造方法.,幻方和=中间数3 ； 与中间数对应
15、的上下、左右、对角两个数字的和=中间数2； 角上的数字=对角相邻的两数字和的一半；,三阶幻方规律,三阶幻方基本解法,计算法 杨辉法,三阶幻方练习 6，7，8，9，10，11，12，13，14 3，6，9，12，15，18，21，24，27,图中的六个圆圈内分别填写上16这六个数字，每个数字用且仅用一次，使得三角形每条边上的三个数字之和都相等。,三角形,问题6：填图问题,1,5,6,4,3,2,图中的六个圆圈内分别填写上16这六个数字，每个数字用且仅用一次，使得三角形每条边上的三个数字之和都相等。,三角形,问题6：填图问题,三角形每条边上的三个数字之和可以有多少种不同的取值？对应每一种取值的填法
16、分别是什么样的？,每边之和10,每边之和11,每边之和12,解决问题的方法： 利用求和找到每条边上三个数之和与三个顶点上数字之和的关系；发现三个顶点上数字之和应满足的条件；根据三个顶点上数字之和确定每条边上的三个数字之和。,四边形,图中的八个圆圈内分别填写上18这八个数字，每个数字用且仅用一次，使得四边形每条边上的三个数字之和都相等。,四边形,图中的八个圆圈内分别填写上18这八个数字，每个数字用且仅用一次，使得四边形每条边上的三个数字之和都相等。,1,8,3,5,4,7,2,6,四边形每条边上的三个数字之和可以有多少种不同的取值？对应每一种取值的填法分别是什么样的？,每边之和13,每边之和14,每边之和15,因 数:素 数:完美数：,完美数,
