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1、1,经 济 数 学 基 础,微积分,2,课 程 简 介,现代社会正经历着由工业社会向信息社会过渡的变革,信息社会有两个主要的特征:一是,计算机技术的迅速展与广泛应用;二是,数学的应用范围急剧扩展,几乎社 会生活中的每个领域都有数学的应用.其中数学对经济学 的发展也起了很大作用.1969年至1981年间颁发的13个诺 贝尔经济学奖中,有7个获奖工作是相当数学化的.现在不 懂数学的经济学家,决不会成为杰出的经济学家.,3,微积分是近代数学中最伟大的成就之一,是高校财经类各专业的一门必修的重要的基础课.一方面, 它为学生学习后继课程和解决实际问题提供必不可少的数学基础知识及常用的数学方法;另一方面,
2、 它通过各个教学环节,逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力和自学能力、综合运用所学知识去分析和解决问题的能力、初步抽象概括问题的能力以及一定的逻辑推理能力.,4,第二章 极限、导数与微分,第三章 导数的应用,第四章 不定积分,第五章 定积分,第一章 函数,本期学习内容,第六章 定积分的应用,5,1.1 函数的概念 1.2 几类基本初等函数 1.3 函数的运算 1.4 初等函数 1.5 建立函数关系的基本方法,第一章 函数,6,第一章 函 数,一. 集合,区间是用得较多的一类数集.,M= x | x所具有的特征,这里x所具有的特征,实际就是x作为M的元素适合的充 要条件.,所谓集合是指具有某种
3、特定性质的事物的总体.组 成这个集合的事物称为该集合的元素. 设M是具有某种 特征的元素x的全体所组成的集合,记作,1.1 函数的概念,7,a,b,a,b,a,b,a,区间：,8,a,a,a,9,三、函数,1. 函数的定义,定义 设 x , y 是两个变量,若对D中每一个值 x,按照一定的对应法则 ,总有确定的数值和它对应,则称 y是 x的函数;记作 y=(x).称 x 为自变量, y 为因变量; D 为定义域;集合 D(f)=y | y=f(x), x D为值域.,10,在分式中，分母不能为零；在根式中，负数不能开偶次方根；在对数式中，真数必须大于零，底数应大于零且不等 于1；在反三角函数式
4、中，应满足反三角函数的定义要求；如果函数的解析表达式中含有分式、根式、对数式和反三角函数式中的两者或两者以上的，求定义域是应取各部分定义域的交集。,函数的定义域到底如何来求呢？有以下几种情况：,11,解 （1）要使函数有意义，须使,即,所以，函数的定义域为,12,（2）要使函数有意义，须使,所以，函数的定义域为,或,13,2. 函数的表示法:解析法、图示法、表格法.,四、函数的几种特性,(1). 函数的奇偶性:设函数的定义域D关于原点对称(为对称区域),而且xD,若(x)=(x),则称(x)为,14,x,x,(x,(x),(x,(x),x,x,(x,(x),(x,(x),x,y,x,y,o,o
5、,图1,的图形具有对称性.(图1),15,(2). 函数的单调性:若(x)对其定义区间 I 上,x1,x2D,当x10,xD, | (x) |M则称(x) 在D内有界. (图3),o,y=M,y=M,x,y,y= (x),y=M,x,o,y,y=M,图3,x,o,y,y= (x),y= (x),17,(4). 函数的周期性:T0,使(x+T)=(x).则称(x)为周期函数. 满足函数的最小正数 T 称为(x)的(最小正)周期. 其图象每隔 T个单位就重复. (图4),y,o,x,2T,T,T,2T,图4,y= (x),18,4. 显函数及隐函数:由方程 F(x , y)=0 所确定的函数 y=
6、(x)或x=1(y) 称为隐函数.而将y=(x) 称为函数的显式.,19,确定分段函数的定义域并求f (1), f (0), f (1), f (x1).,20,1.2初等函数,1.基本初等函数,应熟练掌握其表达式、定义域、值域、几何特性、 常见公式、图象及性质(见教材 p21 26).,(1) 常函数 y = c,(2) 幂函数 y =x,(3) 指数函数,(4) 对数函数,(5) 三角函数,21,(6) 反三角函数,1、幂函数,2、指数函数,3、对数函数,4、三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,5、反三角函数,定义：幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初
7、等函数.,反余切函数,33,1.复合函数,所谓复合函数就是把两个或两个以上的函数组合成一个新的函数.,复合而成的复合函数为,定义 设 y = (u)是定义在U上的函数, 而且 u=(x)是定义在 D上的函数, 值域为Z. 若xD, 对应的 , 则称 y =(x)是函数 y = (u)和 u=(x)复合而成的复合函数. u作中间变量.,1.3函数的运算,34,例 求下列函数的复合函数,因u=2+x2 的值域为x|u2不能使 y=arcsinu 有意义, 故它们不能复合成一个复合函数.,35,将几个简单函数(基本初等函数或由基本初等函数与常数的四则运算所得到的函数)由里到外可复合成一个复合函数,另
8、外也可对复合函数由外到里的进行分解为几个简单函数.,例 将下列函数分解为简单函数并求其定义域,36,37,2. 初等函数,定义 由基本初等函数经有限次四则运算和有限次 复合所得到的函数为初等函数.,都是初等函数.,一般说来, 分段函数不为初等函数, 但 y=|x| 却是.,分段函数一般不为初等函数,但是,由于分段函数在其定义域的子区间内都是初等函数, 所以仍可通过初等函数来研究它们.,38,1.4.常用的几个经济函数,1.需求函数,(1) 需求函数商品的需求量 Qd, 受消费者的偏好收入及商品价格等等因素的影响.但最主要的是价格因素; 若不考其它因素,把需求量Qd只看成价格 p 的函数,即,需
9、求函数 Qd= f (p) 一般是 p 的递减函数.最常见、最 简单的需求函数是如下形式的线性需求函数,(a、b均为正常数),则称此函数为需求函数.,39,这个函数的几何形态,是一条反应需求量与价格关系的曲线,我们称之为需求曲线,如右图.,当然价格 p 也可表示成需求量Qd的函数, p=g(Qd)叫作 价格函数.,b,o,p,特别地,当价格p=0时,需求量Qd=b ,它表示人们的需要是有限的. b/a 为最大销售价格,此时需求量为零.,Qd,40,解 设价格由70元增加 k个3元, 则,例 某产品销售70元/件,可买出10000件,价格每增加3元就少买300件,求需求量 Qd 与价格 p 的函
10、数.,p=70+3k, Qd =10000300k, 从而,41,(2). 供给函数,生产者对商品的生产是由多方面因素所决定的,其 中价格是最要的素; 一般地,价格越高,就越要加大供应,因此供给量 Qs 是价格 p 的单增函数.最简单的供给函数是如下形式的线性供给函数,(c、d 均为正常数),反应供给量与价格关系的曲线,我们称之为供给曲线, 如图.,o,p,Q,d,42,例14 某商品当价格为50元时, 有50单位投放市场, 当价格为75元时, 有100单位投放市场, 求供给Qs与价格 p 的函数.,解 设Qs = cp d, 则 Qs = 2p 50,显然只有价格不低于 d/c 时,才有供给
11、量 Qs,因为厂商都不愿作亏本生意.,(3). 均衡价格,均衡价格就是使一种商品的市场需求量Qd与供给 量Qs 相等时的价格; 即均衡价格就是使 f(p) = g(p)时的价格,记为 p*.显然此时的市场处于均衡状态.,43,即如果需求量大于供给量则价格会上涨,反之,价格会降低.因此,市场上商品的价格总是围绕均衡价格上下浮动.,当市场价格 p 高于均衡价格 p* 时,则供给量Qs将增加,需求量Qd将相应地减少;反之,当市场价格 p 低于均衡价格 p* 时,则供给量 Qs 将减少,而需求量 Qd 将增加.,因此,市场上商品价格的调节,就是按照需求律与供给律来实现的.,44,2. 总成本函数,某商
12、品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源的价格或费用总额.,它由固定资本(生产准备费,用于维修、添制设备等) a元和可变资本(每单位产品消耗原材料、劳力等费用)b 元,则生产x件产品的总成本为,每件产品的成本(叫单位成本或平均成本)为,C(x) = ax + b,45,3. 销售收入函数(总收益函数),4. 总利润函数,总利润是总收入 R(x) 与总成本 C(x) 之差.,总收益是产量的函数.设某种产品的销售量为 x,价 格为 p, 则销售收入函数为 R = p x,而价格 p 又可表为 x 的函数,所以销售收入函数可看成 x 的函数 R(x).,设 x 件产品的总成本为 C(x),
13、 销售收入为 R(x). 则利润为 L(x) = R(x) C (x),5. 其它经济函数,46,九. 建立函数关系举例,运用数学来解决实际问题,首先要把问题中的数量关系用数学式子表示出来,也就是建立数学模型.为此必须明确问题中的常量和变量,变量中的自变量和因变量, 以及它们之间存在什么关系,以确定函数关系,根据实际问题的要求指出定义域.,例 某型号手机价格为每只1000元时能买出15只,当 价格为每只800元时,能买出20只.已知手机的价格高低与其需求量多少是线性关系,试建立该型号手机的需求量与价格之间的函数关系.,解 价格x元/只,需求量y只,则,47,例 工厂生产某种产品,生产准备费10
14、00元,可变资本4 元,单位售价8元.求(1) 总成本函数;(2) 单位成本函数;(3) 销售收入函数;(4) 利润函数.,48,例 某工厂在一年内分若干批生产某种车床,年产量为 a 台,每批生准备费 b 元,设产品均匀投入市场(即平均库存量为批量的一半),每年每台库存费为 c 元,显然, 生产批量大则库存费高;生产批量小则批数增多; 因而生产准备费高 . 试求出一年中库存费与生产准备费之和与批量的函数关系.,解 设批量为 x,库存费与生产准备费之和为p(x),则全年的生产准备费为 (a/x) b, 库存费为 (x/2) c,故,其中 a/x 为批数, x/2 为库存量.,49,例 某矿厂A要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂B冶炼.已知该矿距冶炼厂所在铁路垂直距离为 a 公里,它的垂足 C到B的距离为 b公里.又知铁路运价为 m元/吨公里, 公路运价是 n元/吨公里(m0) 和率减 (r0)就遵从这种规律,而且是立即产生立即结算.例如细胞的繁殖、树木生长、物体冷却、放射性元素的率减等.,此函数即可看成期数 t 的函数,也可看成结算次数 m的函数.,
