经济应用数学课件第二章

《经济应用数学课件第二章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《经济应用数学课件第二章（103页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、,经 济 应 用 数 学 讲 义,主 讲 人：杨 利 琴 讲课时间：2014.9.19 邮 箱：,第一章：经济函数与极限,第二章：导数及其经济应用,第三章：积分及其经济应用,第四章：矩阵与行列式,第五章：概率统计,目 录,第二章 导数及其经济应用,导数与微分的概念 导数的计算 边际分析 弹性分析 函数的极值 最优化分析,2.1 导数与微分的概念,一、导数概念的引入,二、导数的定义,三、基本初等函数的导数公式,2.1.1、引例,引例1,（产品总产量的变化率）：在生产过程中，生产总量 是时间 的函数，设为 。开始时刻 的总产量为 ，从开始时刻到时刻 的总产量改变量为 ，产品的平均变化率为,当 时，

2、若产量平均变化率 的极限存在，则称此极限 为总产量在 时刻的变化率，即,取 ,求产量在 时刻的变化率，首先取 邻近左边时刻 ，,计算出产量在个点的平均变,化率,产品总产量的平均变化率,从表可以看出，当时间段 很小时，平均变化率很接近某一确定的值 2.,结果如下：,然后取邻近右边时刻 计算产量在各点的平均变化率,从表可以看出，当时间段 的变化很 小时，平均变 化率很接近某 一确定的值 2.,切线的定义:设有经济函数C及C上一点M，在点M附近取一点N。当点N沿曲线C无限趋于点M时，割线MN趋于极限位置MT，直线MT就称为曲线C在M点的切线。,引例2,如何求我们的切线方程呢？,设 ，则 ，根据上述定

3、义只要求出切线的斜率就行了。为此，设 ，于是割线MN的斜率为,当点N沿曲线C趋于M时，即 时，此时斜率 如果存在，则有,此时，切线方程为,注意,（1）与曲线只有一个交点的直线不一定是切线。,（2）切线可能与曲线有多个交点。,（3）切线可能穿过曲线位于曲线两侧。,思考？,引例1：产品的平均变化率引例2：曲线的斜率,有 什 么 共 同 特 征？,2.1.2 导数的定义,1.导数在某一点的定义,设函数 在点 的某个临域内有定义，当自变量 在 处取得某个增量 时，相应的函数 取得增量 ，如果与 的比值当 时的极限存在，则称在 处可导，并称这个极限为 在 处的导数，记为 。即,导数的几何意义,2、左、右

4、导数,若函数 在点 处以下左、右极限存在，则称函数分别在 处存在左右导数，记作,定义2.1.3,注：函数在点 处可导的充要条件是左右导数都存在且相等。,左导数,右导数,3、函数在区间上的导数,如果函数 在开区间 上每一点都有导数，此时对于每一个 ，都对应着一个确定的导数 ，从而构成一个新的函数 ，并称这个函数 为 在开区间内的导函数，即,如果 在区间 上可导，且 都存在，则称 在区间 上可导。,3、基本初等函数的导数公式,（1）常数函数的导数,若 ，则 。,（2）幂函数的导数,一般地，对于幂函数 ，有,（3）指数函数的导数,一般地，对于指数函数 ，有,（4）对数函数的导数,一般地，对于对数函数

5、 ，有,（5）三角函数的导数,（6）反三角函数的导数,例（利用导数的定义求极限） 已知 ，求解：,求下列函数的导数,求下列函数在指定点的导数,2.2 导数的计算,一、导数的四则运算法则,二、复合函数求导法则,1、导数的四则运算法则,（1）（和差求导法则）设 在 点可导 ,则两个函数的代数和 在 点也可导，且,特别地，有 ，其中 为常数。,例1 求曲线 的水平切线。,解： 令 ，解得 所以，曲线在 处有水平切线，曲线上相应的点为,（2）（积导数法则）设 在 点可导 ,则两个函数的积 在 点也可导，且,例2 求 的导数。,解：,（3）（商导数法则）设 在 点可导 ,则两个函数的商 在 点也可导，且

6、,特别地，有,例3 用商导法则求 的导数。,解：,用函数求导的四则运算法则求下列函数的导函数,2、复合函数求导法则,如果 在点 可导，而 在 点可导，则复合函数 在点 可导，且有,设 ，则复合函数的导数为,例4 ,求,解：原函数可以分解为 因为故有,用函数复合函数的导函数,2.3 边际分析,一、边际函数,二、边际成本,三、边际收益,四、边际利润,五、边际需求,1、边际函数,定义 设函数 在点 处可导，则其导数 在经济学中被称为 的边际函数。,根据导数的定义我们知道，当函数的自变量 在 处发生一个很小的变化 时，函数的增量为当 很小时有以下近似公式,例如，对于 ，有 ，在 附近的变化如下表,2、

7、边际成本,定义 设函数 是产量为 时的总成本函数 ，当产量 改变 时，总成本的改变量为而 表示总成本对产量的变化率。 当 时，若极限存在，则称此极限为产量为 时的边际成本。,由边际成本的定义可知，边际成本是成本函数的一阶导数，即因为对于产品变化量 来讲，最小改变量就是一个单位，所以边际成本在经济学上的解释为：边际成本 表示产量为 时，若再增加（或减少）一个单位，总成本增加或减少的数量。,例 设成本函数为（1）求边际成本函数。 （2）生成50个单位时的平均单位成本和边际成本值，并解释后者的经济意义。,解：（1）边际成本函数为（2） 时的平均单位成本和边际成 本分别为经济意义：当生产达到50个单位

8、时，如果再多生产一个产品就会增加成本17.5元。,例 设成本函数为（1）指出固定成本，可变成本。 （2）求边际成本函数及产量为200时的边际成本，并解释其的经济意义。 （3）如果国家对该厂征收固定税收，固定税收对产品的边际成本是否会有影响？为什么？举例说明。解：（1）固定成本为200，可变成本为（2）边际成本函数为,经济意义为：在产量为200单位的基础上，再增加一个单位产品，总成本增加24元。（3）因国家对该厂增加的固定税收与产量无关，这种税收可列入固定成本，因而对边际成本没有影响。例如，国家征收的固定税收为100元，则总成本为边际成本为,3、边际收益,定义 设收益函数 可导（其中R表示收益，

9、Q 表示商品销售量） ， 则其边际函数称为边际收益函数，记作MR。,经济意义：销售量达到Q时，如果销售量增加或减少一个单位产品，则收益相应增加或减少MR个单位。,例 设产品的需求函数为 ，其中 分别为需求量和价格，求边际收入函数，以及时的边际收益，并解释所得结果的经济意义。 解：总收益函数为由题设的需求函数为于是，总收益函数为所以，边际收益函数为,经济意义：当销售量即需求量为20个单位时，再增加销售可使总收入增加，再多销售1个单位，总收入增加12个单位；当销售量为50个单位时，总收入达到最大值，再增加销售总收入不会增加；当销售量为70个单位时，再多销售1个单位，总收入反而减少8个单位。,当,4

10、、边际利润,定义 设 是利润函数，则总成本、总收入和总利润之间的关系为两边求导，得称为边际利润。,经济意义：当产量达到Q时，如果销售量增加或减少一个单位产品，则总利润相应增加或减少的数量。,例 某工厂生产一批产品的固定成本为2000元，每增加一吨产品成本增加50元，设该产品的市场需求规律为 （P为价格），产销平衡，试求：产品为100t时的边际利润。,解 由于 ，故总收益为又因为因此，边际利润为当产量为100t时，边际利润为,5、边际需求,定义 边际需求是需求函数的 导数 。,经济意义：当价格为P时，价格上涨或下跌一个单位，需求量将减少或增加的数量。,例 某商品的需求函数为 ，求当 时的边际需求

11、，并说明其经济意义。解：边际需求为当 时的边际需求为经济意义：它表示价格为4时，价格上涨或下跌一个单位时，需求量将减少或增加8个单位。,例题,2.4 弹性分析,一、弹性的概念,二、需求弹性,三、供给弹性,1、弹性的概念,引例,一台电视机的价格为1000元，1 kg的水果价格约为1元，现在两件商品都涨价1元，两件商品价格的绝对改变都是1元，但是各与其原价相比，两者涨价的百分比却有很大不同，电视机涨了0.1%，而水果涨了100%，显然前者更容易被消费者接受。因此，仅仅考虑变量的绝对增长对经济函数的影响是不科学的，有时要用相对改变量来刻画其变化情况。,定义 设函数 在 的某个邻域内有定义，且，如果极限存在，则称此极限为函数 在点 处的弹性，记为并称,比值为函数 在点 与 之间的弧弹性。,由定义可知，,定义 如果函数 在区间 可导，且 则称为函数 在区间 内的弹性函数。,