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1、第十六章 结构的稳定计算,两类稳定问题概述 稳定问题的分析方法 弹性压杆稳定分析之静力法 弹性压杆稳定分析之能量法 刚架的稳定分析的有限单元法,1、稳定验算的重要性,设计结构,强度演算 刚度演算,最基本的必不可少,稳定性演算：,2、平衡状态的三种情况,稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位，干扰消失，恢复原位。,不稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位，干扰消失，不能恢复原位，继续偏移。,中性平衡：由稳定平衡到不稳定平衡的中间状态。,16-1 两类稳定问题概述,高强度材料应用、结构形式的发展，结构趋于轻型、薄壁化，更易失稳，稳定计算日益重要。,失稳造成的工程事故时有发生。,1922
2、华盛顿镍克尔卜克尔剧院倒塌； 1983社科院科研楼施工过程中，脚手架整体稳定性破坏 ,稳定是指：假设对结构施加一微小干扰使偏离其原位置，当干扰去除后，结构能恢复到原来的平衡位置,3、失稳:随着荷载的逐渐增大,结构的原始平衡位置由稳定平衡转为不稳定平衡.这时原始平衡状态丧失其稳定性.,分支点失稳： （第一类失稳）,完善体系 （或称理想体系）：,直杆（无初曲率）， 中心受压（无初偏心）。,P1Pcr=,1Pcr,(稳定),(不稳定),(大挠度理论),(小挠度理论),原始平衡状态是不 稳定的。存在两种 不同形式的平衡状 态(直线、弯曲）。,分支点B将原始平衡路径分为两段。在分支点B出现平衡的二重性。
3、原始平衡由稳定转变为不稳定。,临界荷载、临界状态,2 Pcr,由于荷载自Pcr至压溃历程极短，故Pcr就成了失稳的标志。而大挠度理论和小挠度理论求出的临界荷载十分贴近，可采用简单的小挠度理论求Pcr。,原始平衡：轴向受压,新平衡形式：压弯组合,原始平衡：轴向受压,新平衡形式：压弯组合,原始平衡：平面弯曲,新平衡形式：斜弯曲加扭转,结构的变形产生了质的改变。即原来的平衡形式成为不稳定 而可能出现新的与原来平衡形式有质的区别的平衡形式，同时， 这种现象带有突然性。,分支点失稳的特点：,其它结构的分支点失稳,极值点失稳： （第二类失稳）,非完善体系：,具有初曲率的压杆,承受偏心荷载的压杆,(大挠度理
4、论),(小挠度理论),Pe接近于中心压杆的欧拉临界荷载,稳定问题与强度问题的区别： 强度问题是在稳定平衡状态下：,当 ,大变形，进行几何非线性分析（二阶分析）。,稳定问题重点是研究荷载与结构抵抗力之间的平衡；找出变形急剧增长的临界点及相应的临界荷载。在变形后的几何位置上建立平衡方程，属于几何非线性分析（二阶分析）。 非线性分析，叠加原理不再适用。,极值点失稳的特点：结构一开始受压就处于压弯状态，失稳与稳定无明显的界限，只是当接近失稳时，荷载增加很小，而挠度迅速增加。P-曲线具有极值点。由于结构的变形过大，结构将不能正常使用。,1、单自由度完善体系的分支点失稳,EI=,1）按大挠度理论分析,A,
5、(稳定),(不稳定),(大挠度理论) 不稳定平衡,(小挠度理论)随遇平衡,分支点A处的临界平衡也是不稳定的。对于 这种具有不稳定分支点的完善体系，一般应当考虑初始缺陷的影响， 按非完善体系进行稳定性演算。,2）按小挠度理论分析, 1,小挠度理论能够得出正确的临界荷载,但不能反映当较大时平 衡路径的下降(上升)趋势。随遇平衡状态是简化假设带来的假象。,注: 1）平衡方程是对变形以后的结构新位置建立的。2）建立平衡方程时方程中各项应是同量级的，主要力项（有限量）要考虑结构变形对几何尺寸的微量变化，次要力项（微量）不考虑几何尺寸的微量变化。,两类稳定计算简例,2、单自由度非完善体系的极值点失稳,EI
6、=,1）按大挠度理论分析,A,=0,=0.1,=0.2,1,0.695,0.38,1.37,1.47,/2,1,这个非完善体系是极值点失稳. Pcr 随增大而减小.,EI=,2）按小挠度理论分析,A,设：1，0（0），体系能 恢复原位置，平衡是稳定的；如总势能=U+ UP =0（=0），体系能 在任意位置平衡，平衡为中性的；如总势能=U+ UP 0（k/l ，当0，恒小于零（为负定） (即UUP表示体系缺少足够的应变能克服荷载势能，压杆不能恢复到原有位置) 。当=0，为极大值0。原始的平衡状态是不稳定的。,3）P=k/l ，当为任意值时，恒等于零(即U=UP) 。 体系处 于中性平衡（临界状态
7、）这时的荷载称为临界荷载Pcr=k/l 。,结论： 1）当体系处于稳定平衡状态时，其总势能必为最小。 2）临界状态的能量特征是：势能为驻值=0 ，且位移有非零解。即：在荷载达到临界值前后，总势能由正定过渡到非正定。 3）如以原始平衡位置作为参考状态，当体系处于中性平衡P=Pcr时，必有总势能=0。对于多自由度体系，结论仍然成立。,2）能量法,在新的平衡位置各杆端的相对水平位移,D点的水平位移,弹性支座应变能:,荷载势能:,体系总势能:,势能驻值条件:,以后的计算步骤同静力法,能量法步骤: 给出新的平衡形式;写出 总势能表达式;建立势能驻 值条件;应用位移有非零解 的条件,得出特征方程; 解 出
8、特征值,其中最小的即临界 荷载Pcr。,势能驻值条件等价于以位移表示的平衡方程。,体系总势能:,总势能是位移y1 、y2的对称实数二次型。,如果Pkl/3=Pcr， 是正定的。,如果kl/3 Pkl， 是负定的。,由此可见，多自由度体系在临界状态的能量特征仍然是： 在荷载达到临界值的前后，势能由正定过渡到非正定。 （或说：势能达驻值，位移有非零值）,A,B,C,k,例2：用两种方法求图示体系的临界荷载。并绘其失稳曲线。,1、静力法： 两个自由度，取1 2为位移参数，设失稳曲线如图。,分析受力列平衡方程：,BC:,AC:,由位移参数不全为零得稳定方程并求解：,求失稳曲线：,2、能量法： 外力势能
9、：,应变能：,总势能：,根据势能驻值条件：,由位移参数不全为零得稳定方程：,以下计算同静力法。,例3：用静力法求图 示体系的临界荷载。,两个自由度，取1 2为位移参数，设失稳曲线如图。,分析受力列平衡方程：,BC:,AC:,由位移参数不全为零得稳定方程：,B,例3：用能量法求图示体系的临界荷载。,两个自由度，取1 2为位移参数，设失稳曲线如图。,求变形能和外力势能：,B,当杆件上无外荷载作用时，杆端力的功=变形能。,例4：用静力法求图示体 系的临界荷载。EI=,两个自由度，取1 2为位移参数，设失稳曲线如图。,分析受力列平衡方程：,由位移参数不全为零得稳定方程：,A,B,C,D,用能量法求图示
10、体 系的临界荷载。 EI=,两个自由度，取1 2为位移参数，设失稳曲线如图。,由位移参数不全为零得稳定方程：,A,B,C,D,求变形能和外力势能：,利用对称性求EI=,1、正对称失稳取半刚架如图：取 1 为位移参数，设失稳曲 线如图。,2、反对称失稳取半刚架如图：取 1 为位移参数，设失稳曲 线如图。,静力法的解题思路:,先对变形状态建立平衡方程，然后根据平 衡形式的二重性建立特征方程，再由特征方程求出临界荷载。,与有限自由度体系不同的是，平衡方程是,代数方程（有限自由度体系） 微分方程（无限自由度体系）,16-3 弹性压杆（无限自由度）的稳定静力法,1、等界面压杆,先由图解法求出近似解：l=4.5,再由试算法求更准确的值：,刚性支承上等截面直杆的稳定,=1,=0.7,=2,=0.5,=1,材力已导出几种简单支承情况下的轴压杆的临界荷载：,长度系数=2、1、0.7、0.5,
