运动的守恒定律

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1、第二章 牛顿运动定律,2-4 牛顿运动定律的应用,解题的基本思路,1）确定研究对象, 进行受力分析:,画示力图：（1）画上所受的已给外力;,（3）当将物体看作质点时，可把作用在物体上所有各个力的作用点集中在物体的同一点上。,（2）找出三类力：重力、弹性力 、摩擦力；,2）“隔离体法”选择隔离体；分析隔离体的受力情况，绘出示力图（称隔离体图）， 并在图上画出隔离体的加速度方向；取坐标系，坐标轴尽量顺着运动方向；对隔离体应用牛顿第二定律分量式方程；利用其它的约束条件列补充方程；先用文字符号求解，后带入数据计算结果.,例1：如图示，倾角为 a 的粗糙斜面上一物块，其质量为 m，与一 质量为 M 的砝

2、码盘分别置于细绳两端，细绳跨过一轴承光滑的定 滑轮，此体系处于平衡状态。设滑轮和绳的质量可以略去不计，绳 子不能伸长。当砝码盘上加上 n 个m1小砝码时，物块 在斜面上开 始移动，且在时间 t 内沿斜面运动的距离为 s，求物块 m 与斜面间 的滑动摩擦系数 m。,解：,（1）作隔离体图,(2) 列方程,共有四个未知数T、N、a、m。,（1）如图所示滑轮和绳子的质量均不计，滑轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力均不计.且 . 求重物释放后，物体的加速度和绳的张力.,解 以地面为参考系,画受力图、选取坐标如图,例2 阿特伍德机,（2）若将此装置置于电梯顶部，当电梯以加速度 相对地面向上运动时，求

3、两物体相对电梯的加速度和绳的张力.,解 以地面为参考系,设两物体相对于地面的加速度分别为 ，且相对电梯的加速度为,解,例3 如图长为 的轻绳，一端系质量为 的小球,另一端系于定点 ， 时小球位于最低位置，并具有水平速度 ，求小球在任意位置的速率及绳的张力.,例4 如图所示（圆锥摆），长为 的细绳一端固定在天花板上，另一端悬挂质量为 的小球，小球经推动后，在水平面内绕通过圆心 的铅直轴作角速度为 的匀速率圆周运动 . 问绳和铅直方向所成的角度 为多少？空气阻力不计.,解,越大， 也越大,利用此原理，可制成蒸汽机的调速器（如图所示）.,例5 设空气对抛体的阻力与抛体的速度成正比，即 ， 为比例系数

4、 . 抛体的质量为 、初速为 、抛射角为 . 求抛体运动的轨迹方程 .,解 取如图所示的 平面坐标系,轨迹方程,解 取坐标如图,令,例6 一质量 ，半径 的球体在水中静止释放沉入水底.已知阻力 , 为粘滞系数， 求 .,为浮力,简化方程,（极限速度）,当 时,一般认为,若球体在水面上是具有竖直向下的速率 ，且在水中的重力与浮力相等， 即 . 则球体在水中仅受阻力 的作用,第三章 运动的守恒定律,3-1 动量 动量定理动量守恒定律,一 冲量 动量 质点的动量定理,动量,力的累积效应,对 积累,对 积累,冲量 : 力对时间的积分（矢量）,牛顿第二定律,（质点动量定理的微分形式）,质点动量定理的积分

5、形式 ： 在给定的时间内，外力作 用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量 .,分量形式,说明了：在某一轴上的合力的投影只改变某一轴上的速度。,注意：,动量定理,是个矢量式,动量 是状态量,合力的冲量 是过程量，且是矢量。,冲量的方向应由物体动量增量的方向来确定。,例1 一圆锥摆的摆球质量为m，当以匀速率 在水平面内做圆周运动时，其圆的半径为R。求摆球绕行一周过程中绳中张力的冲量。,解： 由动量定理，有,摆球绕行一周，有 ，故,摆球绕行一周， 张力的总冲量与重力的总冲量 大小相等（ ），方向相反。,摆球绕行一周，所用时间,摆球绕行一周，重力的总冲量大小为,方向沿 y 轴负方向。,摆球绕行

6、一周，张力的总冲量大小为,张力的总冲量的方向沿 y 轴正方向。,例2 一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。,分析： 任意时刻作用于桌面的压力，在数值上等于已落到 桌面上的柔绳对桌面的压力与柔绳对桌面的冲力的和。,证明：取如图坐标，设t 时刻已有 长的柔绳落至桌面，随后的dt时间内将有质量为 的柔绳以 的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率为：,一维运动可用标量表示,各微元间的作用力为零,柔绳对桌面的冲力FF 即：,已落到桌面上的柔绳的重量为 任意时

7、刻作用于桌面的压力,根据动量定理， 桌面对柔绳的冲力为：,（各微元间的作用力为零，不计重力。）,二 质点系的动量定理,系统：由几个相互作用着的物体组成的总体。,质点系: 组成系统的各物体都是质点。,内力：系统内部各物体间的相互作用力。,内力总是成对出现的，系统的合内力为零。,外力：系统外其他物体对系统内物体的作用力。,系统,质点系动量定理的积分形式：作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量.,因为内力 ，故,分量形式,质点系动量定理的积分形式：作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量.,推开前后系统动量不变,动量定理常应用于碰撞问题,例如人从高处跳下、飞机与鸟相撞、打桩等碰撞事件中， 作用

8、时间很短，作用力的变化很大，这种力称为冲力。,越小，则 越大 .,t1,例 1 一质量为0.05kg、速率为10ms-1的钢球, 以与钢板法线呈45角的方向撞击在钢板上, 并以相同的速率和角度弹回来 . 设碰撞时间为0.05s. 求在此时间内钢板所受到的平均冲力 .,解 建立如图坐标系, 由动量定理得,方向沿 轴反向,例 2 一柔软链条长为l, 单位长度的质量为. 链条放在桌上, 桌上有一小孔, 链条一端由小孔稍伸下, 其余部分堆在小孔周围. 由于某种扰动, 链条因自身重量开始落下 .求链条下落速度与落下距离之间的关系 . 设链条与各处的摩擦均略去不计, 且认为链条软得可以自由伸开 .,解 ：

9、为避开内力, 以整根链条为系统, 建立如图坐标,又,由质点系动量定理得,系统所受的合外力,则,两边同乘以 则,仅对 y 长的m1而言：,（-T ）的冲量等于dm 动量的增量。,讨论：,因为 T 的反作用力（ T）要拉动上面一段链条 dm ，,质点系动量定理,若质点系所受的合外力为零 则系统的总动量守恒，即 保持不变 .,三. 动量守恒定律,质点系的动量守恒定律,例如在碰撞、打击、爆炸等问题中（但要注意重力是否很小）.,合外力为零；,当合外力比系统内力小很多时，可认为系统动量守恒 .,3）若某一方向合外力为零, 则该方向系统的总动量守恒 .,4） 动量守恒定律只在惯性参考系中成立, 各物体的动量

10、必相对于同一惯性系 .,2）系统的动量守恒是指系统的总动量不变， 而系统内任一物体的动量是可变的(这种变化由内力引起）,例1：一物体质量为 m= 2 kg, 在合外力 的作 用下，从静止出发沿水平 x 轴作直线运动，则从t = 0 s 到 t = 1s 的时间间隔内，这个力作用在物体上的冲量为多少？t = 1s 时物 体的速度为多少？,（2）由动量定理,例2：质量为m 的物体，初速为零，从原点起沿 x 轴正向运动。所受外力方向沿 x 轴正向，大小为 F = kx，物体从原点运动到坐标 为x1的点的过程中所受外力冲量的大小为多少？,一维情况,（2）,例3: 三艘质量相等的小船鱼贯而行，速度均为v

11、，如果从中间那艘 船上同时以相对于船的速度 u 把两个质量均为 m 的物体分别拋到 前后两艘船上，速度 u 与速度 v 在同一直线上。问拋掷物体后， 这三艘船的速度各如何？,末了,设：三艘船的质量均为M, 并且包括物体在内。,（1）以第二艘船和拋出的两物体为系统，拋前、拋后水平方向系统动量守恒。,各速度相对于同一惯性系。,（2）以第一艘船和拋来的物体为系统，碰前、碰后水平方向系统动量守恒。,（3）以第三艘船和拋来的物体为系统，碰前、碰后水平方向系统动量守恒。,末了,例4: 质量为M的人手里拿一个质量为m的物体，此人用与水平面成角的速率V0向前跳去。当他达到最高点时，他将物体以相对于人为u的水平

12、速率向后抛出。问:由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少?,把人与物体视为一系统。 在最高点设人抛出物体后的 水平速率为V,由动量守恒定律,人的水平速度的增量,人从最高点到地面的时间,人跳跃增加的距离,解：,例 5 设有一静止的原子核, 衰变辐射出一个电子和一个中微子后成为一个新的原子核. 已知电子和中微子的运动方向互相垂直, 且电子动量为1.210-22 kgms-1, 中微子的动量为6.410-23 kgms-1 . 问新原子核的动量值和方向如何?,解,即,又因为,代入数据计算得,系统动量守恒 ：,仪器舱,火箭容器,例 5 一枚返回式火箭以 2.5 103 ms-1 的速率相对地面沿水平方

13、向飞行 . 设空气阻力不计. 现由控制系统使火箭分离为两部分, 前方部分是质量为100kg 的仪器舱, 后方部分是质量为 200kg 的火箭容器 . 若仪器舱相对火箭容器的水平速率为1.0 103 ms-1 . 求仪器舱和火箭容器相对地面的速度 .,已知,求 ,解,则,各速度相对于同一惯性系,我国长征系列火箭升空,第三章 运动的守恒定律,3-2 质心 质心运动定理（不考）,一. 质心,系统的总动量：,令,系统的总动量等于系统的总质量与系统质心的速度之乘积,质心的位矢,分立的质点系质心位置：,质量连续分布的物体质心位置：,由 n 个质点组成的系统,例：求腰长为 a 的等腰直角三角形均匀薄板的质心

14、位置。,显然：,面积元质量为：,例 求半径为R 的的半圆形铁丝的质心（质量均匀）。,解：, “小线度”物体的质心和重心是重合的。,其中,二. 质心运动定理,即系统总动量,两边再对时间求导数：,质心的速度：,对第 i 个质点,系统的质心运动定理：一个质点系的质心的运动，就如同这样 一个质点的运动: 该质点的质量等于整个质点系的质量，并且集中 在质心；此质点所受的力是系统内各质点所受的所有外力的矢量和。,内力不影响质心的运动状态。, 做跳马落地动作的运,动员尽管在翻转，但,其质心仍做抛物线运动, 爆炸的焰火弹虽然碎片四散，,但其质心仍在做抛物线运动,系统内力不会影响质心的运动，, 在光滑水平面上滑动,的扳手，,例如：,其质心做匀,速直线运动,例 如图,人从船头走到船尾.求人和船相对岸移动的距离。,由动量守恒定律：,船对岸的位移,人对岸的位移,其中,人站船头时系统的质心,人站船尾时系统的质心,因为,船的位移,人的位移,解二：,第三章 运动的守恒定律,3-3 角动量 角动量定理角动量守恒定律,