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1、2018/9/2,信号与系统,第3章 连续信号与系统的频域分析,3.0 引言 3.1 信号的正交分解 3.2 周期信号的连续时间傅里叶级数 3.3 周期信号的频谱 3.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换 3.5 傅里叶变换的性质 3.6 周期信号的傅里叶变换 3.7 连续信号的抽样定理 3.8 连续系统的频域分析,2018/9/2,信号与系统,3.0 引 言,LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应来表征，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可分析LTI系统的特性。,2018/9/2,信号与系统,3.1 信号的正交分解,3.1.1 矢量的正交分解1. 正交矢量,图 3.1-1 两个矢量正交,2
2、018/9/2,信号与系统,两矢量V1与V2正交时的夹角为90。不难得到两正交矢量的点积为零， 即,图 3.1-2 矢量的近似表示及误差,2018/9/2,信号与系统,所以最佳系数为,2018/9/2,信号与系统,若V1与V2正交，则=90, cos=0，此时由式(3.1-2)得到的最佳系数c12=0。 这表明当V1与V2正交时，用c12V2来近似表示V1还不如用0来近似V1。据此，我们可以把两个矢量V1与V2正交的概念解释如下：给定两个矢量V1和V2，现在要用与V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，要求误差矢量 的模|Ve|最小(此时的c12称为最佳)。若最佳的c12=0，则V1与V2正
3、交。由式(3.1-2)可知，当两矢量V1与V2正交时，c12=0，即V1V2=0。,2018/9/2,信号与系统,2. 矢量的分解,图 3.1-3 平面矢量的分解,2018/9/2,信号与系统,式中，V1V2=0。,2018/9/2,信号与系统,图 3.1-4 三维空间矢量的分解,2018/9/2,信号与系统,上述矢量分解的概念可以推广到n维空间。由n个相互正交的矢量组成一个n维的矢量空间，而正交矢量集V1, V2, ，Vn为n维空间的完备正交矢量集。n维空间的任一矢量V，可以精确地表示为这n个正交矢量的线性组合， 即,式中，ViVj=0(ij)。第r个分量的系数,2018/9/2,信号与系统
4、,3.1.2 信号的正交分解,1. 正交函数,设f1(t)和f2(t)为定义在(t1, t2)区间上的两个函数，现在要用与f2(t)成比例的一个函数c12f2(t)近似地代表f1(t)，其误差函数为,2018/9/2,信号与系统,设f1(t)、f2(t)均为复函数，此时，c12也可能为一复数系数。,2018/9/2,信号与系统,式中， “*”代表取共轭复数。将上式右边展开， 得,2018/9/2,信号与系统,根据该式，,2018/9/2,信号与系统,上式中，据平方误差的定义知Ee0，式中惟一可供选择的参数为c12。为使Ee最小，只有选择c12=B，于是有,2018/9/2,信号与系统,2. 信
5、号的正交展开,设有一函数集g1(t), g2(t)，gN(t)，它们定义在区间(t1, t2)上，如果对于所有的i、 j(可取1, 2, ，N)都有,则该函数集就称为区间(t1, t2)上的正交函数集。 如果,则称该函数集为归一化正交函数集。,2018/9/2,信号与系统,用一个在区间(t1, t2)上的正交函数集gi(t)中各函数的线性组合就可逼近定义在(t1, t2)区间上的信号f(t)，即,这种近似表示所产生的平方误差为,2018/9/2,信号与系统,同样可以导出，欲使平方误差最小，其第r个函数gr(t)的加权系数cr应按下式选取：,此时的平方误差为,(3.1-12),(3.1-13),
6、2018/9/2,信号与系统,定理 3.1-1 设gi(t)在(t1, t2)区间上是关于某一类信号f(t)的完备的正交函数集，则这一类信号中的任何一个信号f(t)都可以精确地表示为gi(t)的线性组合， 即,式中，ci为加权系数，且有,式(3.1-14)称为正交展开式，有时也称为广义傅里叶级数，ci称为傅里叶系数。,(3.1-14),(3.1-15),2018/9/2,信号与系统,定理 3.1-2 在式(3.1-14)条件下，平方误差Ee=0，由(3.1-13)式有,式(3.1-16)可以理解为：f(t)的能量等于各个分量的能量之和， 即能量守恒。定理3.1-2 有时也称为帕塞瓦尔定理。,(
7、3.1-16),2018/9/2,信号与系统,3.2 周期信号的连续时间傅里叶级数,3.2.1 三角形式的傅里叶级数,三角函数集cosnt, sinnt|n=0,1,2,是一个正交函数集，正交区间为(t0, t0+T)。这里T=2/是各个函数cosnt，sinnt的周期。三角函数集正交性的证明可利用如下公式：,2018/9/2,信号与系统,上述正交三角函数集中，当n=0时，cos 0=1, sin 0=0，而0不应计在此正交函数集中，故一正交三角函数集可具体写为,2018/9/2,信号与系统,式中，=2/T称为基波角频率，a0/2，an和bn为加权系数。 式(3.2 - 5)就是周期信号f(t
8、)在(t0, t0+T)区间的三角傅里叶级数展开式。由于f(t)为周期信号，且其周期T与三角函数集中各函数的周期T相同，故上述展开式在(-, )区间也是成立的。,2018/9/2,信号与系统,可得加权系数：,2018/9/2,信号与系统,例如，可取t0=0，t0=-T/2等等。显然，an为n的偶函数，bn为n的奇函数， 即,2018/9/2,信号与系统,2018/9/2,信号与系统,例 3.2-1 求图示信号的傅里叶级数展开式。,图 3.2-1 例 3.2-1 图,2018/9/2,信号与系统,解 据式(3.2-6)，在本题中我们取t0=0，则有,这表明信号f(t)的直流分量为a0/2=E/2
9、。,2018/9/2,信号与系统,考虑到上式中=2/T，则an=0。同样可得,2018/9/2,信号与系统,据式(3.2-10)有,2018/9/2,信号与系统,在式(3.2-6)中，若取t0=-T/2，则有,2018/9/2,信号与系统,当f(t)为t的奇函数时，则有f(t)cosnt为t的奇函数， f(t)sinnt为t的偶函数，因而有：,2018/9/2,信号与系统,当f(t)为t的偶函数时，由于f(t)cosnt为t的偶函数，f(t) sinnt为t的奇函数。据式(3.2-13)有,即当f(t)为偶函数时，其傅里叶级数展开式中只可能有直流分量及cos nt分量， 而无sin nt分量。
10、,2018/9/2,信号与系统,3.2.2 指数形式的傅里叶级数,式中，T=2/为指数函数公共周期，m、n为整数。任意函数f(t)可在区间(t0, t0+T)内用此函数集表示为,2018/9/2,信号与系统,式中，相关系数Fn,2018/9/2,信号与系统,指数傅里叶级数还可以从三角傅里叶级数直接导出。因为cos =(e j+e-j)/2，将这一关系应用于式(3.2-9)，并考虑到An是n的偶函数，n是n的奇函数，即An=A-n，n=-n，则式(3.2-9)可写为,2018/9/2,信号与系统,一般来说Fn亦为一复数，即,2018/9/2,信号与系统,3.3 周期信号的频谱,或,2018/9/
11、2,信号与系统,3.3.1 周期信号的频谱周期信号的复振幅 一般为n的复函数，因而描述其特点的频谱图一般要画两个，一个称为振幅频谱，另一个称为相位频谱。所谓振幅频谱为以为横坐标，以振幅为纵坐标所画出的谱线图； 而相位频谱则为以为横坐标，以相位为纵坐标所得到的谱线图。 在信号的复振幅 为n的实函数的特殊情况下，其复振幅n(Fn)与变量(n)的关系也可以用一个图绘出。,2018/9/2,信号与系统,例 3.3-1,试画出f(t)的振幅谱和相位谱。,解 f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里叶级数展开式。据,可知，其基波频率=(rad/s)，基本周期T=2 s，=2、3、
12、6 分别为二、 三、六次谐波频率。且有,2018/9/2,信号与系统,其余,2018/9/2,信号与系统,图 3.3-1 例 3.3-1 信号的频谱 振幅谱；(b) 相位谱,2018/9/2,信号与系统,图 3.3-2 例 3.3-1 信号的双边频谱 (a) 振幅谱； (b) 相位谱,2018/9/2,信号与系统,3.3.2 周期信号频谱的特点,图 3.3-3 周期矩形脉冲信号,2018/9/2,信号与系统,为得到该信号的频谱，先求其傅里叶级数的复振幅。,2018/9/2,信号与系统,取样函数定义为,这是一个偶函数，且x0时，Sa(x)=1；当x=k时，Sa(k)=0。,据此，可将周期矩形脉冲
13、信号的复振幅写成取样函数的形式，即,2018/9/2,信号与系统,图 3.3-4 Sa(x)函数的波形,2018/9/2,信号与系统,图 3.3-5 周期矩形脉冲信号的频谱,2018/9/2,信号与系统,由图 3.3-5 可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点：第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。 第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上，即含有的各次谐波分量，而决不含有非的谐波分量。 第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随n的变化有起伏变化，但总的趋势是随着n的增大而逐渐减小。 当n时，|Fn|
14、0。,2018/9/2,信号与系统,图 3.3-6 不同值时周期矩形信号的频谱 (a) =T/5; (b) =T/10,2018/9/2,信号与系统,图 3.3-7 不同T值时周期矩形信号的频谱 (a) T=5; (b) T=10 ,2018/9/2,信号与系统,周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线，也就是说，周期矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。在信号的传输过程中，要求一个传输系统能将这无穷多个正弦分量不失真地传输显然是不可能的。实际工作中，应要求传输系统能将信号中的主要频率分量传输过去，以满足失真度方面的基本要求。周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内， 因而，常常将=0 这段
15、频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度。记为,2018/9/2,信号与系统,或,2018/9/2,信号与系统,3.3.3 周期信号的功率,周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的，因而周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信号在1电阻上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。显然，对于周期信号f(t)， 无论它是电压信号还是电流信号，其平均功率均为,2018/9/2,信号与系统,因此，据函数正交分解中的帕塞瓦尔定理(式(3.1-16)，有,2018/9/2,信号与系统,2018/9/2,信号与系统,3.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换,3.4.1 傅里叶变换,2018/9/2,信号与系统,对于
16、非周期信号，重复周期T趋于无限大，谱线间隔趋于无穷小量d，而离散频率n变成连续频率。在这种极限情况下，Fn趋于无穷小量，但 可望趋于有限值，且为一个连续函数，通常记为F(j)，即,2018/9/2,信号与系统,非周期信号的傅里叶变换可简记为,一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为f(t)应满足绝对可积， 即要求,2018/9/2,信号与系统,3.4.2 非周期信号的频谱函数,由非周期信号的傅里叶变换可知:,频谱函数F(j)一般是复函数，可记为,习惯上将F()的关系曲线称为非周期信号的幅度频谱 (F()并不是幅度!)，而将()曲线称为相位频谱，它们都是的连续函数。,2018/9/2,信号与系统,f(t)为实函数时，根据频谱函数的定义式不难导出:,式中：,2018/9/2,
