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1、材料力学,第五章 弯曲内力,材料力学,(一)、弯曲实例,桥式起重机大梁：,一 平面弯曲的概念及工程实例,材料力学,火车的轮轴：,材料力学,楼房的横梁：,阳台的挑梁：,材料力学,受力特点作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。,变形特点杆轴线由直线变为一条平面的曲线。,主要产生弯曲变形的杆- 梁。,三、平面弯曲的概念：,二、弯曲的概念：,材料力学,变形特点杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。,平面弯曲,受力特点作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴平面且过弯曲中心）。,材料力学,梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要
2、的简化，抽象出计算简图。,1. 构件本身的简化通常取梁的轴线来代替梁。,2. 载荷简化作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。,3. 支座简化,二、梁的计算简图,材料力学,固定铰支座2个约束，1个自由度。 如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。,楼房的横梁：,材料力学,可动铰支座1个约束，2个自由度。 如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。,固定端3个约束，0个自由度。 如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。,材料力学,车床的割刀及刀架,材料力学,弯曲内力/引 言,4 静定梁的分类,1、悬臂梁：,2、简支梁：,3、外伸梁：,（L称为梁的跨长）,材料力学,
3、（4）静定组合梁,材料力学,5、静不定梁支座反力不能由静力平衡方程完全确定的梁。,弯曲内力/引 言,材料力学,二、剪力和弯矩,求弯曲内力（剪力和弯矩）的基本方法截面法,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,设有一简支梁AB，受集中力F作用。现分析距A端 为x处的横截面m-m上的内力。,x,解：,1、根据平衡条件求支座反力,2、截取m-m截面左段。,A,x,M,剪力 使截面不产生移动,弯矩M 使截面不产生转动,得到：,o,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,得到：,如截取m-m截面右段梁:,L-x,B,b,M,由作用力与反作用力，得,3、根据变形规定内力符号：,同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同
4、的正负号。, 内力正负号规则：,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,剪力 ：,弯曲内力/剪力和弯矩,对脱离体内一点产生顺时针力矩的剪力为正，反之为负；,材料力学,弯矩M：使梁弯曲呈凹形的弯矩为正，反之则为负。,压,拉,弯曲内力/剪力和弯矩,“Happy” Beam is ,“Sad” Beam is ,材料力学,解：,1、根据平衡条件求支座反力,例5-1 一外伸梁受力如图所示。试求C截面、 截面和 上 的内力。,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,C截面:,得到：,（弯矩 Mc的实际方向与假设方向相反，为负弯矩）,（剪力 的实际方向与假设方 向相同）,2、求指定横截面上的剪力和弯矩,材料力学,如以右侧
5、梁作为研究对象，则：,材料力学,某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外力相平衡；,FQ= 截面一侧所有横向外力代数和,M= 截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和,规律,材料力学,截面：,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,截面：,与 截面相比，该截面的内力只增加了约束反力 ，故有：,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,三、剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,材料力学,在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截 面的位置而变化。,因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即,称为剪力方程和弯矩方程,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,材料力学,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和
6、弯矩图,各段的分界点: 外力规律发生变化的截面集中力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终点处的横截面。,注意： 不能用一个函数表达的要分段,材料力学,x,x,(+),(+),(-),(-),剪力图和弯矩图用图示方法形象地表示剪力和弯矩沿 梁轴线的变化情况。,注意：必须标明控制 截面(各段的分界点) 上的内力值,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,材料力学,例5-2悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程， 作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的 和 及其所 在截面位置。,取参考坐标系Axy。,解：,1、列出梁的剪力方程和弯矩方程,AB段:,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯
7、矩图,材料力学,BC段:,m=Pa,2、作梁的剪力图和弯矩图,-P,Pa,(+),(-),3、求 和,（在BC段的各截面）,（在AB段的各截面）,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,材料力学,注意：,1、在列梁的剪力方程和弯矩方程时，参数x可以从坐标原点算起，也可从另外的点算起，仅需要写清楚方程的适用范围（x的区间）即可。,2、剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作用处， 应为开区间，因在该处剪力图有突变；而在集中力偶作用处，M(x)应为开区间，因在该处弯矩图有突变。,3、若所得方程为x的二次或二次以上方程时，则在作图时除计算控制截面的值外，应注意曲线的凹凸向及其极值。
8、,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,材料力学,例5-3外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩 方程，作出梁的剪力图和弯矩图。,解：,1、取参考坐标系Cxy。根据平衡条件求支座反力,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,材料力学,2、列出梁的剪力方程和弯矩方程,CA段:,AB段 :,x,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,材料力学,3、作梁的剪力图和弯矩图,-qa,(-),(-),(+),(-),E,(+),弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,材料力学,四、弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系,材料力学,考察受任意载荷作用的梁。建立xy坐标系。,规
9、定向上的q(x)为正。,弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系,材料力学,考察dx微段的受力与平衡,弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系,材料力学,（4-4）,由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相应点处的载荷集度q。,弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系,材料力学,由此式知：剪力图曲 线上一点处的斜率等于 梁上相应点处的载荷集 度q。,材料力学,略去二阶微量 ，得：,（4-5）,由此式知：弯矩图曲线上一点的斜率等 于梁上相应截面处的剪力 。,弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系,材料力学,由此式知：弯矩图曲线上一点的斜率等于梁上相应截面处的剪力FQ 。,材
10、料力学,由此式知：弯矩图曲线上某点处的凹凸方向由梁 上相应点处的载荷集度q的符号决定。,弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系,材料力学,内力FQ 、M 的变化规律,归纳如下：,载荷,水平直线,or,or,上斜直线,上凸 抛物线,下凸 抛物线,下斜直线,(剪力图 无突变),F处有尖角,弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系,斜直线,材料力学,例5- 4一外伸梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。,解：,1、根据平衡条件求支座反力,弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系,材料力学,2、由微分关系判断各段的 形状。,载荷,CA,DB,AD,斜直线,斜直线,弯曲内力/弯矩、剪力和
11、分布荷载集度之间的关系,材料力学,A,B,1m,1m,4m,F=3KN,C,D,3、作 -图。,4、作M-图。,CA段：,(-),DA段：,-3KN,4.2KN,-3.8KN,(+),(-),DB段：,-3KN.m,(-),E,x,-2.2KN.m,(-),3.8KN.m,(+),(+),弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系,材料力学,例5- 5 已知静定组合梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。,载荷,AB,CD,BC,斜直线,斜直线,材料力学,利用剪力、弯矩与分布荷载间积分关系定值,梁上任意两截面的剪力差等于两截面间载荷图所包围的面积,梁上任意两截面的弯矩差等于两截面间剪力图所包
12、围的面积,积分关系:,材料力学,五、平面刚架内力图,材料力学,平面刚架：轴线由同一平面折线组成的刚架。特点：刚架各杆横截面上的内力有：FQ、M、FN。,刚架,用刚性接头连接的杆系结构,刚性接头的特点： 约束限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移 受力既可传力，也可传递力偶矩,材料力学,* 内力分量的正负号与观察者位置的关系：,面内载荷作用下，刚架各杆横截面上的内力分量轴力、剪力和弯矩。,刚架内力的特点：,有关,弯曲内力/平面刚架内力图,材料力学,平面刚架内力图规定： 弯矩图：画在各杆的受压一侧，不注明正、负号。 剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧，但须注明正、负号。,材料力学,例5-6 求
13、作图示平面刚架的内力图。,解：,1、根据平衡条件求得 支座反力,2、作内力图,轴力,立柱CA：,横梁CB：,作轴力图。,FN,弯曲内力/平面刚架内力图,材料力学,剪力,求控制截面1、2、3、4上的剪力。,弯曲内力/平面刚架内力图,材料力学,弯矩,立柱弯矩图为抛物线，左侧受压，1、2截面的弯矩值为,作弯矩图。,弯曲内力/平面刚架内力图,材料力学,节点处的平衡关系,弯曲内力/平面刚架内力图,弯矩图特点： 如刚性接头处 无外力偶，则 弯矩连续,材料力学,六 按叠加原理作弯矩图,二、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。,一、前提条件：小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即在弹性范围内满足虎克定律。,材料力学,例按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力F作用在梁AB的中点处）。,材料力学,FL,FL,0.5F,0.5F,F,0,例 作下列图示梁的内力图。,材料力学,例5-7 求作图示带中间铰的平面刚架的内力图。,材料力学,习题:一静定组合梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。,材料力学,习题:直角弯拐，AB段为圆轴，材料的剪变模量为G。 不计BC段变形，求 ( 1 ) AB段的最大剪应力;( 2 ) C点的铅垂位移。,
