《计算机辅助几何设计》课件

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1、计算机辅助几何设计,厦门大学 曾晓明 教授,助教 杨军,1. 课程简介,(Computer Aided Geometric Design，简称CAGD)这一术语1974年由巴恩希尔(Barnhill)与里森费尔德(Riesenfeld)在美国犹他(Utah)大学的一次国际会议上提出，以描述计算机辅助设计(CAD)的更多的数学方面，为此加上“几何”的修饰词，在当时，其含义包括曲线、曲面和实体的表示，及其在实时显示条件下的设计，也扩展到其他方面，例如四维曲面的表示与显示。自此以后，计算机辅助几何设计开始以一门独立的学科出现。,计算机辅助几何设计,计算机辅助几何设计,1971年英国的福里斯特(For

2、rest)曾给出了含义与CAGD大致相同的另一名称计算几何(Computational Geometry)，定义为形状信息的计算机表示、分析与综合。但是由于“计算几何”同时也用于另外一门介绍关于几何搜索、凸包、近似、相交等算法的学科，因此为避免“计算几何”这一名称的二义性，这里沿用计算机辅助几何设计这一学科名称。,计算机辅助几何设计,1.1 CAGD的研究对象与核心问题,计算机辅助几何设计,本学科是随着航空、汽车等现代工业的发展与计算机的出现而产生与发展起来的一门新兴学科。其 。一类仅由初等解析曲面(例如平面、圆柱面、圆锥面、球面、圆环面等)组成，大多数机械零件属于这一类；第二类由以复杂方式自

3、由变化的曲线曲面即所谓自由型曲线曲面组成，例如飞机、汽车、船舶的外形零件，而这一类形状单纯用画法几何与机械制图是不能表达清楚的。,主要研究对象是工业产品的几何形状,图例：工业产品中的解析曲面和自由型曲面,滑动轴承座及轴承盖等机械零件，由若干解析曲面拼接而成。,计算机辅助几何设计,汽车车身由若干自由型曲面拼接而成，无法用解析曲面表示。,计算机辅助几何设计,核心的问题是,在工业上，人们一直在寻求用数学方法惟一地定义自由型曲线曲面的形状以便由计算机来完成大量的工作。形状的几何定义为所有的后置处理(如数控加工、物性计算、有限元分析等)提供了必要的先决条件。在形状信息的计算机表示、分析与综合中， 计算机

4、表示，即要找到既适合计算机处理且有效地满足形状表示与几何设计要求，又便于形状信息传递和产品数据交换的,形状描述的数学方法。,计算机辅助几何设计,自由型曲线曲面因不能由画法几何与机械制图方法表达清楚，成为工程师们首先要解决的问题。1963年，美国波音(Boeing)飞机公司的弗格森(Ferguson)首先提出将曲线曲面用参数方程表示。他最早引入参数三次曲线，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量及两个方向的切矢定义的弗格森双三次曲面片。弗格森所采用的曲线曲面的参数形式从此成为形状数学描述的标准形式。,1.2 形状数学描述的发展主线（历史回顾）,计算机辅助几何设计,1964年，美国麻省理工学院(Mas

5、sachusetts Institute 0f Technology,简称MIT)的孔斯(Coons)发表了一个具有一般性的曲面描述方法。但它与 弗格森曲面片一样都存在形状控制与连接问题。同年，舍恩伯格(schoenberg)提出的样条函数提供了解决连接问题的一种技术，样条方法用于解决插值问题，在构造整体上达到某种参数连续阶(指可微性)的插值曲线、曲面时是很方便的，但不存在局部形状调整的自由度，而且样条曲线和曲面的形状难以预测。,计算机辅助几何设计,法国雷诺(Renault)汽车公司的贝齐尔(Bezier)于1971年发表了一种由控制多边形定义曲线的方法。设计员只要移动控制顶点就可方便地修改曲

6、线的形状，而且形状的变化完全在预料之中，贝齐尔方法简单易用，又出色地解决了整体形状控制问题。为CAGD的进一步发展奠定了坚实基础 。 贝齐尔方法仍存在连接问题，还有局部修改问题。稍早于贝齐尔，在法国雪铁龙 (Citroen) 汽车公司工作的德卡斯特里奥 (de Casteljau) 也曾独立地研究发展了同样的方法，但结果从未公开发表。,计算机辅助几何设计,德布尔(de Boor)于1972年给出了关于B样条的一套标准算法。美国通用汽车公司的戈登(Gordon)和里森费尔德(Riesenfeld)于1974年将 B样条理论应用于形状描述提出了B样条曲线曲面。它几乎继承了贝齐尔方法的一切优点，克服

7、了贝齐尔方法存在的缺点，较成功地解决了局 部控制问题，又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接问题。,计算机辅助几何设计,B样条方法较成功地解决了自由型曲线曲面形状的描述问题。然而，将其应用于圆锥截线及初等解析曲面却是不成功的，都只能给出近似表示。为此，1975年美国锡拉丘兹(Syracuse)大学的弗斯普里尔(Versprille)在他的博士论文中首先提出了有理B样条方法。以后，主要由于皮格尔（Piegl)、蒂勒(Tiller)和法林(Farin)等人的功绩，至20世纪80年代后期，非均匀有理B样条(Non Uniform Rational B spline，简称NURBS)方法成为用于曲线

8、曲面描述的最广为流行的数学方法。,1.3 其他一些重要进展与趋向,计算机辅助几何设计,当今大部分CAD系统中的曲面都定义在矩形域上。其主要原因要追溯到曲面设计方法的最初应用上。当初设计的汽车与飞机机身等物体的外形曲面均具有内在的矩形结构。这导致早期系统都围绕矩形曲面片建立。后来，在一些更复杂的零件造型中，矩形曲面片与矩形拓扑的局限性就暴露出来。N边曲面片特别是三边曲面片成为一个广泛研究的课题。,计算机辅助几何设计,由于各种原因，有许多零件未采用CAD系统描述，有必要自动地生成它们的几何模型，以便能像处理别的几何模型那样处理它们。这个准重构过程常被称为反向工程或逆向工程(reverse engi

9、neering)。在反向工程里，物理零件首先被测量，所生成的数字化数据随后通过某种算法被转换成为几何模型，这也是目前本学科领域内研究的热点问题之一。,计算机辅助几何设计,目前在本领域内出现、研究并取得进展的其他造型方法还有：自由变形造型、偏微分方程构造曲面、能量优化法曲线曲面造型、细分曲面造型等。它们部分目前已应用于商业CAD/CAM系统，可以预见不久的将来它们将获得更为广泛的应用。,图例：一个二次B样条曲线图案（细分方法）,计算机辅助几何设计,自由型曲线,图例：自由型曲面（CC细分法）,计算机辅助几何设计,2.曲线曲面参数表示的基础知识,计算机辅助几何设计,2.1 曲线和曲面的表示方法1显式

10、表示y=f(x)，z=f(x，y)。2隐式表示f(x,y)=0，f(x,y,z)=0。3参数表示P(t)=x(t)，y(t)，z(t)， S(u,v)=x(u，v)，y(u，v)，z(u，v),计算机辅助几何设计,以上表示方法各有优缺点，显式表示中横纵坐标的对应关系直观明确，但是不能表示多值曲线。隐式表示坐标对应关系不直观，但是很容易判断一个点是在一条封闭曲线的内部还是外部。参数表示易于对曲线曲面上的点求值而且可以表示多值曲线。本课程将主要采用参数表示法。,计算机辅助几何设计,参数表示的突出优点：（1）曲线的边界容易确定。 （2）易于进行各种变换。 （3）易于处理斜率为无穷大(如垂线)的情形。

11、 （4）表示能力强。 （5）具备从低维到高维的推广能力。 （6）一定条件下具有几何不变性。,计算机辅助几何设计,所谓几何不变性，简单地说就是方程所表示的曲线曲面与坐标系的选择无关。当用有限的信息决定一个形状(例如3个点决定一条抛物线)时，如果这些点的相对位置确定，所决定的形状也就固定下来，它不应随所取的坐标系的改变而改变。若采用显函数表示，就不具有这样的性质。 例2.1给定三个点(0，0)，(1，1/2)，(2，0)决定了唯一的二次多项式函数 其图形如图2.1所示,计算机辅助几何设计,图2.1,保持3点相对位置不变，当把这3点绕原点逆时针旋转45度后，则得如图所示的另一个二次多项式 ，表达式为

12、： 二者不但表达式不同，图形形状也不一样。,计算机辅助几何设计,如果对上面三点分别赋予参数u=0，0.5，1，则可得过这3点的一条惟一的参数二次曲线，表达式为：,只要三点间的相对位置保持不变，无论将其怎样同时旋转和平移，所决定的参数二次曲线方程形式上都不会改变。虽然3个点的位置矢量的坐标分量发生了改变，但在方程中并不反映出来。方程所表达的曲线形状也保持不变。图形如图2.2所示,计算机辅助几何设计,图2.2,但需要指出的是，参数曲线曲面表示并不总是具有几何不变性。我们将在后面的课程中进一步讨论。,3.贝齐尔曲线与曲面,在产品零件设计中，许多自由曲面是通过自由曲线来构造的。对于自由曲线的设计，设计

13、人员希望采用直观的具有明显几何意义的操作，使得设计的曲线能够逼近曲线的形状。贝齐尔曲线与曲面正好可以成为这样的工具。贝齐尔曾是法国雷诺 汽车公司的工程师，其想 法从一开始就面向几何而 不是面向代数。1962年他 提出这种独创的构造曲线 曲面的方法，并以之为基,计算机辅助几何设计,计算机辅助几何设计,础，发展了一套自由型曲线曲面的设计制造系统，称之为UNISURF系统，于1972年正式投入使用。 20世纪80年代中后期，在国际CAD软件市场享有盛名的出法国达索(Dassault)飞机公司研制推出的CATIA系统，也广泛采用了贝齐尔方法，其中所用贝齐尔曲线高达15次，贝齐尔曲面高达9次。在多项式插

14、值曲线曲面中是不可能达到这样高的次数而不出问题的。,计算机辅助几何设计,3.1 贝齐尔曲线的定义与性质,3.1.1 贝齐尔曲线的定义n次贝齐尔曲线由n+1个顶点构成的特征多边形确定。特征多边形大致勾画出了对应曲线的形状。 图3.1中为一条3次Bezier曲线，其控制顶点依次为,图3.1 三次Bezier曲线,计算机辅助几何设计,更多图例：,4次Bezier曲线,5次Bezier曲线,计算机辅助几何设计,早期的Bezier曲线定义：早期Bezier曲线利用特征多边形的边矢量 定义。,边矢量,贝齐尔基函数,其中， 是Bezier基函数。,n=5 时的Bezier基函数,计算机辅助几何设计,由于Be

15、zier没有把他怎样导出这些基函数的过程公开出来，人们初见到这些基函数时，留下的印象是“好像从天上掉下来似的”。,图3.2 用边矢量表示的贝齐尔曲线的特征多边形,早期的Bezier公式应用不便，Bezier本人后来对其 进行了修改。,计算机辅助几何设计,修改后的Bezier曲线定义：修改后的Bezier曲线利控制顶点位置矢量 定义。,其中， 是n次Bernstein基函数。,给定空间n+1个点的位置矢量 ,i=0,1,2,n 则Bezier曲线可定义为：,计算机辅助几何设计,例3.1 三次Bezier曲线。三次贝齐尔曲线由4个控制顶点确定。,计算机辅助几何设计,3.1.2 贝齐尔曲线的几何性质贝齐尔曲线的几何性质取决于基函数的性质，所以我们首先研究Bernstein基函数的性质。,Bernstein基函数具有以下性质:,（1）正性 （2）权性（规范性） （3）对称性 （4）导数性质 （5）递推性 补充性质：,（6）最值 （7）升阶公式,计算机辅助几何设计,Bernstein基函数的图例 （Mathematica绘制）,一次Bernstein基函数,二次Bernstein基函数,计算机辅助几何设计,四次Bernstein基函数表达式、图形以及在同一坐标系下的图形,计算机辅助几何设计,各项性质具体如下：,（1）正性,