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1、- 1 - 指数函数指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨1比较大小例 1已知函数2( )fxxbxc 满足(1)(1)fxfx，且(0)3f，则()xf b与()xf c的大小关系是 _分析：先求bc，的值再比较大小，要注意xxbc，的取值是否在同一单调区间内解：(1)(1)fxfx，函数()fx 的对称轴是1x故2b，又(0)3f，3c函数()fx 在1，上递减，在1 ， 上递增若0x，则 321xx，(3 )(2 )xxff；若0x，则 321xx，(
2、3)(2)xxff综上可得(3)(2 )xxff，即()()xxf cf b评注：比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论2求解有关指数不等式例 2已知2321(25)(25)xxaaaa，则 x的取值范围是 _分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围解：2225(1)441aaa，函数2(25)xyaa在 ()，上是增函数，31xx，解得14x x 的取值范围是14， 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1 的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论3求定义域
3、及值域问题例 3求函数216xy的定义域和值域解：由题意可得2160x，即261x，20x，故2x函数()fx的定义域是2，令26xt，则1yt ，又2x，20x 2061x，即 01t 011t，即 01y函数的值域是0 1， 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响4最值问题- 2 - 例 4函数221(01)xxyaaaa且在区间 11， 上有最大值14，则 a 的值是 _分析：令xta可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围解：令xta ，则0t，函数221xxyaa可化为2(1)2yt，其对称轴为1t当1a时，11x， ，1xaa a，即1ta
4、a当 ta 时，2max(1)214ya解得3a或5a（舍去）；当01a时，11x， ，1xaa a，即1at a，1t a时，2max11214y a，解得13a或15a（舍去）， a 的值是 3 或13评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等5解指数方程例 5解方程223380xx解：原方程可化为29(3)80390xx，令3 (0)xtt，上述方程可化为298090tt，解得9t或19t（舍去）， 39x，2x，经检验原方程的解是2x评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根6图象变换及应用问题例 6为了得到函数935xy的图象，可
5、以把函数3xy的图象（） A向左平移9 个单位长度，再向上平移5 个单位长度B向右平移9 个单位长度，再向下平移5 个单位长度C向左平移2 个单位长度，再向上平移5 个单位长度D向右平移2 个单位长度，再向下平移5 个单位长度分析：注意先将函数935xy转化为235xt，再利用图象的平移规律进行判断解： 293535xxy， 把函数3xy的图象向左平移2 个单位长度，再向上平移5 个单位长度，可得到函数935xy的图象，故选（ C） 评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等习题1、比较下
6、列各组数的大小：（1）若，比较与；（2）若，比较与；- 3 - （3）若，比较与；（4）若，且，比较a与b；（5）若，且，比较a与b解：（ 1）由，故，此时函数为减函数由，故（2）由，故又，故从而（3）由，因，故又，故从而（4）应有因若，则又，故，这样又因，故从而，这与已知矛盾（5）应有因若，则又，故，这样有又因，且，故从而，这与已知矛盾 小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解2 曲线分别是指数函数 ,和的图象 , 则与 1 的大小关系是 ( ). (分析: 首先可以根据指数函数单调性, 确定 , 在轴右侧令, 对应的函数值由小到大依次为 , 故应选 . 小结: 这种类型题目是
7、比较典型的数形结合的题目, 第(1) 题是由数到形的转化, 第(2)题则是由图到 数的翻译 , 它的主要目的是提高学生识图, 用图的意识 . 求最值3 求下列函数的定义域与值域. (1)y 231x; (2)y4x+2x+1+1. 解：(1) x-3 0， y231x的定义域为 xxR且 x3. 又 31x0， 231x1，y231x的值域为 yy0 且 y1. (2)y 4x+2x+1+1 的定义域为R.2x0, y4x+2x+1+1(2x)2+22x+1(2x+1)21. - 4 - y4x+2x+1+1 的值域为 yy1. 4 已知 -1x2, 求函数 f(x)=3+2 3x+1-9x的
8、最大值和最小值解：设 t=3x, 因为 -1x2，所以9 31t，且 f(x)=g(t)=-(t-3)2+12, 故当 t=3 即 x=1 时， f(x) 取最大值 12，当 t=9 即 x=2 时 f(x) 取最小值 -24。5、设，求函数的最大值和最小值分析：注意到，设，则原来的函数成为，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值解：设，由知，函数成为，对称轴，故函数最小值为，因端点较距对称轴远，故函数的最大值为6（9 分）已知函数)1(122aaayxx在区间 1,1上的最大值是14，求 a 的值 . 解：)1(122aaayxx，换元为)1(122at atty，对称轴为1t.
9、 当1a，at，即 x=1 时取最大值，略解得a=3 (a= 5舍去 ) 7已知函数（且）（1）求的最小值；（2）若，求的取值范围 解： （1），当即时，有最小值为（2），解得当时，；当时，8（10分） （ 1）已知mxfx132 )(是奇函数，求常数m的值；（2）画出函数|13|xy的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程 |3 k无解？有一解？有两解？解： （1）常数 m=1 （2）当 k0 且 a1). - 6 - (1) 求 f(x) 的定义域和值域；(2) 讨论 f(x) 的奇偶性； (3) 讨论 f(x) 的单调性 . 解：(1) 易得 f(x) 的定义域为 xxR. 设 y 11
10、xxaa, 解得 ax-11yy ax0当且仅当 - 11yy0 时，方程有解 . 解- 11yy0 得-11 时， ax+1 为增函数，且ax+10. 12xa为减函数，从而f(x) 1- 12xa 11xxaa为增函数 .2 当 01) 的图像是 ( ) 分析本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想. 解法 1：( 分类讨论 ) ：去绝对值，可得y ).0()1 (),0(x axaxx又 a1，由指数函数图像易知，应选B. 解法 2：因为 ya x是偶函数，又a1，所以当 x0 时， yax是增函数； x0 时， ya-x是减函数 . 应选 B.
