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1、材料力学刘鸿文主编(第4版) 高等教育出版社,目录,第四章 弯曲内力,目录,第四章 弯曲内力,4-1 弯曲的概念和实例 4-2 受弯杆件的简化 4-3 剪力和弯矩 4-4 剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 4-6 平面曲杆的弯曲内力,目录,4-1 弯曲的概念和实例,起重机大梁,目录,变形,车削工件,目录,4-1 弯曲的概念和实例,火车轮轴,目录,4-1 弯曲的概念和实例,弯曲特点,以弯曲变形为主的杆件通常称为梁,目录,4-1 弯曲的概念和实例,图片,图片1,图片2,平面弯曲,平面弯曲: 弯曲变形后的轴线为平面曲线, 且该平面曲线仍与外力共面。,目录,4-1
2、 弯曲的概念和实例,对称弯曲,常见弯曲构件截面,目录,4-1 弯曲的概念和实例,梁的载荷与支座,集中载荷,分布载荷,集中力偶,固定铰支座,活动铰支座,固定端,4-2 受弯杆件的简化,目录,目录,4-2 受弯杆件的简化,火车轮轴简化,目录,4-2 受弯杆件的简化,目录,4-2 受弯杆件的简化,吊车大梁简化,均匀分布载荷 简称均布载荷,目录,4-2 受弯杆件的简化,非均匀分布载荷,目录,4-2 受弯杆件的简化,简支梁,外伸梁,悬臂梁,FAx,FAy,FBy,FAx,FAy,FBy,FAx,FAy,MA,静定梁的基本形式,目录,4-2 受弯杆件的简化,FS剪力，平行于横截面的内力合力,M 弯矩，垂直
3、于横截面的内力系的合力偶矩,4-3 剪力和弯矩,目录,截面上的剪力对所选梁段上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力为正；反之为负。,+,_,截面上的弯矩使得梁呈凹形为正；反之为负。,4-3 剪力和弯矩,左上右下为正；反之为负,左顺右逆为正；反之为负,目录,解：,1. 确定支反力,2. 用截面法研究内力,目录,例题4-1,4-3 剪力和弯矩,分析右段得到：,目录,4-3 剪力和弯矩,截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。,目录,4-3 剪力和弯矩,截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代数和。,目录,4-3 剪力和弯矩,例 图中外伸梁上均布载荷的集度为q=3kNm，集中力偶矩m=3kNm。
4、求截面1-1、2-2、3-3的剪力和弯矩。,RA =14.5kN， RB =3.5kN,目录,4-3 剪力和弯矩,悬臂梁受均布载荷作用。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：任选一截面x ，写出剪力和弯矩方程,依方程画出剪力图和弯矩图,由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为,目录,例题4-2,4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,图示简支梁C点受集中力作用。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,FAyFb/l FByFa/l,2写出剪力和弯矩方程,AC,CB,3. 依方程画出剪力图和弯矩图。,目录,例题4-3,4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力
5、图和弯矩图,图示简支梁C点受集中力偶作用。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,FAyM / l FBy -M / l,2写出剪力和弯矩方程,AC,CB,3. 依方程画出剪力图和弯矩图。,目录,例题4-4,4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,简支梁受均布载荷作用,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,FAy FBy ql/2,2写出剪力和弯矩方程,3.依方程画出剪力图和弯矩图。,目录,例题4-5,4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,目录,4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,课堂练习 绘制图示梁的剪力图、弯矩图。,4-
6、5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,载荷集度、剪力和弯矩关系：,目录,载荷集度、剪力和弯矩关系：,q0，Fs=常数， 剪力图为水平直线；M(x) 为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。,2.q常数，Fs(x) 为 x 的一次函数，剪力图为斜直线；M(x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。分布载荷向上（q 0），抛物线呈凹形；分布载荷向上（q 0），抛物线呈凸形。,3. 剪力Fs=0处，弯矩取极值。,4. 集中力作用处，剪力图突变；集中力偶作用处，弯矩图突变,4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,目录,5、也可通过积分方法确定剪力、 弯矩图上各点处的数值。,从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力
7、图向上（下）突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。,从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向上（下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。剪力图在该点没有变化。,4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,目录,外力,无外力段,均布载荷段,集中力,集中力偶,Q图特征,M图特征,水平直线,斜直线,自左向右突变,无变化,斜直线,曲线,自左向右折角,自左向右突变,与m反,4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：, 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。, 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。, 建立FS一x和M一x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应
8、的坐标系中。, 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。,4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,目录,例题4-6 简支梁受力的大 小和方向如图示。,试画出其剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,求得A、B 二处的约束力 FAy0.89 kN , FBy1.11 kN,根据力矩平衡方程,2确定控制面,在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力 内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。,4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,目录,3建立坐标系 建立 FSx 和 Mx 坐标系,5根据微分关系连图 线,4应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其
9、标在 FS x和 Mx 坐标系中。,0.89 kN=,1.11 kN,4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,目录,解法2：1确定约束力,FAy0.89 kN FFy1.11 kN,2确定控制面为A、C、D、B两侧截面。,3从A截面左测开始画剪力图。,4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,目录,4从A截面左测开始画弯矩图。,从A左到A右,从C左到C右,从D左到D右,从A右到C左,从C右到D左,4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,从D右到B左,从B左到B右,目录,例题4-7 试画出梁 的剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,根据梁的整体平衡，由,求得A、B 二处的约束力,2确定控制面,由于AB段上
10、作用有连续分布载荷，故A、B两个截 面为控制面，约束力FBy右侧的截面，以及集中力qa 左侧的截面，也都是控制面。,4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,目录,3建立坐标系 建立FSx和Mx坐标系,4确定控制面上的剪力值，并将其标在FSx中。,5确定控制面上的弯矩值，并将其标在Mx中。,4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,目录,解法2：1确定约束力,2确定控制面，即A、B、D两侧截面。,3从A截面左测开始画剪力图。,4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,目录,4求出剪力为零的点 到A的距离。,B点的弯矩为-1/27qa/47a/4+81qa2/32=qa2,AB段为上凸抛物线。且有 极大值。
11、该点的弯矩为1/29qa/49a/4=81qa2/32,5从A截面左测开始画弯 矩图,4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,目录,集中力不可能“集中”作用于一点，它是分布于一个微段x内的分布力经简化后得出的结果 。,关于集中力和集中力偶,4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,目录,课堂练习 图中外伸梁上均布载荷的集度为q=3kNm，集中力偶矩m=3kNm。绘制剪力图和弯矩图。,RA =14.5kN， RB =3.5kN,4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,目录,4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,目录,课堂练习 改内力图之错。,a,2a,a,q,qa2,A,B,Q,x,x,M,qa/4,q
12、a/4,3qa/4,7qa/4,qa2/4,49qa2/32,3qa2/2,5qa2/4,4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,目录,课堂练习 已知Q图，求外载及M图（梁上无集中力偶）。,Q(kN),x,1m,1m,2m,2,3,1,5kN,1kN,q=2kN/m,M(kNm),x,1,1,1.25,4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,目录,46 按叠加原理作弯矩图,一、叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。,适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。,二、材料力学构件小变形、线性范围内必
13、遵守此原理叠加方法,步骤：分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。,目录,46 按叠加原理作弯矩图,例4-8 按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力P作用在梁AB的中点处）。,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,=,+,目录,46 按叠加原理作弯矩图,三、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称结构在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。,目录,46 按叠加原理作弯矩图,P,PL,PL,0.5P,0.5P,0.5P,0.5P,P,0,M,x,M1,x,M2,x,0.5PL,PL,0.5PL,0.5P
14、L,例4-9 作下列图示梁的弯矩图。,目录,46 按叠加原理作弯矩图,例题4-8 试画出图示有中间 铰梁的剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,从铰处将梁截开,4-7 连续梁、平面刚架、曲杆的内力,目录,一、连续梁,已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l。,试：画出刚架的内力图。,例题4-6,解：1、确定约束力,2、写出各段的内力方程,竖杆AB：A点向上为y,B,二、平面刚架,目录,横杆CB：C点向左为x,二、平面刚架,目录,竖杆AB：,根据各段的内力方程画内力图,横杆CB：,二、平面刚架,目录,平面曲杆,某些构件（吊钩等）其轴线为平面曲线称为平面曲杆。当外力与平面曲杆均在同一平面内时，曲杆的内力有轴力、剪力和弯矩。,目录,三、平面曲杆的弯曲内力,目录,画出该曲杆的内力图,解：写出曲杆的内力方程,三、平面曲杆的弯曲内力,例题4-10,小结,1、熟练求解各种形式静定梁的支座反力,2、明确剪力和弯矩的概念，理解剪力和弯矩的正负号规定,3、熟练计算任意截面上的剪力和弯矩的数值,4、熟练建立剪力方程、弯矩方程，正确绘制剪力图和弯矩图,目录,
