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1、第六章离散时间信号的频域分析,本章重点 序列傅立叶变换 周期序列的离散傅立叶级数 离散傅立叶变换,本章难点 离散傅立叶变换性质与应用 循环卷积、线性卷积,连续信号的傅里叶表示,周期为T0的连续时间周期信号,可展开成傅立叶级数,两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量,的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量,物理含义：,周期信号f (t)可以分解为不同频率虚指数信号之和,F(j)是连续非周期的,非周期信号的傅里叶变换,问题,如何利用计算机进行地震波分析？,本章内容,序列傅里叶变换及其性质 周期序列的傅里叶级数 离散傅里叶变换(DFT) DFT的性质与应用,将收集的连续地震
2、波进行抽样，获得离散的地震波信号,序列傅里叶变换及其性质,序列傅里叶变换也称为离散时间傅里叶变换(DTFT),离散、非周期,其序列傅里叶正变换定义为,序列傅里叶变换的反变换为,若满足：,如何得来？,用 乘式（6.1）两边，并在-内对进行积分,序列傅里叶变换及其性质,幅度谱,相位谱,相位谱()不是唯一确定的,序列傅里叶变换性质,周期性,是频率的周期函数，周期为2,在=0,2,4，点上表示序列x(n)的直流分量，那么离开这些点愈远，其频率愈高，但又以2为周期，因此最高的频率应是=。,线性,设,则,序列傅里叶变换性质,序列傅里叶变换性质,时移与频移,则,序列傅里叶变换性质,时域卷积,设,则,频域卷积
3、,设,则,序列傅里叶变换性质,帕斯瓦尔定理,信号时域的总能量等于频域总能量,序列傅里叶变换性质,对称性,共轭对称序列,若为实序列,为偶对称序列,若为复序列,则：,可得到：,对于复序列，共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。,共轭反对称序列,若为实序列,为奇对称序列,若为复序列,(2.29),可以得到 即共轭反对称序列的实部是奇函数， 而虚部是偶函数,则:,任意序列x(n),其中：,序列傅里叶变换及其性质,一个序列x(n)的傅里叶变换,复序列,其中：,则它们之间满足对应关系:,FT,FT,FT,FT,设,序列傅里叶变换及其性质,即：,实部的FT具有共轭对称性，j虚部FT具有共轭反对称性,序
4、列共轭对称分量与共轭反对称分量的傅里叶变换分别等于序列傅里叶变换的实部和虚部乘j,序列傅里叶变换及其性质,如果x(n)是实序列,则,傅里叶变换的实部是一个偶函数,虚部是一个奇函数,參看表6.1，6.2,幅频特性是的偶对称函数,相频特性是的奇对称函数,例：试求如下序列的傅立叶变换,的傅立叶变换,。,例：求矩形序列,解 :,令:,本章内容,序列傅里叶变换及其性质 周期序列的傅里叶级数 离散傅里叶变换(DFT) DFT的性质与应用,序列傅里叶变换分析：频谱连续,周期序列的傅里叶级数,一个周期为N的周期序列,将周期序列展开成傅里叶级数,其中,ak是傅里叶级数的系数。,求系数ak: 将上式两边同乘以 ，
5、 并对n在一个周期N中求和:,其中,因此,周期序列的傅里叶级数,系数ak也具有周期性,令:,周期序列的傅里叶级数,时域离散、周期 频域离散、周期,本章内容,序列傅里叶变换及其性质 周期序列的傅里叶级数 离散傅里叶变换(DFT) DFT的性质与应用,周期序列傅里叶级数：无限长,离散傅里叶变换(DFT),离散傅里叶级数,信号在时域和频域都是离散、周期的，即无限长的,有限长序列,连续、周期的，,离散傅里叶变换(DFT),设x(n)为有限长序列，长度为N, 即:,将x(n)周期延拓，使其周期化，可得到一个周期为N的周期序列,即:,周期序列的主值区间,对于周期序列 ，其第一个周期 n=0N-1，,周期序
6、列的主值序列,主值区间上的序列, 即周期序列中第一个周期内的值x(n),表示为：,对 进行DFS变换，得到 。 即,也是一个周期序列，,称 X（K）为有限长序列x(n)的离散傅立叶正变换DFT x(n)为X（K）的离散傅立叶反变换IDFT,取 的第一个周期内的值，则得X（K）,离散傅里叶变换(DFT),长度为N的有限长序列 x(n) ，其离散傅里叶变换 X(k) 仍是 一个长度为N 的有限长序列，它们的关系为,所以,求有限长序列x(n)的DFT的实质是: 将有限长序列x(n)作周期延拓x(n)N, 求其DFS, 取其主值序列,即可得X（K）,所以，DFT的定义式：,DFT的引出:,例: 已知序
7、列x(n)=(n)，求它的N点DFT。 解 单位脉冲序列的DFT很容易由DFT的定义式得到：,k=0, 1, , N-1,(n)的X(k)如图所示。这是一个很特殊的例子，它表明对序列(n)来说，不论对它进行多少点的DFT，所得结果都是一个离散矩形序列。,序列(n)及其离散傅里叶变换,例 3-5 已知x(n)=cos(n/6)R12(n)是一个长度N=12的有限长序列， 求它的N点DFT。 解 由DFT的定义式,利用复正弦序列的正交特性式，再考虑到k的取值区间，可得,图 3-10 有限长序列及其DFT,例 : 若 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT 设变换区间N=8， 则,设
8、变换区间N=16， 则,DFT与DTFT的关系,x(n)，N,DFT和DTFT分别为：,令：,即: X(K)也是 在w=2k/N处的采样值。如图所示,离散傅里叶变换性质,线性,设: x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度均为N。,X1(k) = DFTx1(n) X2(k) = DFTx2(n),式中，a, b为任意常数。,则:,循环移位性质,序列的循环移位,x(n)的循环移位定义为 y(n)=x(n+m)N RN(N),其过程为:,1)、将x(n)以N为周期进行周期延拓得x(n)N 2)、将x(n)N左移m位，得x(n+m)N 3)、取其主值序列x(n+m)N RN(N),离散傅里叶变
9、换性质,循环移位过程,时域循环移位定理,设x(n) 是长度为N的有限长序列,频域循环移位定理,离散傅里叶变换性质,循环卷积定理,设x1(n)和x2(n) 都是长度为N的有限长序列，则它们的循环卷积定义为,y(n)也是一个长度为N的序列,记为:,循环卷积的计算,循环卷积运算过程： 将x1(n)和x2(n)用x1(m)和x2(m)表示，并将x2(m)进行翻转，形成x2(-m) ； 将x2(-m)周期化，形成x2(-m)N, 取主值序列,则得到 x2(-m)NRN(m) 将x2(-m)NRN(m)圆周右移n位，得到 x2(n-m)N RN(m) 。 将x1(m)和x2(n-m)N RN(m)相同序号
10、的序列值对应相乘后，再相加。,y(n),x1(m),圆周卷积过程示意图,离散傅里叶变换性质,循环卷积定理,DFT的共轭对称性,圆周共轭对称,圆周共轭反对称,圆周共轭对称与共轭反对称序列示意图,任意序列,参照DTFT共轭特性,如果 其对应的DFT：,则:,DFT的共轭对称性,若x(n)是长度为N的实序列，且X(k)=DFTx(n),则 X(k)圆周共轭对称 X(k)=X*(N-k), 0kN-1 即 XR(k)= XR(N-k) XI(k)= -XI(N-k),即,X(k)的幅频特性是偶对称的，相频特性是奇对称的,对于实序列，计算N点DFT 若N=偶，则只要计算前N/2+1点的DFT，其它点由X
11、(k)=X*(N-k)可得到 若N=奇，则只要计算前（N+1）/2点的DFT即可。 利用DFT的共轭对称性，还可通过计算一个N点DFT，得到两个不同实序列的N点DFT，,Parseval 定理,DFT应用,线性卷积频谱分析,实际应用中，大多数是求解线性卷积，如信号x（n）通过系统h（n），其输出就是线性卷积y（n）=x（n）*h（n）。,而,循环卷积-DFT 乘积,线性卷积-FT 乘积,循环卷积比起线性卷积，在运算速度上有很大的优越性，它可以采用离散傅立叶变换的乘积实现，而快速付里叶变换（FFT）技术又大大提高了离散傅立叶变换的计算速度，所以利用循环卷积求线性卷积.,线性卷积,线性卷积,设x(
12、n)、h(n)为两个有限长序列，其长度分别为N和M， 它们的线性卷积定义为,线性卷积 yl(n)长度为N+M-1,循环卷积,则由时域循环卷积定理有 Yc(k)=DFTyc(n)=X (k)H(k) 由此可见，循环卷积既可在时域直接计算，也可以在频域计算。由于DFT有快速算法FFT，当N很大时，在频域计算的速度快得多，因而常用DFT(FFT)计算循环卷积。,而若,循环卷积与线性卷积的关系,所以,循环卷积yc(n)等于线性卷积yl(n)以L为周期的周期延拓序列的主值序列, 因为yl(n)的长度为N+M-1, 因此只有L N+M-1时， yl(n)以L为周期进行周期延拓才不会产生混叠， yc(n)=
13、 yl(n),用DFT求线性卷积,将x(n)、h(n)都变为长度为N+M-1的序列,计算L的DFT X(K), H(K),求X(K).H(K)的IDFT,频谱分析,时域抽样,时域加窗,频域抽样,用DFT对连续时间信号进行频谱分析必然是近似的，其近似程度与信号带宽，抽样频率和窗函数宽度等有关，近似公式为：,频谱分析存在的问题,混叠现象,栅栏效应,频谱泄漏,混叠现象,时域离散,频域周期，混叠,要求：fs 2fmax,频域抽样：,频率分辨率F ：频率抽样间隔。它表示在频域中能分辨出的频率范围，即频谱分析中能分辨出的两个频率分量的最小间隔，,F=fs/N=1/(NTs)=1/tp 或 N=fs/F F
14、与信号的实际长度有关。,例：设x(t)的最高频率fc不超过3Hz，取 fs=10 Hz ,即Ts=0.1s,对其抽样。设 tp=25.6s,即抽样得x(n)的点数为256。那么对x(n)做DFT ，所得到的最大频率分辨率：F=fs/N=1/25.6=0.0390625 Hz 如果x(t)=sin(2f1t)+ sin(2f2t)+ sin(2f3t) 其中： f1=2 Hz, f2=2.02 Hz, f3=2.07 Hz, 则：f1 f2不能分辨出。,Ts=0.1s,tp=25.6s,F=fs/N=1/25.6=0.0390625 Hz,Tp=51.2s,F=0.0195,截断效应,x(n)可
15、能无限长,将x(n)截短，相当于 y(n)=x(n)RN(n).,则：,其中：,例如， x(n)=cos(0n), 0=/4其频谱为 其频谱图如图所示：,所以，截断后序列的频谱与原序列的频谱有差别。 1、泄漏现象：截断后，使原来的离散谱线向附近展宽，通常称这种展宽为泄漏，它使频谱模糊，谱分辨率下降。 2、谱间干扰：在主谱线两边形成很多旁瓣，引起不同频率间的干扰，影响频谱分辨率。 上述两种现象又称为截断效应。,截断效应,N点DFT是在频率区间0，2上对信号频谱进行N点等间隔采样，得到的是若干个离散的频谱点X（k），且它们限制在基频的整数倍上，这就好像在栅栏的一边通过缝隙看另一边的景象一样，只能在离散点处看到真实的景象，其余部分频谱成分被遮挡，所以称之为栅栏效应。减小栅栏效应方法：尾部补零，使谱线变密，增加频域采样点数，原来漏掉的某些频谱分就可能被检测出来,栅栏效应,例：已知一个有限长序列 1、求它的8点DFT X(k) 2、已知序列y(n)的8点DFT为 求序列y(n) 3、已知序列m(n)的8点DFT为 求序列m(n),解：1、,2、,3、,例：设 1、求x(n)的4点DFT 2、求x(n)的6点DFT 3、若y(n)是x(n)与 的4点循环卷积，求y(n)及其4点DFT 解： 2、 3、,
