《第六章 多元函数微积分多元函数的极值及其求法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第六章 多元函数微积分多元函数的极值及其求法（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.6 多元函数的极值及其求法,一、 多元函数的极值及其最大值、最小值,例6.6.2,例6.6.3,例6.6.4,二、 条件极值与拉格朗日乘数法,四、 内容小结, 习题解答,例6.6.1,例6.6.5,三、 最小二乘法,本节内容:,例6.6.6,例6.6.7,例6.6.10,例6.6.9,例6.6.8, 作业,定义: 若函数,则称函数在该点取得极大值,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有,(极小值).,一、 多元函数的极值及其最大值、最小值,1.极值,(1) 极值的概念,例6.6.1,例6.6.2,补充例,例6.6.3,（2）二元函数取得极值的条件,证,问题
2、：如何判定一个驻点是否为极值点？,说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .,但驻点不一定是极值点.,定理6.6.2 (充分条件),若函数,时, 具有极值,的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,令,则: 1) 当,A0 时取极小值.,2) 当,3) 当,时, 没有极值.,时, 不能确定 , 需另行讨论.,且,例6.6.4,求函数,解: 第一步 求驻点.,得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判别.,在点(1,0) 处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,C,B,A,在点(3,0) 处,不是极值;,在点(3,2) 处,为极大值.,在点(
3、1,2) 处,不是极值;,练习： 讨论函数,及,是否取得极值.（作业2.）,解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.,因此,为极小值.,正,负,0,在点(0,0),并且在 (0,0) 都有,可能为,(2).最大值与最小值,函数 f 在闭域上连续,函数 f 在闭域上可达到最值,最值可疑点,驻点,边界上的最值点,特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,为极小值,为最小值,(大),(大),依据,例6.6.5,解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一体积为8,根据
4、实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水,箱,问当长、宽、高各取多少时, 才能使用料最省?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时, 水箱所用材料最省.,例6.6.6 设 为商品A的需求量, 为商品B的需求量, 其 需求函数分别为 总成本函数为 ，其中 为商品A和B的价格, 试问价格 取何值时可使利润最大?,解 按题意，总收益函数为,于是总利润函数为,为使总利润最大，求一阶偏导数，并令其为零：,由此解得唯一驻点,.,根据题意，所求利润的最大值一定在区域,内取得，又函数在,内有唯一的驻点.因此该驻点即为所求最大值点.从当价格,时，利润可达到最大，而此时的产量为,
5、，,事实上，,，,，,.又因,由极值的充分条件可得唯一驻点,确实为区域,上的极大值点，从而是区域,上的最大值点.,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值 :,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如 ,转化,二、 条件极值与拉格朗日乘数法,方法2 拉格朗日乘数法.,分析：如方法 1 所述,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极,故极值点必满足,记,例如,值问题,故有,引入辅助函数,辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.,利用拉格,极值点必满足,则极值点满足:,朗日函数求极值的方法称
6、为拉格朗日乘数法.,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点 .,例如, 求函数,下的极值.,在条件,下求函数,的最大值,构造拉格朗日函数,解方程组,得,，进一步得,这是唯一可能的极值点 因为由问题本身可知 最大值一定存在 所以最大值就在这个可能的 值点处取得 也就是说，表面积为,的长方体中，以棱长为,的正方体的体积为最大，最大体积,求函数,在附加条件,下的极值. 解 作拉格朗日函数,由,则有,故,是函数,在所给条件下唯一驻点.,而所求极值为,设销售收入,与花费在两种广告宣传的费用,之间的关系为,利润额相当五分之一的销售收入, 并要扣除
7、广告费用. 已知广告费用总预算金是25万元, 试问如何分配两种 广告费用使利润最大?,解 设利润为,有,限制条件为,这是条件极值问题.令,由于,得,又,解得,问题的提出:,已知一组实验数据,求它们的近似函数关系 yf (x) .,需要解决两个问题:,1. 确定近似函数的类型,根据数据点的分布规律,根据问题的实际背景,2. 确定近似函数的标准,实验数据有误差,不能要求,*三、最小二乘法,偏差,有正有负,值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小,为使所有偏差的绝对,来确定近似函数 f (x) .,最小二乘法原理:,设有一列实验数据,分布在某条曲线上,通过偏差平方和最小求该曲线的方,法称为最小二乘法,
8、找出的函数关系称为经验公式 ., 它们大体,特别, 当数据点分布近似一条直线时,问题为确定 a, b,令,满足:,使,得,解此线性方程组 即得 a, b,称为法方程组 (注意其特点),例6.6.10,为了测刀具的磨损速度, 每隔 1 小时测一次刀,具的厚度, 得实验数据如下:,找出一个能使上述数据大体适合的经验公式.,解: 通过在坐标纸上描点可看出它们,大致在一条直线上,列表计算:,故可设经验公式为,得法方程组,解得,故所求经验公式为,为衡量上述经验公式的优劣,计算各点偏差如下:,称为均方误差,对本题均方误差,它在一定程度上反映了经验函数的好坏.,偏差平方和为,P230 1.（2）2. 4.,作业,1. 函数的极值问题,第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .,2. 函数的条件极值问题,(1) 简单问题用代入法,如对二元函数,(2) 一般问题用拉格朗日乘数法,内容小结,设拉格朗日函数,如求二元函数,下的极值,解方程组,第二步 判别, 比较驻点及边界点上函数值的大小, 根据问题的实际意义确定最值,第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件),3. 函数的最值问题,在条件,求驻点 .,6.6 部分习题答案,解：,解,在条件,,,Thank You !,广东外语外贸大学,
