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1、第2章 时域离散信号与系统的频域分析,2.1 引言 2.2 时域离散信号傅里叶变换 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换 2.4 时域离散信号傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系 2.5 序列的z变换 2.6 利用z变换分析信号和系统的频响特性,2.1 引言,(1) 对信号和系统进行分析和研究可以在时间域也可以在频率域进行。(2) 模拟系统在时间域用微分方程描述，在频率域用傅里叶变换或拉普拉斯变换表示。(3) 离散系统在时间域用差分方程描述，在频率域则用时域离散信号傅里叶变换或z变换表示。,2.2 时域离散信号傅里叶变换,一、时域离散信号傅里叶变换的定义,充分条件,对式(2.2.1
2、)两边乘以ejm，然后在一个周期内求平均值，可得,时域离散信号的傅里叶变换,时域离散信号傅里叶逆变换,【例2.2.1】设x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里叶变换。,以N=4为例,图 2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线,1.周期性,2.线性,3.时移与频移特性,二、时域离散信号傅里叶变换的性质,4. 对称性,(1) 复序列的共轭对称性和共轭反对称性,性质1：共轭对称序列其实部是偶函数，虚部是奇函数。,称序列xe(n)为共轭对称序列,性质2：共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数。,4. 对称性,(2) 一般序列的共轭对称和共轭反对称表示法,共轭对称序列,共轭反对称序列,定义,可得,对
3、于频域函数,任意一个序列可写成共轭对称序列和共轭反对称序列之和,4. 对称性,(3) 序列的傅里叶变换性质一,具有共轭对称性,具有共轭反对称性,【性质1】序列的实部对应的FT具有共轭对称性，虚部和j一起对应的FT具有共轭反对称性。序列x(n)的FT可以写成共轭对称函数与共轭反对称函数之和。,4. 对称性,(4) 序列的傅里叶变换性质二,【性质2】序列写成共轭对称部分xe(n)与共轭反对称部分xo(n)之和，xe(n)对应着X(ej)的实部XR(ej)，xo(n)对应着X(ej)的虚部XI(ej)乘以j。,4. 对称性,(5)实序列h(n)的对称性,实序列h(n)的FT只有共轭对称部分He(ej
4、),共轭对称性,实部是偶函数,虚部是奇函数,【例2.2.1】设x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里叶变换。,若x(n)=R4(n),图 2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线,5.时域卷积定理,6.频域卷积定理,7.帕塞瓦尔定理,2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换,一、周期序列的离散傅里叶级数 二、周期序列的傅里叶变换,一、周期序列的离散傅里叶级数(Discrete Fourier SeriesDFS),定义,周期序列的离散傅里叶级数正变换：,周期序列的离散傅里叶级数系数,离散傅里叶级数只有N个独立的谐波成分,周期序列离散傅里叶级数逆变换：,周期序列 可由N个谐波分量 组成，谐波分
5、量的数字频率为 ，谐波分量的幅度为 周期序列只有有限个序列值有意义,【例2.3.1】设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列，周期为8。求 ，并画出它的幅度谱。,图2.3.1 周期序列(a) 及其幅度特性(b),二、周期序列的傅里叶变换,1.复指数序列 的傅立叶变换,复指数序列的FT是以0为中心，以2的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面积为2 。,2.一般周期序列 的傅立叶变换,(1),(2),(3),(4),(5),周期性序列的傅立叶变换是一系列冲激函数串，其冲激函数的积分面 积等于,(1) 周期序列的傅立叶变换由在 处的冲激函
6、数组成，冲激函数的强度为 (2) 周期序列的傅立叶变换仍以2为周期，而且一个周期中只有N个用冲激函数表示的谐波。,周期序列傅立叶变换的特点：,【例2.3.2】求例2.3.1中周期序列的傅里叶变换及幅度谱。,2.4 时域离散信号的FT与模拟信号FT之间的关系,结论： (1)时域离散信号的频谱是模拟信号的频谱周期性延拓，周期为s=2/T。 (2)计算模拟信号的傅里叶变换可以用计算相应的时域离散信号的傅里叶变换得到。,2.5 序列的z变换,一、z变换的定义,三、序列时域波形与其z变换收敛域的对应关系,二、z变换的收敛域,五、逆z变换,四、z变换的性质和定理,六、利用z变换解差分方程,2.5 序列的z
7、变换,一、z变换的定义,z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面,双边z变换,二、z变换的收敛域,式(2.5.1)表明，X(z)是z或z-1的幂级数，其系数是x(n)的序列值，只有当此幂级数收敛时，z变换才有意义。对于任意序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。按照级数理论，式(2.5.1)的级数收敛的充要条件是满足绝对可和的条件，即要求,要满足式(2.5.3)，|z|的取值必须在一定的范围之内，这个范围就是X(z)的收敛域，其一般形式为,图2.5.1 z变换的收敛域,零点：X(z)分子多项式P(z)的根,极点：X(z)分母多项式Q(z)的根,X(ej)与X(
8、z)的关系：,【例】 设x(n)=0.9nu(n), 求其z变换，并确定收敛域。,X(z)存在的条件是 ，即,在极点处z变换不存在， 收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。,【例2.5.1】 设x(n)=u(n), 求其z变换，并确定收敛域。,三、序列时域波形与其z变换收敛域的对应关系,在时域，按照序列非零值区间的不同，序列可以分为有限长序列和无限长序列，无限长序列又分为右边序列、左边序列及双边序列。序列时域波形的形式不同，其z变换的收敛域也不同，二者一一对应。由序列时域波形的形式可以确定其z变换收敛域的情况，反过来，由z变换收敛域的情况也可以确定序列时域波形的形式。,1.有限长序列,
9、(1) n1 0, n2 0, 收敛域为： 0|z| (2) n1 0, n2 0, 收敛域为： 0|z| (3) n1 0, n2 0, 收敛域为： 0|z|,【例2.5.2】求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域。,收敛域：,2.右边序列,【例2.5.3】求x(n)=anu(n)的z变换及其收敛域。,收敛域：,3.左边序列,【例2.5.4】求x(n)=-anu(-n-1)的z变换及其收敛域。,收敛域：,4.双边序列,【例2.5.5】求 ，a为实数，求x(n)的z变换及其收敛域。,第一部分收敛域为：,第二部分收敛域为：,收敛域：,四、z变换的性质和定理,1. 线性性质,2. 移位性质,3.
10、 序列乘以指数序列的性质,4. 序列乘以n的ZT,5. 复共轭序列的ZT,6. 初值定理,7. 终值定理,8. 时域卷积定理,9. 复卷积定理,10. 帕塞瓦尔(Parseval)定理,五、逆z变换,1.用留数定理求逆z变换,zk是单阶极点：,留数辅助定理：,zk是m阶极点：,【例2.5.6】已知X(z)=(1-az-1)-1，收敛域是|z|a|，求其逆z变换x(n)。,【例2.5.7】已知 ，求其逆z变换x(n)。,（1）收敛域为|z|a-1|,（2）收敛域为|z|a|,（3）收敛域为|a-1|z|a|,2.部分分式展开法,X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0，在z=zm的极点留数就是
11、系数Am,【例2.5.8】已知 ，求逆z变换。,六、利用z变换解差分方程,1. 求系统的零状态响应,【例】已知差分方程y(n)=2y(n-1)+x(n)，激励x(n)=3nu(n)，求零状态响应yzs(n)。,2. 求系统的全响应,系统的全响应y(n)不是因果序列，可以分解为因果子序列y(n)u(n)和逆因果子序列y(n)u(-n-1)之和。当y(n)右移k个样值点时，y(n-k) (k=1,2,N)不仅包含了y(n)u(n)子序列的全部序列值，还包含y(n)u(-n-1)子序列移入的k个序列值，y(n-k) (k=1,2,N)的单边z变换为,对系统差分方程 两端求单边z变换，得,(2.5.3
12、4),(2.5.33),【例】已知差分方程y(n)=2y(n-1)+x(n)，激励x(n)=3nu(n)，系统的起始状态y(-1)=1，求全响应y(n)和零输入响应yzi(n)。,（2）求零输入响应,（1）求全响应,(2.5.33),2.6 利用z变换分析信号和系统的频响特性,一、频率响应函数与系统函数 二、用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性 三、利用系统的零极点分布分析系统的频率响应性,一、频率响应函数与系统函数,频率响应函数,：幅频响应,：幅频响应曲线,：相频响应,：相频响应曲线,系统函数,系统频率响应的意义：,(1) 输入为单频复指数序列,结论1：单频复指数序列通过频率响应函数
13、为 的系统后，输出仍为单频复指数序列，其幅度放大 倍，相 移为()。,(2) 输入为正弦序列,结论2：线性时不变系统对单频正弦信号cos(n)的响应为同频正弦信号， 其幅度放大 倍，相移增加()。,(3) 输入为一般序列x(n),1. 系统因果的条件,2. 系统稳定的条件,系统稳定，要求,存在,系统稳定的条件：H(z)的收敛域包含单位圆，即单位圆上不能有极点,3. 系统因果且稳定的条件,二、用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性,H(z)所有的极点在单位圆内。,H(z)的极点分布在某个圆内,h(n)因果,【例2.6.1】已知 ，分析其因果性和稳定性。,(1) 收敛域为,(2) 收敛域为,(3) 收敛域为,三、利用系统的零极点分布分析系统的频率响应性,
