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1、第二章 随机变量及其分布,关键词：随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数,第一节 随 机 变 量,在上一章中，我们把随机事件看作样本空间的子集；这一章里我们将引入随机变量的概念，用随机变量的取值来描述随机事件。,一、随机变量,引例： E1: 将一枚硬币连掷两次，观察正反面出现的情况。,e1=（正，正） 2 e2=（正，反） 1 e3=（反，正) 1 e4=（反，反） 0,令X=“正面出现的次数”，则X是一个随着试验结果不同而取值不同的量，其对应关系如下：,由上可知，对每一个样本点e，都有一个X的取值X(e),基本结果(e) 正面出现的次数X(e),与之对应。我们
2、把X称为定义在这个试验上的随机变量。,E2：掷一枚骰子，观察出现的点数.,令X=“正面出现的点数”,E3：某产品的使用寿命X,X=0.,E4：掷一枚质地均匀的硬币，观察正反面出现的情况.,一般地，对每一个随机试验，我们都可以引入一个变量X，使得试验的每一个样本点都有一个X的取值X(e)与之对应，这样就得到随机变量的概念.,1、随机变量的定义:,设E是一个随机试验，其样本空间为S=e，在E上引入一个变量X，如果对S中每一个样本点e，都有一个X的取值X(e)与之对应，我们就称X为定义在随机试验E的一个随机变量.,（2）引入随机变量的目的： 用随机变量的取值范围表示随机事件，利用高等数学的工具研究随
3、机现象。,事件“正面至少出现一次”可表示为:“X1”；,2、随机变量的说明,（1）随机变量的表示：常用字母X,Y,Z，.表示;,例如：上例中，事件“正面出现两次”可表示为:,“0X2”表示事件“正面至少出现一次”。,“X=2” ；,例如：上例中P(X=2)=1/4； P(X)=3/4；P(0X 2)=3/4；,随机变量的取值具有一定的概率：,(4)随机变量的类型：,这两种类型的随机变量因其取值方式的不同各有特点，学习时注意它们各自的特点及描述方式的不同。,具有随机性:在一次试验之前不知道它取哪一个值，但事先知道它全部可能的取值。,（3）随机变量的特点:,离散型与连续型随机变量。,例1（用随机变
4、量的取值表示随机事件）一报童卖报，每份报0.50元, 其成本为0.30元。 报馆每天给报童1000份报纸，并规定卖不出的报纸不得退回。,解：分析,当 0.50 X1000 0.3时，报童赔钱.,故报童赔钱 X 600,令X=“报童每天卖出的报纸份数” 试将“报童赔钱”这一事件用X的取值表示出来。,（1）随机变量X可能取哪些值？ （2）随机变量X取某个值的概率是多大？,3、随机变量的概率分布,引入随机变量后, 上述说法相应变为下列表述方式：,对于一个随机试验，我们关心下列两件事情： （1）试验会发生一些什么事件？ （2）每个事件发生的概率是多大？,对一个随机变量X，若给出了以上两条，我们就说给出
5、了随机变量X的概率分布(也称分布律）。,这一章我们的中心任务是学习离散型随机变量 与连续型随机变量的概率分布.,2 离散型随机变量及其分布,如果随机变量X所有可能的取值是有限个或无穷可列个，则称X为离散型随机变量。,一、离散型随机变量的定义及其分布律,1.离散型随机变量的定义,2.离散型随机变量的分布律,要掌握一个离散型随机变量的分布律，必须 且只需知道以下两点：,(1) X所有可能的取值: (2)X取每个值时的概率:,称 (1) 式为离散型随机变量X的分布律.,注:离散型随机变量X的分布律可用公式法和表格法描述。,1)公式法:,2) 表格法:,例1：将一枚硬币连掷两次，求“正面出现的次数X
6、”的分布律。,解：,在此试验中，所有可能的结果有： e1=（正，正）；e2=（正，反）； e3=（反，正) ；e4=（反，反）。,于是，正面出现的次数X ”的分布律：,图形表示,程序,x=0, 1, 2; pk=1/4,2/4,1/4; figure(color,w) plot(x,pk,r.,MarkerSize,31) ylim(0 0.6) xlim(0,2.3) text(x(1),pk(1), num2str(pk(1),FontSize,21); text(x(2),pk(2), num2str(pk(2),FontSize,21); text(x(3),pk(3), num2st
7、r(pk(3),FontSize,21); figure(color,w) plot(x,pk,r.,MarkerSize,31) hold on plot(x,pk,r-.) ylim(0 0.6) hold off xlim(0,2.3) text(x(1),pk(1), num2str(pk(1),FontSize,21); text(x(2),pk(2), num2str(pk(2),FontSize,21); text(x(3),pk(3), num2str(pk(3),FontSize,21);,figure(color,w) bar(x,pk,0.1,r) ylim(0 0.6)
8、 text(x(1),pk(1), num2str(pk(1),FontSize,21); xlim(0,2.3) text(x(2),pk(2), num2str(pk(2),FontSize,21); text(x(3),pk(3), num2str(pk(3),FontSize,21);figure(color,w) stem(x,pk,r.,MarkerSize,31) ylim(0 0.6) xlim(0,2.3) text(x(1),pk(1), num2str(pk(1),FontSize,21); text(x(2),pk(2), num2str(pk(2),FontSize,
9、21); text(x(3),pk(3), num2str(pk(3),FontSize,21);,3、离散型随机变量分布律的性质,例: 设随机变量X的分布律为：,试求常数a.,例3: 设随机变量X的分布律为：,试求常数a.,练习:设随机变量X的分布律为：,试确定常数b.,解：由分布律的性质，有,解：X所有可能的取值为：0，1，2，3；,例4: 设有产品100件，其中3件是次品。从中有放回 地任取3件，求“取得次品件数X ”的分布律。,这个分布其实就是将要介绍二项分布。我们先来看一个重要的试验伯努利（Bernoulli）试验。,二、伯努利（Bernoulli）试验及二项分布,(1)n次独立重复
10、试验,1、伯努利（Bernoulli）试验,将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互 不影响,则称这n次试验是相互独立的.,(2)n重伯努利试验,满足下列条件的试验称为伯努利（Bernoulli）试验:,每次试验都在相同的条件下重复进行；,每次试验只有两个可能的结果:A及 每次试验的结果相互独立。,若用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则n次试验中事件A发生k次的概率为：,证明：在n重贝努利试验中，事件A在前k次出现，而在后n-k次不出现的概率为:,若满足上述条件的试验重复进行n次,则称这一串试验为n重伯努利(Bernoulii)试验。,而事件A在n次试验中发生k次的方式为：,2、二项
11、分布,用X表示n重Bernoulli试验中事件A发生的次数， ，则X的分布律为:,此时称X服从参数为n,p的二项分布,记为 XB(n,p).,例1： 将 一枚均匀的骰子掷4次，求3次掷出5点的概率.,解：令A=“掷出5点”，,令X=“4次抛掷中掷出5点的次数”，则,4次抛掷中3次掷出5点的概率为：,程序和结果,x = 0:4; y = binopdf(x,4,1/6); figure(color,w) plot(x,y,r.,MarkerSize,31)figure(color,w) bar(x,y,0.1,r) pxequal3=y(4),pxequal3 = 0.0154320987654
12、3,例2：设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能有一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4个人维护，每人负责20台；其二是由3个人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。,例3：某人骑了自行车从学校到火车站，一路 上 要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独 立，且设各灯为红灯的概率为p，0p1， 以Y表示一路上遇到红灯的次数。(1)求Y的概率分布律；(2)求恰好遇到2次红灯的概率。,解：这是三重贝努利试验,例4：某人独立射击n次，设每次命中率为p，0p0为一常数，n是任意正整数。设npn=, 则对任一
13、固定的非负整数k，有,考虑到直接计算上式较麻烦，当n很大p很小时，有下列近似计算公式：,1、 Poisson定理,2、泊松分布,定义：若随机变量X所有可能的取值为0,1,2, 而取每个值的概率为:,则称X服从参数为的泊松分布(Poisson),记为 :,1) 泊松分布与二项分布的关系：这两个分布的,X().,说明：,数学模型都是Bernoulli概型。Poisson分布 是二项分布当n很大p 很小时的近似计算。,程序对比泊松分布与二项分布,poisspdf(k, Lambda) （a) n=20; p=0.04; (b) n=8; p=0.4;,上两图程序代码,figure(color,w)
14、n=20; p=0.04; x = 0:n; y = binopdf(x,n,p); plot(x,y,r, LineWidth,3) xlim(0,n) lama=n*p; z=poisspdf(x,lama); hold on plot(x,z,g-., LineWidth,3) hold off legend(二项分布:n=20,p=0.04,lambda=n*p=0.8),figure(color,w) n=8; p=0.4; x = 0:n; y = binopdf(x,n,p); plot(x,y,r, LineWidth,3) xlim(0,n) lama=n*p; z=poisspdf(x,lama); hold on plot(x,z,g-., LineWidth,3) hold off legend(二项分布:n=8,p=0.4,lambda=n*p=3.2),
