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1、第3章 计量误差与数据处理,3.1 计量误差 3.2 数据处理 习 题 ,3.1 计量误差,3.1.1 计量误差的定义计量误差是计量结果与被计量的量的真值之间的差异。在第2章已经讲过, 量的真值是指某量在所处的条件下被完善地确定或严格定义的量值。因此量的真值是一个理想的概念,一般是未知的。虽然基本单位量的真值可以按定义给出,但是复现起来还是含有误差。实际上,真值常用实际值用高一等级的计量标准器具所计量的量值或一列计量结果的平均值来代替。当测量结果仅含有随机误差时,测量结果算术平均值（数学期望）是被测量真值的最佳估计值。,3.1.2 计量误差的表示方法计量误差有四种表示方法。1. 绝对误差对某一
2、量进行计量以后,用被计量的量的计量结果x减去其真值x0而得到的差值,称为绝对误差（也简称误差）x。即 x=x-x0 （3.1.1）【例3.1.1】 真值为6.42 A的电流,在微安表上的示值为6.34A,则微安表的示值6.34A的绝对误差为 6.34-6.42=-0.08 A ,由于真值一般无法求得,因此x=x-x0 这个式子只有理论上的意义,经常用上一级标准仪器的示值作为实际值代替真值,由于上一级标准也存在误差,只是小一些,因此,实际值并不等于真值。但一般来说,实际值总比计量值更接近于真值。2. 相对误差相对误差是绝对误差与被计量的量的真值之比。相对误差通常以百分数表示,因此相对误差可以表示
3、为,【例3.1.2】 用一个频率计测量准确值为100kHz的频率源,测得值为101kHz,则其绝对误差为 x=101-100=1kHz相对误差为【例3.1.3】 用波长表测量准确值为1MHz的标准频率源,测得值为1.001 MHz,则其绝对误差为 x=1.001-1=0.001MHz=1 kHz,相对误差为 从上面两个例子可以看出,两次测量的绝对误差相同,但其相对误差不同,第一个相对误差大,第二个相对误差小。相对误差越小,测量的准确度越高。3. 分贝误差在日常生活和工作中离不开自然计数法,但是在一些自然科学和工程计算领域,对物理量的描述往往采用对数计数法,比如对声学和电学中的物理量。,从本质上
4、讲,在这些场合用对数形式描述物理量是因为它们符合人的心理感受特征。在一定的刺激范围内,当物理刺激量呈指数变化时,人们的心理感受是呈线性变化的,人的感受器官好像是一个对数转换装置一样,这就是心理学上的韦伯定律和费希纳定律。 分贝误差是相对误差的另一种表现形式,在电学和声学计量中,常用分贝误差表示相对误差。先看一下分贝的定义： 对于电压、电流类参量 D=20lgx dB式中,x=U2/U1或x=I2/I1,U1、U2为电压,I1、I2为电流。,对于功率类参量 D=10lgx dB式中,x=P2/P1,P1，P2为功率。若x有误差x,则分贝也有一相应误差D,即 D+D=20lg (x+x) dB 或
5、 D+D=10 lg (x+x) dB所以分贝误差为:对于电压、电流类参量 D=20 lg (1+x) dB对于功率类参量 D=10 lg (1+x) dB,由分贝误差计算相对误差的公式为：当误差本身不大时,分贝误差与一般的相对误差之间有简单的计算关系： 对于电压、电流类参量D8.69x x0.115D D4.34x x0.230D,对于功率类参量,以上两组式子仅表明分贝误差与相对误差之间数值上的换算关系,使用时还要注意各个量的单位。【例3.1.4】 一电压用某电压表测得为125V,用标准表测得为127V,求分贝误差。解 先求出绝对误差为 x=125-127=-2 V再求出相对误差为 ,则分贝
6、误差为,在实际工作中,常用dB来表示信号电平,用dBm来表示功率电平。为此,必须确定一个基础电平,也就是所谓的零电平。在电学领域中,零电平一般定义为：在600的纯电阻上耗散1mW的功率,电阻上的电压和流过的电流分别为,作为基准值的1 mW、0.7746V和1.291mA分别称为零电平功率、零电平电压和零电平电流（我国不采用电流电平测量基准）。于是,用dB来表示信号电平的公式为用dBm来表示功率电平的公式为(3.1.3),(3.1.2),dBm表示以1 mW为基准的功率电平的分贝值,在微波和通讯领域广泛应用。我国现在使用的测量仪器,有以1 mW为零电平刻度的功率电平表,也有以0.7746 V电压
7、为零电平刻度的电压电平表,在使用这些测量仪器时,要注意这一点。另外,也有取1 为零电平的（例如测量接收机）,在这种情况下,应予以注明。,4. 引用误差引用误差是一种简化的实用且方便的相对误差,在多挡和连续刻度的仪器仪表中广泛应用,这类仪器仪表可测范围不是一个点而是一个量程,各刻度点的示值和其对应的真值都不一样,因此,计算相对误差时所用的分母也不一样,所以计算很麻烦。为了计算和划分准确度等级方便,规定一律取该仪器仪表的特定值作分母,由此可以定义引用误差： 引用误差是计量仪器的示值的绝对误差与仪器的特定值之比，通常也用百分数表示。即,(3.1.4),式中,xlim称为特定值,也称为引用值,通常是计
8、量仪器量程中的满刻度值（最大刻度值）或标称范围的上限。【例3.1.5】检定2.5级、上限为100 V的电压表时,发现50 V刻度点的最大示值误差为2 V,并且比其他各刻度点的误差都大,问该电压表是否合格？解 该电压表的最大引用误差为 2.5级的含义是合格仪器仪表最大引用误差的界限为2.5,可见,该电压表合格。,电工仪表的准确度等级分别为0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0七级,这些等级表明仪表的引用误差不能超过的界限。一般来说,如果仪表为S级,则仅说明合格仪表的最大引用误差不会超过的S,而不能认为它在各刻度点上的示值误差都具有S的准确度。设仪表的满刻度值为xn,测量点为x,则
9、该仪表在x点邻近处的示值误差应为：绝对误差xnS%相对误差 S%,一般情况下,xxn,因此, x越接近于xn（因为x在分母上）,其测量准确度越高；x越远离xn, 其测量准确度越低；这就是为什么人们利用这类仪表测量时,尽可能在仪表满刻度值2/3以上量程内测量的原因所在。在选择仪表作测量时,要注意到这一情况。在分析此类仪表对测量值的实际影响时,需要按上面两个式子作换算,而不能直接采用对应于仪表的准确度等级的值,也就是说不能把引用误差当作相对误差来使用。【例3.1.6】 某待测的电压约为100 V,现有0.5级0300和1.0级0100 V两个电压表,问用哪一个电压表测量比较好？解 用0.5级030
10、0 V测量100 V时的最大相对误差为,而用1.0级0100 V测量100 V时的最大相对误差为因此,选择1.0级0100 V电压表比较好。这个例子说明,如果量程选择恰当,用1.0级仪表进行测量比用0.5级仪表准确。因此,在选择仪表时,不能单纯地认为准确度等级越高越好,而应根据被测量的大小,兼顾仪表的级别和测量上限合理地选择仪表。,3.1.3 计量误差的分类根据误差的性质,计量误差可以分为三类： 系统误差,随机误差和粗大误差。下面分别介绍这三类误差。 1系统误差在分析和研究测量误差时,必须把系统误差排除才能按随机误差理论对测量误差进行处理。实际上,测量过程中往往存在系统误差。在某些情况下,系统
11、误差数值还比较大,因此,测量结果的精度,不仅取决于随机误差,还取决于系统误差的影响。,由于系统误差和随机误差同时存在于测量数据之中,且不易被发现,多次重复测量又不能减小它对测量结果的影响,这种潜伏性使得系统误差比随机误差具有更大的危险性。因此,研究系统误差的特征与规律性,用一定的方法减小或消除系统误差,就显得十分重要,否则,对随机误差的严格数学处理将失去意义,或者收效甚微。1） 系统误差的定义在相同条件下,多次重复计量同一个量时,保持固定不变的误差,或者在条件改变时,按某一确定规律变化的计量误差的分量叫系统误差。系统误差决定计量结果的“正确”程度。许多系统误差可以通过实验确定（或根据实验方法、
12、手段的特性估计出来）并加以修正。,但有时由于对某些系统误差的认识不足或没有相应的手段予以充分确定,而不能修正,这种系统误差称为未定或剩余系统误差,也称为未消除的系统误差。前面已经提到,系统误差与计量次数无关,因此,也不能用增加计量次数的方法使其减小或消除。 2） 系统误差的分类系统误差按其呈现的特征可以分为常值系统误差和变值系统误差；而变值系统误差又可分为累积的、周期的和按复杂规律变化的系统误差。常值系统误差是指在计量过程中绝对值和正负号始终不变的误差。比如：某量块的标称尺寸为10 mm,实际尺寸为10.001 mm,误差为-0.001 mm,若按标称尺寸使用,则始终存在-0.001 mm的系
13、统误差。,累积系统误差是指在计量过程中按一定速率逐渐增大或减小的误差。例如,由于蓄电池或电池组（在正常工作区间）的电压缓慢而均匀的变化所产生的线性系统误差。再比如刻度值为1mm的标准刻度尺,由于存在刻划误差l,每一刻度间实际距离为 (1+l) mm，用该尺测量一长度为l的物体,读数为n,则l的实际值为 l=n(1+l)=(n+nl) mm (3.1.5)若认为该物体长度为nmm,就产生了随测量值大小而变化的线性系统误差-nl mm。,周期性系统误差是指在计量过程中周期性变化的误差。例如,由于刻度盘偏心所引起的误差。指针式仪表中,由于安装问题,使指针动中心偏离仪表刻度盘的中心,就会出现周期性变化
14、的指示误差。如图3.1.1所示,指针的转动中心O沿水平方向偏移刻度盘中心O的距离为l,则指针与水平线的夹角为90,指示超前值为l所表示的刻度值,当为0及180时,指示误差为0,当为270时,指示滞后值为l所代表的刻度值。对于任意,图上两平行线间的弧线的长度就对应了指针的指示误差。因为l很小,可以用两平行线间的直线距离代替弧长,因此可以得到,指针的指示误差l与夹角呈正弦规律变化,即 l=l sin (3.1.6),所以指针的指示值沿刻度标尺产生正弦函数关系的周期性变化系统误差。按复杂规律变化的系统误差是指在计量过程中按复杂规律变化的误差,一般可用曲线或公式表示。例如,晶体振荡器频率的长期漂移近似
15、服从对数规律,若不考虑这种漂移,就会带来按对数规律变化的系统误差。,图3.1.1 刻度盘误差示意图,3）系统误差的产生(1) 装置误差： 计量装置本身的结构、工艺、调整以及磨损、老化或故障等所引起的误差。(2) 环境误差：由于各种环境因素与要求的标准状态不一致及其在空间上的梯度与随时间的变化引起的测量装置和被测量本身的变化,机构失灵,相互位置改变等引起的误差。这些因素和温度、湿度、气压、电磁屏蔽、震动（大地微震、冲击、碰动等）、照明、加速度、电磁场、野外工作时的风效应、阳光照射、透明度、空气含尘量等都有关。科学实验中,静态分析和动态使用时的差异,是值得特别注意的误差源。,(3) 方法或理论误差：计量方法或理论不完善引起的误差。(4) 人员误差: 计量人员生理差异和技术不熟练引起的误差。4） 系统误差的消除根据前面所讲的产生系统误差的种种原因,可以得出一些消除系统误差的基本方法。(1) 计量前消除可消除的误差源。这种消除系统误差的方法是最理想的,也就是在目前的技术条件下,找出造成系统误差的原因,并想办法消除造成系统误差的因素对测量的影响,从而使测量不会产生系统误差。,
