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1、1 【011】已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作 EFBD 交 BC 于 F，连接 DF ，G 为 DF中点，连接EG，CG（1）求证： EG=CG；（2）将图中BEF 绕 B 点逆时针旋转45o，如图所示，取DF 中点 G，连接 EG，CG问（ 1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）将图中 BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）解： （ 1）证明：在RtFCD 中， G 为 DF 的中点，CG= FD 1 分同理，在RtDEF 中， EG
2、= FD 2 分CG=EG3 分（2） （1）中结论仍然成立，即EG=CG4 分证法一：连接AG，过 G 点作 MNAD 于 M，与 EF 的延长线交于N 点在 DAG 与 DCG 中，AD=CD ， ADG= CDG，DG=DG ，DAG DCGAG=CG 5 分在 DMG 与 FNG 中，DGM= FGN，FG=DG ， MDG= NFG ，DMG FNGMG=NG 在矩形 AENM 中， AM=EN 6 分在 RtAMG 与 RtENG 中，AM=EN ，MG=NG ，AMG ENG AG=EGEG=CG8 分证法二：延长CG 至 M,使 MG=CG ，连接 MF ，ME，EC，4 分在
3、 DCG 与 FMG 中， FG=DG， MGF= CGD，MG=CG ， DCG FMG MF=CD ， FMG DCGMF CDAB5 分在 RtMFE 与 RtCBE 中，MF=CB，EF=BE ， MFE CBE MEC MEF FEC CEB CEF90MEC 为直角三角形MG = CG ，EG= MC 8 分（3） （1）中的结论仍然成立，即EG=CG其他的结论还有:EG CG 10 分F B A D C E G 第 24 题图D F B A D C E G 第 24 题图F B A C E 第 24 题图2 【012】如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1 的圆的圆心O在坐标原
4、点，且与两坐标轴分别交于ABCD、四点抛物线2yaxbxc与y轴交于点D， 与直线yx交于点MN、， 且MANC、分别与圆O相切于点A和点C（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E，连结D E，并延长D E交圆O于F，求E F的长（3）过点B作圆O的切线交D C的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由【012】解： （ 1）圆心O在坐标原点，圆O的半径为1，点ABCD、的坐标分别为(1 0)(01)(1 0)(0 1)ABCD， 、，、， 、，抛物线与直线yx交于点MN、，且M AN C、分别与圆O相切于点A和点C，(11)(1 1)MN，、，点DMN、在 抛 物 线
5、 上 ， 将(0 1)(11)(11)DMN，、，、，的 坐 标 代 入2ya xb xc，得：111cabcabc解之，得：111abc抛物线的解析式为：21yxx 4 分（2）22151 24yxxx抛物线的对称轴为12x，1151 242OED E， 6 分连结90BFBF D，BF DEO D ，D EO DD BF D，又512 2D EO DD B，455FD，455355210EFFDD E 8 分（3）点P在抛物线上 9 分设过DC、点的直线为：ykxb，O x y N C D E F B M A P O x y N C D E F B M A 3 将点(1 0)(0 1)CD
6、， 、，的坐标代入ykxb，得：11kb，直线D C为：1yx 10 分过点B作圆O的切线BP与 x 轴平行，P点的纵坐标为1y，将1y代入1yx，得：2xP点的坐标为(21)，当2x时，2212211yxx，所以，P点在抛物线21yxx上 12 分【013】如图，抛物线经过(4 0)(1 0)(02)ABC， ， ，三点（ 1）求出抛物线的解析式；（ 2）P 是抛物线上一动点，过P 作PMx轴，垂足为M，是否存在P 点，使得以A，P，M 为顶点的三角形与O AC相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（ 3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D，使得D C A的面积最
7、大，求出点D 的坐标【013】解： （ 1）该抛物线过点(02)C，可设该抛物线的解析式为22yaxbx将(40)A，(10)B，代入，得1642020abab.， 解得1252ab.，此抛物线的解析式为2152 22yxx （3 分）（2）存在 （4 分）如图，设P点的横坐标为m ，则P点的纵坐标为2152 22mm，当14m时，4AMm，215 2 22PMmm又90C O APM A，当21AMAOPMO C时，APMAC O ，O x y A B C 4 1 2（第 26 题图）D P M E O x y A B C 4 1 2（第 26 题图）4 即215 422 22mmm解得12
8、24mm，（舍去），(2 1)P， （6 分）当12AMO CPMO A时，APMC A O ，即2152(4)2 22mmm解得14m，25m（均不合题意，舍去）当14m时，(2 1)P， （7 分）类似地可求出当4m时，(52)P， （8 分）当1m时，(314)P，综上所述，符合条件的点P为(2 1)，或(52)，或(314)， （9 分）（3）如图，设D点的横坐标为(04)tt，则D点的纵坐标为2152 22tt过D作y轴的平行线交AC于E由题意可求得直线AC的解析式为12 2yx（ 10 分）E点的坐标为12 2tt，221511222 2222D Ettttt （11 分）2221
9、1244(2)4 22D ACSttttt当2t时，DAC面积最大(2 1)D， （13 分）【014】在平面直角坐标中，边长为2 的正方形O ABC的两顶点A、C分别在y轴、 x 轴的正半轴上，点O在原点 .现将正方形O ABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线yx上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线yx于点M，BC边交 x 轴于点N（如图） . （ 1）求边O A在旋转过程中所扫过的面积；（ 2）旋转过程中，当M N和AC平行时，求正方形O ABC旋转的度数；（ 3）设M BN的周长为p，在旋转正方形O ABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论. 【014】 （1）解：A点第一次落在直线yx上时停止旋转，O A旋转了045. (第 26 题) O A B C M N yxxy5 O A在旋转过程中所扫过的面积为24523602. 4 分（2）解：M NAC，45BM NBAC,45BN MBCA. BM NBN M. BMBN. 又BABC，AMC N. 又OAO,OAMO C N,OAMOCN.AO MC O N.1(9045 2AO M. 旋转过程中，当M N和A C平行时，正方形O A B C旋转的度数为45. 8 分（3）答：p值无变化 . 证明：延长BA交y轴于E点，则045AOEAOM，000904545CONAOMAOM，
