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1、宇宙的数学形式以数学为基础的重要天文理论我们所处的宇宙是一个由空间、时间、 物质和能量所构成的一个年龄约为137 亿年的整体。就目前天文观测的约137 亿光年的范围内，宇宙空间包罗万象。各种各样、形形色色的星际物质、恒星、行星、星系、星团等，以及可能包含的不可见的暗物质。宇宙在纷繁复杂的表象、 千奇百异的现象里，其实蕴含着简洁的运动及演化规律；又或者说， 它们都受到 “无形的力量” 看不见的内在规律所制约，而这些规律我们可以用简洁的语言数学来描述。在 1543 年哥白尼的天体运行论出版后短短的一个世纪里，天文学迎来了爆炸式的惊人发展， 使人类视野从我们居住的狭小的地球转移都广袤无垠的宇宙空间。
2、数学在人类探索宇宙的过程中充当着举足轻重的作用。数学在天文学上的应用是我们用来了解宇宙运作规律，揭示宇宙奥秘的工具。现在， 我们一起来回顾数学在天文学发展里程碑中作出的重要贡献。哥白尼天体运行论哥白尼的 天体运行论 将科学认识天体运动的参考系中心由地球移到太阳，迈出了近代天文学研究中最困难也最重要的一步，天文学就是在这一步基础上发展起来的。它是天文学上的一次革命，引起了人类宇宙观的重大变革；而它向教会权威挑战，从此天文学便开始从神学中解放出来，成了一门独立的学科。在书中详细讲解了地球的三种运动（自转、 公转、赤纬运动）所引起的一系列现象，岁差现象、月球运动、行星运动的及金星、水星的纬度偏离和轨
3、道平面的倾角，不仅提出了崭新的宇宙图像，而且对日、 月和行星的运动都有严格的数学论证和定量探讨。图 1 哥白尼的绕日论计算各行星距离太阳相对距离的图示。a. 在地球轨道之内行星，b. 在地球轨道外之行星。图 2 测地球绕日运行示意图图 3 哥白尼从几何学角度解释外行星“逆行”现象在天球运行论中哥白尼计算所得数值的精确度惊人。例如，他得到恒星年的时间为365 天 6 小时 9 分 40 秒，比现在的精确值约多30 秒，误差只有百万分之一；他得到的月亮到地球的平均距离是地球半径的60.30 倍，和现在的60.27 倍相比，误差只有万分之五。聂文涛评价哥白尼的天球运行论说：“这是对天体进行的一次完全
4、的数学研究，或者称为纯粹的逻辑运算。”哥白尼在天球运行论开篇就说：“不懂几何者禁止入内。”天文学每一次最具有革命意义的进步，大多是依靠天文学家缜密的思考和周密的逻辑运算。我们容易被眼之所见迷惑，天文学的发展不应只依赖眼睛观测到的新发现，更应该用严密的思维洞察现象的本质。开普勒三大定律1609-1619 的十年间。 开普勒成功总结归纳出行星运动定律，也就是我们现在所称的“开普勒三大定律” 。而几乎经过了一个世纪，物理学家才能用物理理论解释其中的道理。开普勒三大定律的内容包括：开普勒第一定律：也称椭圆定律、轨道定律。 每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。图 4 开普
5、勒第一定律的证明开普勒第二定律：也称面积定律。在相等时间内，太阳和运动中的行星的连线（向量半径）所扫过的面积都是相等的。这一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动量守恒。用公式表示为开普勒第三定律：也称周期定律。 是指绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量。这里，a 是行星公转轨道半长轴， T是行星公转周期， K是常数，其大小只与中心天体的质量有关。开普勒定律可以用万有引力定律结合微分证明，在人造卫星变轨、 行星周期计算等方面有着重要的应用。它是开普勒利用第谷长期观测的数据，经过长期的精心推算得到的。开普勒的三定律是天文学的又一次革命，它彻底摧毁了
6、托勒密繁杂的本轮宇宙体系，完善和简化了哥白尼的日心宇宙体系，并且从理论的高度上对哥白尼学说作了科学论证，使它更加提高了一大步。 他所发现的行星运动定律“改变了整个天文学”，为后来牛顿发现万有引力定律奠定了基础，所以开普勒也被后人赞誉为“天空的立法者”。牛顿自然哲学之数学原理1687 年牛顿发现万有引力定律，出自他所著的 自然哲学之数学原理，其文字表述为：任何物体之间都有相互吸引力，这个力的大小与各个物体的质量成正比例，而与它们之间的距离的平方成反比。如果用M、m表示两个物体的质量，r 表示它们间的距离，则物体间万有引力大小为2MmrGF，常熟 G称为万有引力常数。宇宙中， 与万有引力有关的现象
7、随处可见：我们熟悉的月球绕地球转，八大行星及各种流行、彗星、小行星的绕日运动都主要是由于天体间的万有引力作用，更不必说大至恒星、星系与星团了。 在天体中质量还算很小的地球，对其他的物体的万有引力已经具有巨大的影响，它能把人类、大气和所有地面物体束缚在地球上，还是月球、人造地球卫星绕地球旋转而不离去。宇宙中各种天体的质量很大，于是万有引力就在宇宙中起着决定性的作用。万有引力定律的威力，体现在英国天文学家亚当斯和法国天文学家勒威耶准确推算出海王星的位置。另外，牛顿把该书前部分讨论的数学结果用到自然现象。如根据观测，木星的卫星绕木星运行的确符合 Kepler 的面积律，因此得知吸引卫星的引力应该是向
8、著木星的。又因卫星也符合周期律，所以由第一册的结果如此向心引力更遵行平方反比律。也就是说，吸引卫星的引力也符合万有阴历公式；根据开普勒行星运动定律，应用他的运动定律和他发明的微积分， 发现了万有引力定律，并用以讨论天体运动和地面海洋的潮汐问题等。用这种方式的推论，牛顿得到许许多多结果，一些结果可以解释已知的现象，譬如潮汐、 月球的不规则运动、岁差等；有些则预测一些未知的现象，如人造卫星。所有这些，使运动定律立即显示出巨大的威力，成为初具规模的力学体系。自然哲学之数学原理的出版、 运动定律和引力定律的发现，在英国本土和欧洲大陆掀起了力学研究的热潮。经拉格朗日、 托马斯杨等物理学家和数学家的努力，
9、最终建立起了以牛顿定律为基础的经典力学体系。在往后的近两百年里，牛顿经典力学体系统治着整个物理学以及天文学，被物理学家与天文学家视为“终极理论”，认为物理大厦已经建成，后人只修稍加修饰即可。然而随着科技的不断发展，暴露出的新的问题似乎不能用经典力学来解释， 比如光的波粒二象性、光的电磁效应， 直到爱因斯坦和它的相对论的出现又一划时代的理论让人类重新发现了宇宙。爱因斯坦 - 广义相对论在爱因斯坦建立相对论的过程中，数学起了极大的作用，如洛伦兹变换。广义相对论是爱因斯坦于1916 年发表的用几何语言描述的引力理论。为了建立广义相对论，爱因斯坦认真钻研里黎曼几何。在广义相对论中，引力被描述为时空的一种几何属性（曲率）；而这种时空曲率与处于时空中的物质与辐射的能量- 动量张量直接相关系，其关系方式即是爱因斯坦的引力场方程 （一个二阶非线性偏微分方程组），其数学性质相当明显，基本上就是一个纯数学理论。图 5 根据洛伦兹变换推导光速不变的部分过程（摘自百度百科）另外，其他的宇宙理论， 如大爆炸理论， 以及完善中统一场理论，都离不开数学的支撑；而与天文学有关的光学、化学就更不必说了。由此可见， 数学应是理论之王，是宇宙中运行的法则，任何现代理论脱离了数学都无法确立坚实的根基。
