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1、条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式,1.4 条件概率与三个概率公式,一、条件概率,对概率的讨论总是相对于某个确定的条件而言的,但有时除了这个确定的条件以外,还会提出附加的条件,即已知某一事件B已经发生,要求另一事件A发生的概率。,例如,考虑有两个孩子的家庭,假定男女出生率相同,则两个孩子的性别为(男,男),(男,女), (女,男),(女,女)的可能性是一样的。,若A记为“一男一女”,则P(A)=1/2;,但如果预先知道至少有一男孩,则上述事件的概率应为2/3.,例如,考虑有两个孩子的家庭,假定男女出生率相同,则两个孩子的性别为(男,男),(男,女), (女,男),(女,女)的可能性是一
2、样的。,若A记为“一男一女”,则P(A)=1/2;,但如果预先知道至少有一男孩,则上述事件的概率应为2/3.,我们将“已知事件 B 发生的条件下,事件 A 发生的概率”称为条件概率,记为P (A | B)。,若记B为至少有一男孩,则上述概率为,条件概率的计算公式规定如下:,例1 设袋中有7个黑球,3个白球,不放回摸取两次,如果已知第一次摸到白球,求第二次也摸到白球的概率。,解 设A,B分别表示第一、二次摸到白球,则,法二:,法一:,A发生后的缩减 样本空间所含样 本点总数,在缩减样本空 间中B所含样 本点个数,例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8,活到25年以上的概率为0.4
3、. 问现年20岁的这种动物,它能活到25岁以上的概率是多少?,解 设A=能活20年以上,B=能活25年以上,依题意, P(A)=0.8, P(B)=0.4,所求为 P(B|A) .,不难验证条件概率具有以下三个基本性质:,(1) 非负性,(2) 规范性,(3) 可加性,并由此推出条件概率的其它性质:,1.设A与B互不相容,且P(B)0,则P(A|B)=_,2.设A与B为两事件,且P(A)=0.7, P(B)=0.6,练习,0,注:概率 P(A|B)与P(AB)的区别与联系,联系:事件A,B都发生了,区别:,(1)在P(A|B)中,事件A,B发生有时间上的差异, B先A后;在P(AB)中,事件A
4、,B同时发生。,(2)样本空间不同,在P(A|B)中,事件B成为样本 空间;在P(AB)中,样本空间仍为 S 。,因而有,作业,P:19 习题1-4 1,二、乘法公式,由条件概率的公式:,即若P(B) 0, 则 P(AB)=P(B) P(A|B),若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求 P(AB).,若P(A) 0, 则 P(AB)=P(A) P(B|A),推广到三个事件:,P (A1A2An ) =P(A1) P(A2|A1) P(An| A1A2An-1),一般,与次序无关。,乘法公式,例3 某厂产品的废品率为4%,而合格品中有75%是一等品,求一等品率.,解,记A:合格品;B:一等
5、品,,即一等品率为72%.,例4,例4,三、全概率公式,全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它实质上是可加性和乘法公式的综合运用.,综合运用,可加性 P(AB)=P(A)+P(B) A、B互斥,乘法公式 P(AB)= P(A) P(B | A) P(A)0,(即每次至多发生其中一个),(即每次至少发生其中一个),B1,B2,B3,B4,B6,B7,B5,B8,集合的划分,A,B1,B2,B3,B4,B6,B7,B5,B8,由概率的可加性及乘法公式, 有,这个公式称为全概率公式,它是概率论的基本公式.,全概率公式,利用全概率公式,可以把较复杂事件概率的计算问题,化为若干互不相容的较简单情
6、形,分别求概率然后求和,例5 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为30、20、 50,且三家工厂的次品率分别为 3、3、1,试求:(1)市场上该品牌产品的次品率.,B1、B2 、B3分别表示买到,设A:买到一件次品;,解,加权平均,一件甲厂、乙厂、丙厂的产品;,例6 袋中有a个白球b个黑球,不放回摸球两次,问第二次摸出白球的概率为多少?,解,分别记A,B为第一次、第二次摸到白球,,由全概率公式,例7 设玻璃杯整箱出售,每箱20只,各箱含0,1,2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购买一箱玻璃杯,由营业员任取一箱,经顾客开箱随机察看4只,若
7、无次品,则买此箱玻璃杯,否则退回. 试求顾客买下此箱玻璃杯的概率.,解,记A:顾客买下所察看的一箱玻璃杯,Bi :箱中有i件次品(i =0,1,2),,由题设知,,由全概率公式知,四、贝叶斯公式,在上面例5中,如买到一件次品,问它是甲厂生产的概率为多大?这就要用到 .,在全概率公式的假定下,有,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件A已发生的条件下,寻找导致A发生的每个原因Bk的概率.,贝叶斯公式,所以这件商品最有可能是甲厂生产的.,例5已知三家工厂的市场占有率分别为30、20、50, 次品率分别为3、3、1.(2)如果买了一件该商品,发现是次品,问它是甲、乙、丙厂生
8、产的概率分别为多少?,0.3, 0.2, 0.5,0.45, 0.3, 0.25,解,全概率公式可看成“由原因推结果”,而贝叶斯公式的作用在于“由结果推原因”:现在一个“结果”A已经发生了,在众多可能的“原因”中,到底是哪一个导致了这一结果?,故贝叶斯公式也称为“逆概公式”。,例 8 对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时,产品的合格率为 90% , 而当机器发生某一故障时,其合格率为 30% 。每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为 75% 。已知某天早上第一件产品是合格品,试求机器调整得良好的概率是多少?,机器调整得良好 产品合格机器发生某一故障,解:设A表示产品合格,B表示机器调整
9、良好,例 8 对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时,产品的合格率为 90% , 而当机器发生某一故障时,其合格率为 30% 。每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为 75% 。已知某天早上第一件产品是合格品,试求机器调整得良好的概率是多少?,下面举一个实际的医学例子,说明贝叶斯公式在解决实际问题中的作用.,解,因此,虽然检验法相当可靠,但被诊断为患肝癌的人真正患病的概率并不大,其主要原因是人群中患肝癌的比例相当小。当然,医生在公布某人患肝癌之前,是不会只做一次或一种检验,还会辅以其它检验手段。,思考:诊断为无病,而确实没有患病的概率为多少?,贝叶斯公式在商业决策及其它企业管理学科中也有重要应用.有人依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法,叫作“贝叶斯统计”.可见贝叶斯公式的影响.,作业,P:19 习题1-4 2, 4, 5, 6,