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1、1,2.4.2 抛物线的简单几何性质,http:/ 学 导 引 (学生用书P51) 1.掌握抛物线的几何性质. 2.了解抛物线的一些简单应用.,3,四种标准形式的抛物线几何性质的比较,http:/ yR,x0yR,xR y0,xR y0,5,2p,6,名 师 讲 解 (学生用书P51),7,1.抛物线的简单几何性质 (1)抛物线的离心率等于1,它只有一个焦点一个顶点一条对称轴一条准线;它没有对称中心. (2)通过焦点与抛物线相交的弦叫作焦点弦,当焦点弦垂直对称轴时,称为抛物线的通径,它的长度是2p.它是最短的焦点弦.2p决定了抛物线的开口大小,是画抛物线草图的主要数据.,8,(3)如图:AB是
2、抛物线y2=2px(p0)过焦点F的一条弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),相应的准线为l.,9,以AB为直径的圆必与准线l相切; |AB|=2(x0+ )(焦点弦长与中点关系); |AB|=x1+x2+p; x1x2= ,y1y2=-p2.,10,2.椭圆双曲线抛物线的统一定义 在平面内,若动点M到一个定点F的距离与它到定直线(F不在直线上)的距离之比是常数e,当01时,点M的轨迹是双曲线;当e=1时,点M的轨迹是抛物线.椭圆双曲线抛物线统称为圆锥曲线.,11,典 例 剖 析 (学生用书P51),12,题型一 求抛物线的标准方程 例1:抛物线的顶点在原点,对
3、称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程. 分析:解答本题可先确定椭圆的短轴,从而确定抛物线的焦点位置,再写出标准方程即可.,13,解:椭圆的方程可化为 , 其短轴在x轴上, 抛物线的对称轴为x轴, 设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p0). 抛物线的焦点到顶点的距离为3, 即 ,p=6, 抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x, 其准线方程分别为x=-3和x=3.,14,规律技巧:用待定系数法求抛物线标准方程的步骤: (1)定位:确定焦点的位置,设出相应的标准方程; (2)列方程:寻找关系列出关于p的方
4、程; (3)求解:解方程求得p,代入所设方程.,15,16,题型二 抛物线几何性质的应用,答案:C,17,18,19,变式训练2:抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴,若AB的长为 则焦点到AB的距离是_.,2,20,解析:如下图所示,由于|AB|= ,yA= ,代入y2=4x得,x=3.即AB的方程为:x=3,又F(1,0),焦点F(1,0)到直线AB的距离为2.,21,题型三 焦点弦问题 例3:斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线相交于两点AB,求线段AB的长. 分析:利用弦长公式或抛物线的定义求解.,22,解:解法1:如下图,由抛物线方程可知,焦点F(1,0),因而直线AB的
5、方程为y=x-1,代入y2=4x得x2-6x+1=0,设A(x1,y1)B(x2,y2), 则x1+x2=6,x1x2=1,23,24,解法2:设A(x1,y1),B(x2,y2)由抛物线的定义知,|AF|等于点A到准线x=-1的距离|AA|,即|AF|=|AA|=x1+1,同理|BF|=x2+1 |AB|=|AF|+|BF| =x1+x2+2 =6+2=8.,25,规律技巧:(1)解法1利用“设而不求”的思想方法,利用韦达定理及两点间的距离公式求解,也可以代入弦长公式还可以求出方程x2-6x+1=0的两个根x1=3+2,x2=3-2,进一步求出y1,y2代入两点间距离公式.,26,(2)抛物
6、线y2=2px(p0)上一点A(x0,y0)到焦点F( ,0)的距离|AF|=x0+ ,这就是焦半径公式,过焦点F的弦长|AB|=x1+x2+p.(其中x1,x2分别是点AB的横坐标),27,变式训练3:过抛物线y2=2px(p0)的焦点作倾斜角为的直线l,交抛物线于AB两点. (1)求|AB|; (2)求|AB|的最小值.,28,29,30,题型四 直线与抛物线的综合问题 例4:求过点P(0,1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程. 分析:结合题意画出草图,结合图形分析直线与抛物线只有一个公共点的不同情况.,31,解:如图所示. (1)若直线的斜率不存在,则过点P(0,1)的直线方
7、程为x=0.显然只有一个公共点,即直线x=0与抛物线只有一个公共点.,32,(2)若直线的斜率存在,设过点P的直线方程为y=kx+1,由得k2x2+2(k-1)x+1=0,当k=0时,解得y=1, 即直线y=1与抛物线只有一个公共点. 当k0时由=4(k-1)2-4k2=0,得k=. 即直线y=x+1与抛物线只有一个公共点. 综上所述,所求直线方程为x=0或y=1或y=x+1.,33,规律技巧:直线与抛物线只有一个公共点,直线不一定与抛物线相切,当直线与抛物线的对称轴平行或重合时,直线与抛物线也只有一个公共点,本题设点斜式的方程时,要注意斜率不存在的情况.,34,变式训练4:求以(1,-1)为
8、中点的抛物线y2=8x的弦所在的直线的方程.,解:设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=2,y1+y2=-2. 又y21=8x1,y22=8x2, y21-y22=8(x1-x2), 故所求直线方程为y+1=-4(x-1), 即4x+y-3=0.,35,技 能 演 练 (学生用书P52),36,基础强化,37,1.方程 所表示曲线的形状是( ),解析:由 知y0,x0,因此选D.,答案:D,38,2.过点M(3,2)作直线l与抛物线y2=8x只有一个交点,这样的直线共有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 解析:因为点M(3,2)在抛物线y2=8x的内
9、部,所以过点M平行x轴的直线y=2,适合题意,因此只有一条. 答案:B,39,3.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)B(x2,y2),若x1+x2=6,则|AB|=( ) A.8 B.10 C.6 D.4 解析:由题意知,|AB|=x1+x2+p=6+2=8. 答案:A,40,4.抛物线y2=16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( ) A.(4,2) B.(4,2) C.(2,4 ) D.(2,4 ),答案:D,41,42,5.过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线于AB两点,O为坐标原点,则 的值是( ) A.12 B.-12 C.3 D.-3,答案:D,43,解
10、析:特例法,y2=4x的焦点F(1,0),设过焦点F的直线为x=1,可求得A(1,-2),B(1,2). =11+(-2)2=-3.,44,6.过抛物线y2=4x的焦点F,作倾斜角为 的直线,交抛物线于AB两点,则|AB|的长为_.,45,46,7.抛物线y2=2px(p0)上有一点纵坐标为-4,这点到准线的距离为6,则抛物线的方程为_.,y2=8x或y2=16x,47,8.若抛物线y2=mx与椭圆 有一个共同的焦点,则m=_.,8或-8,48,49,能力提升,50,9.已知直线l过点 且与抛物线y2=2px只有一个公共点,求直线l的方程.,解:当直线与抛物线只有一个公共点时,设直线方程为:y
11、-p=k(x+ ).将直线l的方程与y2=2px联立,消去x得 ky2-2py+(2+3k)p2=0 由=0得,k=或k=-1, 直线l的方程为 2x-6y+9p=0或2x+2y+p=0,51,10.已知抛物线y2=2x, (1)设点A的坐标为(,0),在抛物线上求一点P,使|PA|最小; (2)在抛物线上求一点P,使P到直线x-y+3=0的距离最短,并求出距离的最小值.,52,53,54,当直线l与x轴平行时,直线l与抛物线只有一个交点,此时,y=p, 故满足条件的直线共有三条,其方程为: 2x-6y+9p=0或2x+2y+p=0或y=p.,55,品味高考,56,11.(2010重庆卷)已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于AB两点,|AF|=2,则|BF|=_.,2,解析:由y2=4x知,抛物线的焦点F(1,0),当x=1时,y=2. A(1,2),B(1,-2) 此时ABx轴,|BF|=|AF|=2.,57,12.(2010陕西卷)已知抛物线y2=2px(p0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为( ) A. B.1 C.2 D.4,答案:C,58,解析:由抛物线方程y2=2px(p0)知准线方程为x=- ,又圆(x-3)2+y2=16的圆心(3,0),半径为4,3-(- )=4,p=2.,
