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1、1,第九章 向量自回归和误差修正模型,传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变量关系的模型。但是，经济理论通常并不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量既可以出现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断变得更加复杂。为了解决这些问题而出现了一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型。本章所要介绍的向量自回归模型(vector autoregression，VAR)和向量误差修正模型(vector error correction model，VEC)就是非结构化的多方程模型。,2,向量自回归(VAR)是基于数据的统计性质建立模型，VAR模型把系统中每一个内生变
2、量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回归模型。VAR模型是处理多个相关经济指标的分析与预测最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多元MA和ARMA模型也可转化成VAR模型，因此近年来VAR模型受到越来越多的经济工作者的重视。,9.1 向量自回归理论,3,VAR(p) 模型的数学表达式是 (9.1.1) 其中：yt是 k 维内生变量列向量，xt 是d 维外生变量列向量，p是滞后阶数，T是样本个数。kk 维矩阵1， p和kd维矩阵H是待估计的系数矩阵。t 是 k 维扰动列向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后
3、值相关且不与等式右边的变量相关，假设 是t 的协方差矩阵，是一个(kk)的正定矩阵。式(9.1.1)可以展开表示为,9.1.1 VAR模型的一般表示,4,(9.1.2),即含有k个时间序列变量的VAR(p)模型由 k 个方程组成。,5,其中， ci , aij , bij 是要被估计的参数。也可表示成：,例如：作为VAR的一个例子，假设工业产量（IP）和货币供应量（M1）联合地由一个双变量的VAR模型决定。内生变量滞后二阶的VAR(2)模型是：,6,一般称式(9.1.1)为非限制性向量自回归模型(unrestricted VAR)。冲击向量 t 是白噪声向量，因为 t 没有结构性的含义，被称为
4、简化形式的冲击向量。,为了叙述方便，下面考虑的VAR模型都是不含常数项的非限制向量自回归模型，用下式表示或,(9.1.5),7,如果行列式det(L)的根都在单位圆外，则式(9.1.5)满足稳定性条件，可以将其表示为无穷阶的向量动平均(VMA()形式 (9.1.6) 其中,8,对VAR模型的估计可以通过最小二乘法来进行，假如对 矩阵不施加限制性条件，由最小二乘法可得 矩阵的估计量为(9.1.7) 其中：当VAR的参数估计出来之后，由于 (L)A(L)=Ik，所以也可以得到相应的VMA()模型的参数估计。,9,由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边，所以不存在同期相关性问题，用普通最小二乘法
5、(OLS)能得到VAR简化式模型的一致且有效的估计量。即使扰动向量 t 有同期相关，OLS仍然是有效的，因为所有的方程有相同的回归量，其与广义最小二乘法(GLS)是等价的。注意，由于任何序列相关都可以通过增加更多的yt 的滞后而被消除，所以扰动项序列不相关的假设并不要求非常严格。,10,例9.1 我国货币政策效应实证分析的VAR模型 为了研究货币供应量和利率的变动对经济波动的长期影响和短期影响及其贡献度，根据我国1995年1季度2007年4季度的季度数据，设居民消费价格指数为CPI_90 (1990年1季度=1)、居民消费价格指数增长率为CPI 、实际GDP的对数ln(GDP/CPI_90)
6、为ln(gdp) 、实际M1的对数ln(M1/CPI_90) 为ln(m1) 和实际利率rr (一年期存款利率R-CPI ）。,11,利用VAR(p)模型对 ln(gdp) ， ln(m1) 和 rr，3个变量之间的关系进行实证研究，其中实际GDP和实际M1以对数差分的形式出现在模型中，而实际利率没有取对数。,12,EViews软件中VAR模型的建立和估计,1建立VAR模型 为了创建一个VAR对象，应选择Quick/Estimate VAR或者选择Objects/New object/VAR或者在命令窗口中键入var。便会出现下图的对话框(以例9.1为例)：,13,可以在对话框内添入相应的信息
7、：(1) 选择模型类型（VAR Type）：无约束向量自回归（Unrestricted VAR）或者向量误差修正（Vector Error Correction）。无约束VAR模型是指VAR模型的简化式。,(2) 在Estimation Sample编辑框中设置样本区间,14,(3) 输入滞后信息在Lag Intervals for Endogenous编辑框中输入滞后信息，表明哪些滞后变量应该被包括在每个等式的右端。这一信息应该成对输入：每一对数字描述一个滞后区间。例如，滞后对1 4 表示用系统中所有内生变量的1阶到4阶滞后变量作为等式右端的变量。也可以添加代表滞后区间的任意数字，但都要成对
8、输入。例如：2 4 6 9 12 12 即为用24阶，69阶及第12阶滞后变量。,15,(4) 在Endogenous Variables编辑栏中输入相应的内生变量(5)在Exogenous Variables编辑栏中输入相应的外生变量EViews允许VAR模型中包含外生变量，其中 xt 是 d 维外生变量向量 , kd 维矩阵 H 是要被估计的系数矩阵。可以在Exogenous Variables编辑栏中输入相应的外生变量。系统通常会自动给出常数 c 作为外生变量。其余两个菜单（Cointegration 和 Restrictions）仅与VEC模型有关，将在下面介绍。,16,2VAR估计的
9、输出VAR对象的设定框填写完毕，单击OK按纽，EViews将会在VAR对象窗口显示如下估计结果：,17,表中的每一列对应VAR模型中一个内生变量的方程。对方程右端每一个变量，EViews会给出系数估计值、估计系数的标准差(圆括号中)及t-统计量(方括号中)。例如，在D(log(M1_TC_P)的方程中RR_TC(-1)的系数是-0.001195。同时，有两类回归统计量出现在VAR对象估计输出的底部：,18,输出的第一部分显示的是每个方程的标准OLS回归统计量。根据各自的残差分别计算每个方程的结果，并显示在对应的列中。 输出的第二部分显示的是VAR模型的回归统计量。,19,残差的协方差的行列式值
10、(自由度调整)由下式得出： 其中 m 是VAR模型每一方程中待估参数的个数，不做自由度调整的残差协方差行列式计算中不减 m。 是 k 维残差列向量。通过假定服从多元正态（高斯）分布计算对数似然值： AIC和SC两个信息准则的计算将在后文详细说明。,20,例9.1结果如下： 尽管有几个系数不是很显著，我们仍然选择滞后阶数为2。3个方程拟合优度分别为：可以利用这个模型进行预测及下一步的分析。,21,同时，为了检验扰动项之间是否存在同期相关关系，可用残差的同期相关矩阵来描述。用ei 表示第 i 个方程的残差，i =1，2，3。其结果如表9.1所示。表9.1 残差的同期相关矩阵,22,从表中可以看到实
11、际利率rr、实际M1的ln(m1) 方程和实际GDP的ln(gdp)方程的残差项之间存在的同期相关系数比较高，进一步表明实际利率、实际货币供给量(M1)和实际GDP之间存在着同期的影响关系，尽管得到的估计量是一致估计量，但是在本例中却无法刻画它们之间的这种同期影响关系。,23,9.1.2 结构VAR模型(SVAR),在式(9.1.1)或式(9.1.3)中，可以看出，VAR模型并没有给出变量之间当期相关关系的确切形式，即在模型的右端不含有当期的内生变量，而这些当期相关关系隐藏在误差项的相关结构之中，是无法解释的，所以将式(9.1.1)和式(9.1.3)称为VAR模型的简化形式。本节要介绍的结构V
12、AR模型(Structural VAR，SVAR)，实际是指VAR模型的结构式，即在模型中包含变量之间的当期关系。,24,1两变量的SVAR模型,为了明确变量间的当期关系，首先来研究两变量的VAR模型结构式和简化式之间的转化关系。如含有两个变量(k=2)、滞后一阶(p=1)的VAR模型结构式可以表示为下式,(9.1.8),25,在模型(9.1.8)中假设：（1）随机误差 uxt 和 uzt 是白噪声序列，不失一般性，假设方差 x2 = z2 =1 ；（2）随机误差 uxt 和 uzt 之间不相关，cov(uxt , uzt )=0 。,式(9.1.8)一般称为一阶结构向量自回归模型(SVAR(
13、1)。,26,它是一种结构式经济模型，引入了变量之间的作用与反馈作用，其中系数 c12 表示变量 zt 的单位变化对变量 xt 的即时作用，21表示 xt-1的单位变化对 zt 的滞后影响。虽然 uxt 和 uzt 是单纯出现在 xt 和 zt 中的随机冲击，但如果 c21 0，则作用在 xt 上的随机冲击 uxt 通过对 xt 的影响，能够即时传到变量 zt 上，这是一种间接的即时影响；同样，如果 c12 0，则作用在 zt 上的随机冲击 uzt 也可以对 xt 产生间接的即时影响。冲击的交互影响体现了变量作用的双向和反馈关系。,27,为了导出VAR模型的简化式方程，将上述模型表示为矩阵形式
14、该模型可以简单地表示为,(9.1.9),28,假设 C0可逆，可导出简化式方程为 其中,(9.1.10),29,从而可以看到，简化式扰动项 t 是结构式扰动项 ut 的线性组合，因此代表一种复合冲击。因为 uxt 和 uzt 是不相关的白噪声序列，则可以断定上述 1t 和 2t 也是白噪声序列，并且均值和方差为,30,同期的 1t 和 2t 之间的协方差为从式(9.1.11)可以看出当 c12 0 或 c21 0 时，VAR模型简化式中的扰动项不再像结构式中那样不相关，正如例9.1中的表9.1所显示的情况。当 c12 = c21 = 0 时，即变量之间没有即时影响，上述协方差为0，相当于对C0
15、矩阵施加约束。,(9.1.11),31,2多变量的SVAR模型,下面考虑k个变量的情形，p阶结构向量自回归模型SVAR(p)为,(9.1.13),其中：, ,32,可以将式(9.1.13)写成滞后算子形式,(9.1.14),其中：C(L) = C0 1L 2L2 pLp ，C(L)是滞后算子L的 kk 的参数矩阵，C0 Ik。需要注意的是，本书讨论的SVAR模型，C0 矩阵均是主对角线元素为1的矩阵。如果 C0 是一个下三角矩阵，则SVAR模型称为递归的SVAR模型。,33,不失一般性，在式(9.1.14)假定结构式误差项(结构冲击) ut 的方差-协方差矩阵标准化为单位矩阵Ik。同样，如果矩
16、阵多项式C(L)可逆，可以表示出SVAR的无穷阶的VMA()形式 其中：,(9.1.15),34,式(9.1.15)通常称为经济模型的最终表达式，因为其中所有内生变量都表示为ut的分布滞后形式。而且结构冲击 ut 是不可直接观测得到，需要通过 yt 各元素的响应才可观测到。可以通过估计式(9.1.5)，转变简化式的误差项得到结构冲击 ut 。从式(9.1.6)和式(9.1.15)，可以得到,(9.1.16),35,上式对于任意的 t 都是成立的，称为典型的SVAR模型。由于 A0 = Ik ，可得式(9.1.17)两端平方取期望，可得 所以我们可以通过对 B0 施加约束来识别SVAR模型。由式 (9.1.15)，有,(9.1.17),
