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1、第十一章 质 点 系 动 能 定 理,11-1 动量与能量,研究物体机械运动除动量方法外，还有能量方法。二者相辅相成。 本章介绍动能定理，它是求解动力学问题的有效工具。举例：汽车的行驶过程，分析动量和能量在其中的作用。完整地分析汽车的行驶过程，仅仅运用动量的概念和方法是不够的，还必须添加能量的概念和方法才行。发动机发出功率给出主动力偶用以克服阻力和阻力偶做功从而使汽车的动能增加；向前的摩擦力克服向后的摩擦力与空气阻力使汽车的动量增加。前者是内因，后者是外因。两者相辅相成，缺一不可。如果路面足够粗糙，但发动机不发出功率，牵引力仍然是零；相反，如果路面太光滑，发动机发出功率再多，也只能使车轮空转，
2、而不能使汽车向前一步。这也说明，动量与能量是两种不同的物理量，各自具有其独立的物理意义。,(动量定理、动量矩定理 矢量),(动能定理 标量),（动量定理、动量矩定理,(动能定理,矢量),标量),11-2 力的功,一、常力在直线运动中的功,二、变力在曲线运动中的功,元功,记,1.重力的功,质点系,重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。,三、几种常见力的功,质点,2.直线弹簧力的功,弹簧力：,则：,式中：,3.扭转弹簧力矩的功,扭簧作用在杆上的对O点的矩为：,k扭簧的刚度系数，则,4.作用在刚体上力偶的功,力偶M在从角位移 至 中所作的功为：,（M为常数）,5.内力的功,内力是成对出现的，其矢量
3、和恒为零；但内力之功不一定为零。,设两质点A、B之间相互作用的内力为,即有：,质点A、B相对固定点O的位矢分别为,若在dt时间间隔内，A、B两点的无限小位移 为 和 ，则,该式表明：当AB间两质点之间的 相对距离变化时，其内力的元功之和 不等于零。（内力为有用功）。反之，则为零。（内力为无功力）,6.一种理想约束力的功,理想约束：约束力为无功力的约束。,圆轮作纯滚动时，作用其上摩擦力为无功力。,思考:下图中摩擦力是否做功？,证明：,C*瞬心，故,静止：不做功； 运动：做 功。,小 结,内力不能改变质点系的动量和动量矩，但可能改变其能量。,外力能改变质点系的动量和动量矩，但不一定能改变其能量。,
4、11-2 质点和质点系的动能,2.质点系的动能,1.质点的动能,（1）平移刚体的动能,即,（2）定轴转动刚体的动能,即,平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和.,得,速度瞬心为P,（3）平面运动刚体的动能,对于任意质点系（可以是非刚体）的任意运动，质点系在绝对运动中的动能等于它随质心平移的动能与相对于质心平移坐标系运动的动能之和。( 柯尼希定理),牢记均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能:,解：AB杆作平面运动，其质心C的速度为,速度合成矢量图如图。,则杆的动能,j,B,A,l,例11-2 滑块A以速度vA在滑道内滑动，其上铰接一质量为m，长为l的均质杆AB，杆以角速度w 绕
5、A转动，如图。试求当杆AB与铅垂线的夹角为 时，杆的动能。,例11-3 计算图示以速度 向右运动的拖拉机履带的动能。轮轴间的距离为d，轮的半径为r，履带的单位长度质量为 。,解：方法1,方法2,将 两端点乘 ,11-3 动能定理,1.质点的动能定理,因此,得,质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。,质点动能定理的微分形式,质点动能定理的积分形式,在质点运动的某个过程中,质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功.,2.质点系的动能定理,质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和.,由,得,质点系动能定理的微分形式,质点系动能定理的积分形式,质点系在某一段运动过程中,起点和终点的动能
6、改变量,等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和.,1）.有势力,有势力 (保守力):力的功只与力作用点的始、末位置有关,与路径无关.,例如：重力、牛顿引力、弹性力等.,2）.势能,受有势力的质点系在某一位置的势能是指系统在这一位置所具有对外界作功的能力。它在数值上等于系统从这一位置回到势能零点时，其上所有有势力所作功的总和。故确定系统势能之前，须先选定零势位置。,3.有势力与势能,（a）重力势能,（b）弹性势能,一般以末变形时的位置作为零势位置，则,直线弹簧：,( 变形）,扭转弹簧：,（ - 转过角度）,弹性体变形时，其内力具有对外作功能力，称为弹性势能。,3）、有势力的元功与势能微分
7、关系,有势力的元功；,势能微分；,因有势力作功，其势能相应降低或增加，则,即：保守力的元功=-势能全微分。,积分:,即：保守力作用点从初位置1到末位置2时，该力所做的功 等于其初末位置的势能差。,4、机械能守恒,或,（E 机械能）,机械能守恒定律表明：系统仅在有势力作用下运动时，其 机械能保持不变。这样的质点系，通常称为保守系统。,非保守系统的机械能是不守恒的.,例11-6 杆ACB重W，长 ；CD向有弹簧，刚度为k，原长 。在ACB铅垂位置受干扰后，落至 。,求：1）弹簧力的功；2）杆在水平位置的角速度。,弹簧力的功 ：,CD处的势能：,处的势能：,解：1、弹簧力的功（等于势能的减少量）,弹
8、簧力的功 ：,2、杆的角速度,由动能定理,思考：如何求出角加速度？,已知：轮O ：R1 ，m1 ,质量分布在轮缘上; 均质轮C ：R2 ，m2 ，纯滚动, 初始静止 ; ,M 为常力偶。,求:轮心C 走过路程s 时的速度和加速度,例11-4,轮C与轮O共同作为一个质点系，受力、运动分析如图。,解:,式(a)是函数关系式，两端对t 求导,得,已知:均质圆轮 m, r, R ,纯滚动.,求:轮心的运动微分方程.,例11-7,解:,由机械能守恒定律可得：,由运动学关系：,联立解得：,1、动力学三大定理小结,动量法： （矢量）,动量矩定理：,对定点O：,对质心C：,11-5 普遍定理的综合应用,动量定
9、理：,能量法： （标量）,动能定理微分形式,动能定理积分形式,2、3种刚体运动的动量、动量矩、动能表达式,定轴转动,平面运动,平移,动量,动量矩,动能,3、运动分析小结：,动力学的分析中往往要画速度（加速度）和角加速度（角加速度）的方向。其画法主要有以下几种情况：,1、如果速度（加速度）和角速度（角加速度）方向根据分析可明确，则画实际方向；,3、如果速度（角速度）和加速度（角加速度）方向根据分析都不能明确，则根据位移坐标正向规定画速度（角速度）和加速度（角加速度）方向。,2、如果速度（角速度）方向根据分析可明确，但加速度（角加速度）方向根据分析不能明确，则一般根据速度方向画，即假定速度是加速的
10、。,例11-8 已知：A、B重W；C亦重W；A作纯滚动，B上作用M，且,不计B处摩擦。,求：1）,2）A、B间绳子拉力FT。,3）B轴承约束力。,则,解:,对系统作运动分析： C作平移； B作定轴转动；A作平面运动 ,如图示。,在整个运动过程中，A、B轮上的 约束力都不作功，对系统应用动能定理：,系统为单自由度系统，取广义坐 标 如图。,运动分析有：,将上式对时间t求导,故物块 向上加速。,2、求A、B间绳子拉力FT,取B-C为研究对象，对B点运用动量矩定理：,运动、受力分析如图。,将（*）结果代入上式，解得：,因绳索不能承受压缩力故绳索松软，故系统不能正常运动。,3、轴承B处的约束力,对B-
11、C系统运用质心运动定理：,4、小结本题运用了动力学的三大定理解题，解题过程中，有一个重要的原则， 即：尽可能用大系统，其次小系统，再次单个刚体，这样能尽可能避免求 系统内部约束力。,1、FT还可用什么方法求解？ 2、A处的约束力与摩擦力如何求？ 3、B、C间的绳子拉力等于AB间绳子拉力吗？,思考题：,已知: l, m，地面光滑.,求:杆由铅直倒下,刚到达地面时的角速度和地面约束力.,例11-10,解:,时,(a),(b),(c),对杆作受力、运动分析如图所示。,思考：求aC的其它方法？,任一时刻：,倒地时：,练习,已知：塔轮质量 ，大半径 ，小半径 ，对轮心C的回转半径 ，质心 在几何中心C。
12、小半径上缠绕无重细绳，绳水平拉出后 绕过无重滑轮B悬挂一质量为 的重物A。 求： （1）若塔轮和水平地面间为纯滚动，C点加速度；（2）绳张力，摩擦力为多少。,解：,（1）以整体为研究对象，其受力、运动分析如图所示,其中：,力的功,函数式,两端对时间求导得,研究重物A，受力如图所示,研究塔轮，受力如图所示,图示一重物A质量为m1，当其下降时，借一无重且 不可伸长的绳索使滚子C沿水平轨道滚动而不滑动。 绳索跨过一不计质量的定滑轮D并绕在滑轮B上。滑轮 B的半径为R，与半径为r的滚子C固结，两者总质量为 m2，其对O轴的回转半径为 。求重物A的加速度。,比较练习,解：取系统为研究对象，受力、运动分析
13、如图示。,设初始时系统动能为T1,设t时刻，重物下降距离为s，则,，,，,运动学关系,力的功：,由动能定理：,将上式对时间求导数,本章结束,3.理想约束及内力的功,光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、不可伸长的柔索等约束的约束力作功等于零.,称约束力作功等于零的约束为理想约束.,对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可.,内力作功之和不一定等于零.,当轮子在固定面只滚不滑时，接触处是否为理想约束？,思考：,为什么？,已知:均质圆盘R ,m ,F =常量,且很大,使O 向右纯滚动, f , 初静止。,求: O 走过S 路程时力的功。,例11-1,重力，摩擦力，法向约束力都不作功，只有力F作功，
14、将力F向质心简化，得,解：,已知:两均质轮m ,R ; 物块m ,纯滚动,于弹簧原长处无初速释放，轮与地面间无滑动.,求:重物下降h 时,v，a 及滚轮与地面的摩擦力.,例2,解:,（a）,将式（a）对t 求导,得,其中,思考：,已知: , 均质;杆m 均质, =l , M=常量,纯滚动,处于水平面内,初始静止.,例12-6,求: 转过角的,研究整个系统,解:,求导得,注意:轮、接触点C是理想约束,其摩擦力Fs尽管在空间是移动的,但作用于速度瞬心,故不作功.,已知:轮I:r, m1 ; 轮III:r, m3 ; 轮II:R=2r, m2 ; 压力角（即齿轮间作用力与图中两圆切线间的夹角）为20
15、度,物块:mA ;在轮I 上作用有力偶M ，摩擦力不计.,求:O1 , O2处的约束力.,例4,其中,解:,其中,研究I轮,压力角为,研究物块A,研究II轮,12-4 功率、功率方程、机械效率,1.功率：单位时间力所作的功.,即:功率等于切向力与力作用点速度的乘积.,由 ,得,作用在转动刚体上的力的功率为,单位W（瓦特）,1W=1J/S,2.功率方程,功率方程:即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于质点 系的所有力的功率的代数和.,或,车床,3.机械效率,机械效率,有效功率,多级传动系统,例12-8,求:切削力F的最大值。,已知:,解:,已知:均质杆OB=AB=l, m，在铅垂面内;M=常量,初始静止, 不计摩擦.,求:当A 运动到O点时,例11-7,解:,提问：是否可以利用求导求此瞬时的角加速度？,已知:均质杆 l ,m ,弹簧刚度系数 k , AB 水平时平衡，弹簧变形为 .,举例:,求:杆有微小摆角时系统势能.,重力以杆的水平位置为零势能位置,弹簧以自然位置O为 零势能位置:,取杆平衡位置为零势能点:,
