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1、1,第五章 平面向量,向量的字符运算,第 讲,2,2,3,一、平面向量数量积的有关概念 1.已知两个非零向量a，b，过O点作OA=a，OB=b，则AOB=(0180)叫做向量a与b的夹角. 很显然，当且仅当两非零向量a，b同方向时，= _，当且仅当a、b反方向时，= _，同时0与其他任何非零向量之间不谈夹角问题.,0,180,4,2.如果a，b的夹角为 _，则称a与b垂直，记作 _. 3.a，b是两个非零向量，它们的夹角为，则 _叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即 _. 规定0a= _. 当ab时，= _，这时ab= _. 二、ab的几何意义 1.一个向量在另一个向量方向上的投影.,9
2、0,ab,|a|b|cos,ab=|a|b|cos,0,90,0,5,设是a与b的夹角，则 _称作a在b方向上的投影. _称作b在a方向上的投影.b在a方向上的投影是一个数，而不是向量.当 _时，它是正数；当 _时,它是负数；当=90时,它是零. 2.ab的几何意义. ab等 _与b在a方向上的投影的乘积. 3.ab的性质. 设a,b是两个非零向量,e是单位向量,于是有：,|a|cos,|b|cos,090,90180,|a|,6,(1)ea=ae=|a|cos; (2)ab _; (3)当a与b同向时，ab= _； 当a与b反向时，ab= _； 特别地，aa=a2=|a|2，或|a|= _;
3、 (4)cos= _; (5)|ab|a|b|.,ab=0,|a|b|,-|a|b|,7,1.已知向量a和b的夹角为120,|a|=1,|b|=3， 则|5a-b|=_. 解：所以|5a-b|=7.,7,8,2.若a,b,c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是( ) A. (a+b)+c=a+(b+c) B. (a+b)c=ac+bc C. m(a+b)=m a+mb D. (ab)c=a(bc) 解：A、B、C是运算律，而ab=R, bc=R,所以(ab)c=a(bc)不一定成立. 故选D.,D,9,3.在ABC中，已知向量 与 满足 且 则ABC为( ) A. 三边均不相等的三角形
4、B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 解：在ABC中， (M在BAC的平分线上)，,D,10,由 知 所以 ，则ABC是等腰三角形； 因为 所以 则BAC=60， 所以ABC是等边三角形. 故选D.,11,1. 如图，在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问 与 的夹角取何值时 的值最大？并求出这个最大值. 解法1：因为 ， 所以 因为,题型1 向量的数量积运算,12,所以故当cos=1,即=0( 与 方向相同)时， 的值最大，其最大值为0. 解法2：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.,13,设|AB|
5、=c,|AC|=b，则A(0，0)，B(c，0)，C(0，b)，且|PQ|=2a,|BC|=a. 设点P的坐标为(x,y),则Q(-x,-y). 所以所以,14,因为 所以cx-by=a2cos， 所以 故当cos=1，即=0( 与 方向相同)时， 的值最大，其最大值为0. 点评：向量的数量积是最基本的向量的运算，字符向量的数量积主要是将其转化为两向量模及夹角余弦的积，注意向量夹角与两直线夹角之间的关系和转化.,15,已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为 ，c=5a+3b，d=3a+kb，求当实数k为何值时，cd？ 解：要使cd，即cd=0， 即(5a+3b)(3a+kb)=0， 所以1
6、5a2+(9+5k)ab+3kb2=0， 所以154+(9+5k)23cos +3k9=0， 解得k= . 所以当k= 时，c与d垂直.,16,2. 已知向量a与b的夹角为120, 且|a|=4，|b|=2.求： (1)|a+b|;(2)|3a-4b|;(3)(a-2b)(a+b). 解：依题意得 ab=|a|b|cos=42cos120=-4. (1)因为|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2 =|a|2+2ab+|b|2=42+2(-4)+22=12， 所以|a+b|=,题型2 向量的模,17,(2)因为|3a-4b|2=(3a-4b)2 =9a2-24ab+16b2 =1619，
7、 所以|3a-4b|= . (3)(a-2b)(a+b)=a2-2ab+ab-2b2 =42-(-4)-222=12. 点评：求形如|a+b|的模，一般是通过|a+b|2=(a+b)2把求模转化为数量积来求解，注意求得的是模的平方，最后求得其算术平方根即可.,18,已知平面上三个向量a、b、c的模均为1， 它们相互之间的夹角均为120. (1)求证：(a-b)c； (2)若|ka+b+c|1(kR)，求k的取值范围. 解：(1)证明：因为|a|=|b|=|c|=1,且a、b、c 之间的夹角均为120， 所以(a-b)c=ac-bc=|a|c|cos120- |b|c|cos120=0, 所以(
8、a-b)c=0，所以(a-b)c.,19,(2)解法1：因为|ka+b+c|1， 即|ka+b+c|21， 即k2a2+b2+c2+2kab+2kac+2bc1, 因为ab=bc=ac=- ， 所以k2-2k0，所以k2. 解法2：由已知a+b+c=0, 故|ka+b+c|=|ka-a|=|(k-1)a|=|k-1|, |ka+b+c|1(kR) |k-1|1 k2.,20,题型3 向量的夹角,21,22,23,24,点评：(1)中最值问题不少都转化为函数最值问题解决，因此解题关键在于寻找变量，以构造函数而(2)中即为数量积定义的应用,25,已知三个单位向量a，b，c，两两之间的夹角为120，
9、求a-2b与c的夹角. 解：(a-2b)c=ac-2bc=11cos120-211cos120= ，又a-2b，c0， 所以a-2b，c=arccos .,26,1.向量的字符运算是向量运算的一种基本形式，它类似于实数的字母运算，在没有几何背景和向量坐标的向量问题中，一般通过这种运算解答相关问题. 2. 向量的字符运算以向量的数量积为核心，由此解决有关向量的模和夹角问题.在字符运算中求向量的模，一般先求模的平方，再转化为向量的平方，然后转化为数量积进行运算.,27,在字符运算中求向量的夹角，一般先利用数量积的定义求夹角的余弦，再根据夹角的范围求向量的夹角. 3.通过向量的字符运算求值时，要注意
10、利用方程思想求解，即把所求的量看作一个未知数，通过解方程求这个未知数的值.它在求数量积、参数值、夹角、模等问题中有着广泛的应用.,28,第五章 平面向量,向量的坐标运算,第 讲,3,（第一课时）,29,30,31,一、平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、 j作为基底，对任一向量a，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj，则实数对(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a=(x，y).其中x、y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，a=(x，y)叫做向量a的坐标表示. 相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量.,32,二、平面向量的坐标运算 1
11、.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则ab=_; 2.如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=_; 3.若a=(x，y)，则a=_; 4.如果a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则ab的充要条件是_.,(x1x2，y1y2),(x2-x1，y2-y1),(x,y),x1y2-x2y1=0,33,三、平面向量数量积的坐标表示 1.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则ab=_; 2.若a=(x，y)，则|a|2=aa=_，|a|=_; 3.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=_； 4.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则ab_;,x1x2+y1y2,x2+y2,x1x2+y1y2=0,34,5.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为，则cos=_.,35,1.对于n个向量a1,a2,an,若存在n个不全为零的实数k1,k2,，kn,使得k1a1+k2a2+knan=0成立，则称向量a1,a2,an是线性相关的.按此规定，能使向量a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)是线性相关的实数k1,k2,k3的值依次为_.(只需写出一组值即可) 解：根据线性相关的定义得k1(1,0)+k2(1,-1)+k3(2,2)=0，则 令k3=1,则k2=2，k1=-4， 所以k1,k2,k3的一组值为-4,2,1.,
