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1、湖南湖南 G10G10 教育联盟教育联盟 20182018 年年 4 4 月高三联考理科数学月高三联考理科数学一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. .1. 已知集合，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得：，故选：B2. 已知复数（ 是虚数单位） ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】=，故选：A3. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为 1 的
2、两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】该几何体的直观图如图 1 所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥其中底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，高为 CC1=1，该几何体的所有顶点都是棱长为 1 的正方体的顶点，故几何体的外接球，即为棱长为 1 的正方体的外接球，故球的直径 R 满足：2R=，R=，球的表面积是 4（）2=3故选：C点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中
3、元素间的关系求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解4. 天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子” ，第二年为“乙丑” ，第三年为“丙寅” ，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌” ， “乙亥
4、” ，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子” ，以此类推已知 1949 年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立 80 年时为（ ）年A. 丙酉 B. 戊申 C. 己申 D. 己酉【答案】D【解析】天干是以 10 为构成的等差数列，地支是以 12 为公差的等差数列，从 1949 年到 2029 年经过 80 年，且 1949 年为“己丑”年，以 1949 年的天干和地支分别为首项，则 8010=8，则 2029 的天干为己，8012=6 余 8，则 2029 的地支为酉，故选：D5. 下列说法正确的是（ ）A. “”是“”的充分不必要条件B. 命题“，”的否定是“，”C. 命题“若，则”的逆命
5、题为真命题D. 命题“若，则或”为真命题【答案】D【解析】对于 A，x=-1 时，不能得出，充分性不成立，A 错误；对于 B，命题“x0，2x1”的否定是：“” ，B 错误；对于 C，命题“若 ab，则 ac2bc2”的逆命题是：“若 ac2bc2，则 ab”是假命题，如 c=0 时，命题不成立；对于 D，命题“若 a+b5，则 a2 或 b3”的逆否命题是：“若 a=2 且 b=3，则 a+b=5”是真命题，D 正确故选：D6. 若的展开式中常数项为，则 的值为（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】（x+a）2=x2+2ax+a2展开式的通项为展开式的常数项为C53+2aC5
6、4a2C53+2aC54a2=1解得 a=1 或 9故选：D7. 设函数，则下列命题正确的是（ ）A. 的图象关于直线对称B. 的图象关于点对称C. 的最小正周期为 ，且在上为增函数D. 把的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象【答案】C【解析】试题分析：函数的周期为，当时，因此在上递增故 C 正确考点：函数的性质8. 我们可以用随机模拟的方法估计 的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数） 若输出的结果为 521，则由此可估计 的近似值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 发生的概率为 ，当输出结果为 时， ，发生的概率为 ，所
7、以 ，即 故选 B.9. 已知定义在 上的奇函数满足，当时，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 由题意得，因为，则，所以函数表示以 为周期的周期函数，又因为为奇函数，所以，所以，所以，故选 B.10. 平行四边形中， 是平行四边形内一点，且，如，则的最大值为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】，=9x2+4y2+2xy32（ ）=（3x+2y）233x2y（3x+2y）2 （3x+2y）2= （3x+2y）2；又=1，即 （3x+2y）21，所以 3x+2y2，当且仅当 3x=2y，即 x= ，y= 时，3x+2y 取得最大值 2故选：B11. 已知、
8、是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】双曲线=1 的渐近线方程为 y=x，不妨设过点 F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为 y= （xc） ，与 y= x 联立，可得交点 M（ ，） ，点 M 在以线段 F1F2为直径的圆外，|OM|OF2|，即有 +c2，3，即 b23a2，c2a23a2，即 c2a则 e= 2双曲线离心率的取值范围是（2，+） 故选：A点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方程或不等
9、式，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12. 已知函数，设关于 的方程 有 个不同的实数解，则的所有可能的值为（ ）A. 3 B. 1 或 3 C. 4 或 6 D. 3 或 4 或 6【答案】A【解析】在和上单增，上单减，又当时，时，故的图象大致为：令，则方程必有两个根，且，不仿设 ，当时，恰有，此时，有 个根，有 个根，当时必有，此时无根，有 个根，当时必有，此时有 个根，有 个根，综上，对任意，方程均有 个根，故选 A.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范
10、围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上）13. 已知 ， ， 分别是 内角 ， ， 的对边，则_【答案】【解析】ABC 中，a=4，b
11、=5，c=6，cosC= ，sinC=，故答案为：14. 过抛物线的焦点 的直线交该抛物线于 ， 两点，若，则_【答案】【解析】试题分析：设点 A 在第一象限，根据焦半径公式,所以,所以直线的斜率为，所以直线方程设为，与抛物线方程联立整理为，,所以,那么,故填：.考点：直线与抛物线的位置关系15. 已知约束条件表示的可行域为 ，其中，点，点，若与的最小值相等，则实数 等于_【答案】2【解析】先根据约束条件画出可行域，设 z1=，将 z1的值转化可行域内的 Q 点与点 P（0，1）连线的斜率的值，当 Q 点在可行域内的 B（a，3a）时，斜率最小，最小值为=，设 z2=3xy，当 z2=3xy
12、过点 A（1，2）时 3x0y0的值最小，最小值为 312=1，3x0y0与的最小值相等，=1，解得 a=2，故答案为：2点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.16. 已知，则_【答案】【解析】：cos（ +）=3sin（+） ，sin=3sin（+ ） ，sin=3sin（+ ）=3sincos +3cossin =sin+ cos，tan=；又
13、 tan=tan（ ）=2，tan（+）=24故答案为：24三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17. 设是数列的前 项和，已知，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前 项和【答案】 （1）；（2）【解析】试题分析：（1）由的关系明确数列的通项公式；（2），利用并项法求出数列的前 项和试题解析：（1），当时，得；当时，当时，即，又，是以为首项， 为公比的等比数列数列的通项公式为（2）由（1）知，当 为偶数时，；当 为奇数时，18. 某校高三年级有 1
14、000 人，某次数学考试不同成绩段的人数（1）求该校此次数学考试平均成绩；（2）计算得分超过 141 的人数；（3）甲同学每次数学考试进入年级前 100 名的概率是 ，若本学期有 4 次考试， 表示进入前 100 名的次数，写出 的分布列，并求期望与方差【答案】 （1）23；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由不同成绩段的人数服从正态分布，可知平均成绩；（2），141 分以上的人数为；（3） 的取值范围为0,1,2,3,4，求出相应的概率值，得到分布列及期望与方差试题解析：（1）由不同成绩段的人数服从正态分布，可知平均成绩.（2），故 141 分以上的人数为人（3） 的取值范围为 0,1,2
15、,3,4，故 的分布列为：01234期望，方差点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率” ，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列” ，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值” ，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布 XB(n，p)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)np)求得.19. 已知在直角梯形中，将沿起至，使二面角为直角（1）求证：平面平面；（2）若点满足，当二面角为时，求 的值.【答案】 （1）见解析；（
