合情推理重在“合情合理”

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1、1 合情推理重在“合情合理”山东省实验中学（东校） 250109 张蕴禄1. 引言直觉思维能力与逻辑思维能力都是相当重要的.新课改以前， 我们将绝大多数精力放在了学生的逻辑思维能力的培养上，进而忽视了直觉思维能力的培养.1999 年笔者撰写了 能否少问学生几个为什么 （见文 1 ）.文章指出由于老师问了学生太多的“为什么”而抑制了学生思维的“跨越”从而不利于学生直觉思维能力的培养.因为有一些猜测、猜想是“只可意会，不可言传”的，要说明为什么有时是非常困难的，甚至是讲不出为什么的.南京大学哲学系郑毓信先生对文1作了点评（见文2 ）.郑先生指出尽管有时是很困难的，但是一个好的猜想（或者说，一个“合

2、理”的猜想）又总是有“道理”可言的，尽管这并不等同于严格的证明.当时阅读了郑先生的文章也没有引起笔者更深层次的思考.时过境迁，如今高中数学课程已发生了重大变化，合情推理在高中已不再是渗透，而是高中数学选修2-2，1-1 推理与证明的一个重要内容 .笔者在进行合情推理教学时面对学生五花八门的猜测才真正意识到合情推理重在“合情合理”，合情推理是能够讲出“为什么”的. 众所周知，无论是归纳推理，还是类比推理所得出的结论未必一是定正确的. 其结果的正确与否有待于进一步验证或证明.但通过类比或归纳得到的猜想，可以给人们提供一定的线索，作为进一步研究的起点，可以帮助人们发现问题和提出问题. 现实生活中公安

3、人员确定犯罪嫌疑人的过程，以及大夫给病人诊断病症的过程就是一个不完全归纳的过程.另外中学数学教材中有一些公式和定理，在学生基础知识有限的情况下，为了让学生暂且接受其真实性，常常用不完全归纳法给出.例如， 等差数列和等比数列的通项公式以及立体几何中的某些判定或是性质定理，在教材中都是用不完全归纳法得到的.这样的处理方法，在理论上是有缺陷的，但就教材的整体结构而论是合理的，是合乎学生的认知规律的，也有助于学生从具体的事例中发现一般规律. 也就是说， 合情推理重在发现，演绎推理重在证明.可是老师在进行合情推理教学时往往会遇到这样的困惑： 面对同一个问题，学生往往会从不同的角度猜想出许许多多的不同结论

4、.学生的这些猜测或是猜想有一些是合理的，也有一些是不合情理的，甚至可以说是“乱猜”.然而老师往往很难对学生的猜想的正确性作出判断，有时即便是知道学生的推理有误，但老师们的“反驳”也难以令学生信服.这样，学生也就很难悟出合情推理的真谛与一般规律.事实上，无论是归纳还是类比，都有其一般规律，都不是“乱猜”，更不是“瞎猜” . 2. 有关类比推理的实例有一次一位老师布置了这样的作业（例1、例 2） ：2 例 1 正三角形的中心到对边的距离等于三角形高的三分之一，请类比得出正四面体的类似性质. 学生的作业提供了若干答案.有的说正四面体的中心到对面的距离是正四面体高的三分之一，也有的说是四分之一、还有说

5、是九分之一、二十七分之一等等. 例 2 三角形的面积公式：ABC的三边长为cba,，r为其内切圆的半径，则rcbaSABC)21（. 请类比得出三棱锥的类似性质. 学生也提供了若干答案：三棱锥 PABC 的四个侧面面积分别为4321,SSSS,其内切球半径为r，则三棱锥的体积rSSSSVABCP)(21 4321；rSSSSVABCP)(31 4321，rSSSSVABCP)(41 4321. 学生的每一种猜测似乎都有一定道理，例如例1 中，猜测31，是由于正三角形有此性质，正四面体也应该有此性质，持这种观点的学生还不在少数；猜测 41，是由于正三角形的中心把三角形分为面积相等的三个三角形，正

6、四面体的中心把正四面体分成四个全等的三棱锥；也有的学生尽管也猜测 41，但是所提供的理由与前者有所不同，这部分学生认为原来是线段的长度，现在是面积，前面的系数应该由 21变为 41；猜测 91、 271的学生认为应该有一个平方关系或是立方关系.例 2 中，学生猜测 31，是由于三角形的面积是21底高，而三棱锥的体积是 31底面积高；猜测 41，是由于由线段的长类比为面积的大小，应该有个平方关系；猜测 21，是仅仅把边长类比为面积而系数不做变化. 针对类似的问题，办公室里老师们经常为了其合理性而争论不休.有时一方很难说服另一方.特别是学生往往认为自己的猜测是合理的，对于一些由于学生知识水平所限而

7、无法证明的结论，老师往往又很难提供让学生信服的理由，这是许多老师经常遇到的困惑. 数学中的许多发现来源于对实际的观察，仅仅对事物、现象作一表面的观察是远远不够的，还需要对获得的信息进行系统的，有条理的整理，进行客观、全面精确和深刻的分析、推理论证.大家知道，类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，是一种由特殊到特殊的推理 .那么，我们要根据甲类事物的某种性质来推测乙类事物是否也有类似性质，怎么推测才合情合理呢？或者说类比推理有没有一般规律呢？回答是肯定的.要推测乙类事物是否有类似于甲类事物的性质，或者说应该有什么性质，首先要弄清楚甲类事物为什么有此类性质

8、，等弄清楚了以后我们再猜测乙类事物所具有的性质，此时就不会出现乱猜、瞎猜的错误了，这就是类比推理的基本规律.比如例 1，首先做的不是如何猜测的问题， 而是要搞清楚正三角形的中心为什么有此性质.正三角形的中心把三角形分成了全等的三部分， 每一部分的面积等于三角形面积的三分之一.此时再来猜测正四面体的有关性质，就会很容易的得出3 由于正四面体的心把正四棱锥分成了四个全等的三棱锥，于是正四面体的中心到对面的距离是正四面体高的四分之一 .再比如例2，首先搞清楚rcbaSABC)21（， 是由于三角形的内心把三角形分成了三个高相 等 的 三 角 形 ， 而 三 棱 锥 的 内 心 把 三 棱 锥 分 成

9、 了 高 相 等 的 四 个 三 棱 锥 ， 所 以 应 该 有rSSSSVABCP)(31 4321. 还 有 学 生 认 为 由 于acabcba)(， 而 习 惯 的 认 为yxyxlglg)lg(；yxyxsinsin)sin(.就是没有搞清楚为什么acabcba)(成立的情况下所作出的猜测. 3. 有关归纳推理的案例不仅类比推理需要研究其合理性，归纳推理也需要研究其合理性.有一次笔者听课时一位老师出示了下面的例 3. 例 3 若Raa21,，则有不等式2212 22 1)2(2aaaa成立，请把不等式推广到更一般的情形. 当时课堂气氛十分活跃，学生从不同角度把不等式作了推广，得到了下

10、面的诸多答案：若Raa21,， 则 分 别 有 不 等 式 ：nnnaaaa)2(22121；2212 22 1)(naanaa；nnnnaanaa)(2121；mmmnaanaa)(2121成立；若Raaan,21， 则 分 别 有 不 等 式 ：22122 22 1)2(2nnaaaaaa；22122 22 1)( naaanaaann；nnn nnnnaaanaaa)(2121；mnm nmmnaaanaaa)(2121成立 . 由于许多不等式学生无法证明，老师仅就学生的推广作了表扬，并没有对各种猜想的合理性和正确与否进行说明 .从课堂教学的实际情况来看，大部分学生仅停留在“形式”的推广

11、上，诸如把两个数推广到n个数，把2 推广到n等等 .尽管以上各种猜想都有其合理的成分，但归纳推理绝不仅仅是形式上的推广.归纳推理的本质是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物所有对象都具有这种性质.如果归纳的个别情况越多，那么推广的一般性命题就越可能为真.如果当年哥德巴赫仅根据3+3=6，就提出哥德巴赫猜想显然是不妥当的.归纳推理是要有思维过程的.学生如果不能证明n个数情形是否成立，可以证明两个数推广到3个数的情形，即便是三个数的情形也无法证明，还可以选一些特殊值进行验证，不仅要验证大于号，还要验证等号成立的条件.这种验证和试探的过程是归纳推理的重要组成部分.例如选（ 1，1，1）时

12、4 23212 32 22 1)2(2aaaaaa就已经不成立了，也就没有必要再进行推广了.我们应该让学生在推理中体验这种归纳推理的思维过程. 合情推理是新课程的新增内容，无论是在教学理念或是实际教学中都会遇到一系列的问题，也会产生许多困惑 .应该指出的是无论类比推理还是归纳推理都有其规律可循.只要老师们把握好这些基本规律，就能够在实际教学中做到游刃有余，进而改进我们的教学.正如郑先生在文2 中所提到的，数学方法论所关注的主要是数学发现、创造过程的“理性重建”，也即是希望能通过方法论的分析使数学中的发明、创造活动成为“可以理解”的，“可以学到手”和“可以加以推广应用”的；进而，又成为我们改进数学教学的一个重要手段，即是应当以思想方法的分析去带动具体知识内容的教学. 参考文献1 张蕴禄 能否少问学生几个“为什么”.中学数学教学参考， 1999，10. 2 郑毓信 如何培养学生的猜想和直觉能力由能否少问学生几个“为什么” 引出的思考 .中学数学教学参考， 2000，12 合期 .