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1、,第五章 定积分及其应用,第一节 定积分及其计算,第二节 定积分在几何上的应用,第三节 定积分在物理上的应用,第一节 定积分及其计算,一.定积分的概念与性质,二.微积分基本公式,本节主要内容:,三.定积分的积分法,四.反常积分,一.积分的概念与性质,(一)定积分问题举例,1. 曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成 ,求其面积 A .,显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积.,观察下列演示过程, 注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 .,观察下列演示过程, 注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.,播幻灯片 75放,解决步骤:,1) 分割,
2、2) 取近似,3) 求和,4) 取极限,解决步骤 :,1) 分割,在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2) 取近似,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底 ,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,3) 求和,4) 取极限,令,则曲边梯形面积,2. 变速直线运动的路程,解决步骤:,1) 分割,2) 取近似,3) 求和,4) 取极限,解决步骤:,1) 分割,将它分成,在每个小段上物体经,2) 近似,得,n 个小段,过的路程为,2. 变速直线运动的路程,3) 求和,4) 取极限,上述两个问题的共性:,(二) 定积分的
3、概念,定义5.1.1 设函数 f(x)在区间a,b上有定义, 分割: 任取分点 把区间 a,b 分割成 n个小区间 xi-1, xi , 第i个小区间的长度为 ，记 近似: 在每个小区间xi-1, xi上任取一点 i (i=1, 2 n) 求和：作和式,取极限：当0时, 若极限 存在(这 个极限值与区间 a, b 的分法及点 i 的取法无关 ) ， 则称函数 f(x) 在a, b 上可积, 并称这个极限为函数 f(x) 在区间a,b上的定积分，记作 , 即,卡盟排行榜 卡盟,Microsoft Office PowerPoint，是微软公司的演示文稿软件。用户可以在投影仪或者计算机上进行演示
4、，也可以将演示文稿打印出来，制作成胶片，以便应用到更广泛的领域中。利用Microsoft Office PowerPoint不仅可以创建演示文稿，还可以在互联网上召开面对面会议、远程会议或在网上给观众展示演示文稿。 叫演,说明：,1. 闭区间上的连续函数是可积的; 闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的,2. 定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数f(x)和积分区间a,b，而与积分变量使用的字母的选取无关，即有,3. 在定积分的定义中, 有aa，若极限 存在, 则称此极限为函 数 f (x)在a,+)上的广义积分, 记作 ， 即此时也称广义积分 收敛; 如果上述极限 不存在, 就称 发
5、散.,类似可定义:,只要有一个极限不存在 , 就称,发散 .,引入记号,则有类似 N L 公式的计算表达式 :,例30 求,例31 讨论 的敛散性.,例32 求,例33 求,(二) 无界函数的广义积分瑕积分,定义5. 1. 3 设函数 f (x) 在区间(a, b上连续且 . 取 Aa, 如果极限 存在, 则称此极限为函数 f (x) 在 (a, b 上的广义积分, 记作即此时也称广义积分 收敛, 否则就称广义积分 发散. A 称为瑕点 .,类似可定义:,（1）x=b 为 f(x) 的无穷间断点时:,（2）无穷间断点x=c位于区间(a, b) 内:,若瑕点,的计算表达式 :,则也有类似牛 莱公
6、式的,若 b 为瑕点, 则,若 a 为瑕点, 则,若 a , b 都为瑕点, 则,则,当上式右边两个广义积分都收敛, 称广义积分收敛.,例34 求,所以广义积分发散 .,例35 讨论 的敛散性 .,内容小结:,1.定积分的概念与性质,2.微积分基本公式,8个性质,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,3,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,13,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,23,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,33,观察下列演示过程，注意当分割加细时
7、， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,43,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,53,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,63,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,73,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,83,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,93,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,103,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,113,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,123,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,133,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,143,
