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1、10023# 实变函数与泛函分析初步试题第 1 页 共 2 页浙江省 2007年 10 月高等教育自学考试 实变函数与泛函分析初步试题 课程代码: 10023一、单项选择题(本大题共3 小题,每小题4 分,共 12 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.已知 Z 和 Q 分别为整数集和有理数集,记A=0,1-Q,则 ( ) AZQAB. ZQAC. ZQAD. ZQA2.若 A=0,1- 31,21, 1, ,B= 2,3 Q,C=5,6-Q,则 ABC 的测度为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.无意义3.设 f
2、(x)=其他, 13, 1,11 ,0,22xxQxx Q,则,80f(x)dx=( ) A.0 B.1 C.2 D.8 二、判断题(本大题共6 小题,每小题2 分,共 12 分)。4.集列的上限集与下限集一定不相等.( ) 5.开集一定是博雷尔(Borel)集 .( ) 6.设 ER1, E 是 E 的闭包, mE=0,则 m( E )=0.( ) 7.设 f(x) 在0,1的一个稠密集上处处不连续,则 f(x)一定不是Riemann 可积函数 .( ) 8.定义在零测集上的函数一定是可测函数.( ) 9.定义在区间上的单调函数的导数几乎处处存在.( ) 三、填空题 (本大题共 10 小题,
3、每小题4 分,共 40 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。10.设 A2n-1=(0,sin n1),A2n=( n1,n),则集列 An的上限集为 _. 10023# 实变函数与泛函分析初步试题第 2 页 共 2 页11.球面 S2= (x,y,z)|x2+y2+z2=1的基数为 _. 12.设 F=(x,y)|x2+y21,E=F )1 ,0(,1sin|),(xxyyx, 则 E 的开核 E=_. 13.记 E 为康托集和有理数集的并集,则mE=_. 14.设函数 f(x)在 0,1上单调, E 是 f(x) 的连续点全体,则mE=_. 15.f(x) 是可测集 E
4、 上的简单函数是指_. 16.函数 f(x) 在区间 a,b上的黎曼可积的充要条件是_. 17.f(x) 与 g(x)在 E 上几乎处处相等是指_. 18.举一个函数列fn(x) 的例子,使得 fn(x) 在 0,)上处处收敛于0,但 fn(x) 在 0,)上不依测度收敛于0,例如 fn(x)=_. 19.区间 a,b上的函数F(x)是 f(x) 的一个不定积分是指_ _. 四、完成下列各题(本大题共4 小题,每小题9 分,共 36 分) 20.设f(x) 是 (- ,+ )上的实值连续函数,证明对于任意常数a,E=x|f(x)a 是开集,而F=x|f(x) a总是闭集 . 21.设 E 是 0,1中的不可测集,令f(x),ExxExx ,问 f(x) 和|f(x)|在 0,1上是否可测?为什么?22.设 f(x) 在 E 上可积分,记en=E|f|n ,证明0limnnmen.