北京科技大学有限元总结

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1、1 北京科技大学20092010 学年硕士研究生“工程中的有限元方法”试题姓名 _ 学号 _班级 _ 成绩 _ 说明： 1-5 题为笔试题，每题10 分。上机题结合实验报告共50 分。1、 简述弹性力学四边形四节点等参元的收敛性质以及由该单元刚度矩阵装配成的总刚度矩阵的性质。在单元分析已经提出有限单元解的收敛性要求, 即, 单元必须是完备的和协调的。对于等参单元: 1. 完备性 : 对于 C0型单元 , 由于等参单元的形函数中包含有常数项和线性项, 满足完备性的要求。2. 协调性 : 由于单元之间的公共边上有完全相同的节点, 同时每一单元沿这些边的坐标和未知函数均采用相同的插值函数加以确定。因

2、此, 只要在划分网格时, 遵守单元选择和节点配置的要求, 则等参单元满足协调性的要求。2. 总刚的性质1）对称性2）奇异性，需引入合适的位移约束。3）稀疏，（存在许多零元素）4）非零元素呈带状分布5)主元恒正根据物理意义可得此性质，正常情况下，主元占优2、 分析图示的两个单元在什么条件下其连接关系正确。要求说明所采用单元的类型和连接方法。采用四边形等参元附加多点约束方程过渡。4 边形 5节点 Serendipity过渡单元约束方程：u6=(u2+u3)/23、对于右图所示三节点网格，设每个节点具有一个自由度。其：最大带宽 = (9-1)*1=8 最大波阵宽 =3 1,2,10 9,2,10 9

3、,2,3 9,8,3 4,8,3 . 4、某非 协调板单元，单元长度为2 2，节点基本未知量为：,(1,2,3,4)Tiiiiwwwiyx在图示的坐标系下，其关于w 的插值函数形式为：其中：4411,11TiiiiiiiiwwwNNwyx，；222 0000i0002 i0000i0i1(+1)(+1) 2(+1)(+1) (1)8(+1) (1)(+1),1,2,3,4iNi式中 :单元构造示意图2 2 1 4 2 3 4 1 2 3 5 10 4 6 7 8 9 3 1 4 8 3 2 6 5 7 10 9 2 试：（ 1）说明此插值函数属于哪一族插值函数？（2）说明此插值函数具有什么基本

4、性质？Hermite族插值函数插值函数及其导函数均具有ij的性质。5、三维实体元如图所示 。根据已知形函 数，写出它们在图示坐标系下是哪个节点形函数 ，依此规律写出节点 7、18 的形 函数形式。22 23 N7=1/64-10+9 （x2+y2 ） （1+x）(1+y)(1-z) N18=9/64(1-x2)(1+9z)(1+x)(1+1/3y) 北京科技大学 20102011 学年硕士研究生“工程中的有限元方法”试题姓名 _学号 _班级 _ 成绩 _ 说明： 17 题为笔试题，共50 分。上机题结合实验报告共50 分。3、 等参元有何特点？在四边形等参元网格的划分中，为什么要保证其内角小于

5、180? （8 分）等参数单元（简称等参元）就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同数目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种新型单元。优点：由于等参变换的采用使等参单元的刚度、质量、阻尼、荷载等特性矩阵的计算仍在前面所表示单元的规则域内进行，因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂，仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。也正因为如此，等参元已成为有限元法中应用最为广泛的单元形式。具有计算精度高和适应性好的特点，是有限元程序中主要采取的单元形式。为了保证等参变换的一一对应性质，应当避免单元一边上的两点退化成一个节点，还要防止单元的任意两边的夹角接近180 度。更不允

6、许夹角等于或大于180 度。2、在图 1 所示的坐标系下，某插值函数形式为：22211116410991164 1+31NN；4101ii ixNQl；，； l x y 图 1 3 其中：试：（ 1）说明此插值函数属于哪一族插值函数？Q1、Q2、Q3、Q4代表什么意义？（4 分）（2）此插值函数具有什么基本性质？（4 分）Hermite插值函数，有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等，有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等，满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式3、构造一个四边形5 节点 Serendipity单元（长度： 22），其中， 5 节点为等距离边内点。要求写出单

7、元的 1 节点和 5 节点所对应的形函数的具体形式。（8 分）已知： 4 结点矩形单元的插值函数：4、三维四面体10 节点元 如图所示。补 全已给形函数中 的下标，以表明 它们在图示坐标系下是哪个节点形 函数。（ 6 分）对于图示的单元，其形函数为：试证明在这样两个单元的公共边上不满足位移协调条件。（6 分）32222 1234231(1)(32 )(1- ) NNlNNl；3 2 1 4 5 123411(1)(1),(1)(1), 44 11(1)(1),(1)(1)44NNNN33242L1 ;4NLNL L3 2 1 4 12342211(1)(1),(1)(1),44 11(1)(1

8、),(1)(1)44 1,1NNNNNN4 1 2 3 9 6 4 5 7 8 5、 对于右图所示四边形4 节点网格，设每个节点具有2 个自由度。网格的最大带宽=_, 最大波阵宽 =_。（ 6分）7、正方形截面的烟囱如图所示，烟囱壁由两层材料构成。内层为隔热材料，外层为钢筋混凝土。内、外层的导热系数不同。假定烟囱内表面的温度为100，烟囱外表面暴露在温度为10的在空气中。烟囱与空气换热系数为h。要求利用对称性画出有限元网格图，并指出在不同的边界面上应当采用什么边界条件？（ 8 分）一、 简要回答下列各题（每小题7分）1）试叙述有限元分析的主要步骤。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域

9、组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总 的满足条件(如结构的 平衡条件）， 从而得到问题的解。2）在选取单元位移函数时，应遵循哪些原则？3）位移形状函数有哪些性质？4）等参元有何特点？5）在四边形单元的划分中，为什么要保证其内角小于180 ? 6）对单元的节点编号时,为什么要使同一单元的节点号差最小？二 、 如 图 所 示 的 结 构 已 划 分 为3个3节 点 三 角 形 单 元 ， 设 各 节 点 的 自 由 度 为1 ， 各 单 元 的刚 度 矩 阵 相 同 ， 先 定 义 每 个 单 元 的 节 点 号 ， 然 后 求 出 结 构 的 刚 度 矩 阵 。

10、 （ 15分 ）单元刚度矩阵为：（e =1，2，3）三 、 对 于 图 示 的 两 单 元 ， 其 位 移 函 为，试 证 明 在 单 元 的 公 共 边 上 不 满 足 位 移 协 调 条 件 。 （ 10分 ）四 、 图 为8节 点 四 边 形 单 元 （ 在 局 部 坐 标 系 中 进 行 分 析 ） ， 先 选 取 适 当 的 位 移 函 数 ， 然后构造出各节 点的形函数。（15分）（已知 拉格朗日一维插值 函数：2点插值3点插值) 五 、 在 对 结 构 进 行 离 散 化 处 理 时 ， 若 单 元 划 分 得 不 合 理 将 会 大 大 降 低 计 算 结 果 的 精 度 ，

11、甚至产生错误的结果。试列举出3 种不合理的单元划分，并指出不合理的原因北京科技大学 20122013 学年硕士研究生5 “工程中的有限元方法”试题一是非题（认为该题正确，在括号中打；该题错误，在括号中打。） ( 每小题 2 分) （ 1）用加权余量法求解微分方程，其权函数V和场函数u的选择没有任何限制。（）（ 2）四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y 的一次函数。（）（ 3）在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。（）（ 4）二维弹性力学问题的有限元法求解，其收敛准则要求试探位移函数C1连续。（）（ 5）有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。（）

12、（ 6）等参单元中Jacobi 行列式的值不能等于零。（）（ 7）在位移型有限元中，单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。（）（ 8）四边形单元的Jacobi 行列式是常数。（）（ 9）利用高斯点的应力进行应力精度的改善时，可以采用与位移插值函数不同结点的形函数进行应力插值。（）（ 10）一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。（）二单项选择题（共 20 分，每小题2 分）1 在 加 权 余 量 法 中 ， 若 简 单 地 利 用 近 似 解 的 试 探 函 数 序 列 作 为 权 函 数 ， 这 类 方 法 称 为_。（A）配点法（B）子域法（C）伽辽金法2 等参变换是指单元坐标变

13、换和函数插值采用_的结点和 _的插值函数。（A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同3 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与_相等。（A）单元结点个数（B）单元结点自由度数（C）场变量个数4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般_。（A）近似解总小于精确解（B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上下震荡（D）没有规律5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m 阶，单元的完备性是指试探函数必须至少是_完全多项式。（A）m-1 次（B）m 次（C） 2m-1 次6 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了_形式，因此，不用进行回代计算。 （A）

14、上三角矩阵（B）下三角矩阵（C）对角矩阵7 对称荷载在对称面上引起的_分量为零。（A）对称应力（ B）反对称应力（C）对称位移（D）反对称位移8 对分析物体划分好单元后，_会对刚度矩阵的半带宽产生影响。（A）单元编号（ B）单元组集次序（C）结点编号9 n 个积分点的高斯积分的精度可达到_阶。（A）n-1 （ B）n（C）2n-1 （ D） 2n10 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵K的_。（A）对称性（B）稀疏性（C）奇异性三简答题 （共 20 分，每题5 分）1、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。2、简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。3、简述有限单元法的收敛性

15、准则。4、考虑下列三种改善应力结果的方法（1）总体应力磨平、（2）单元应力磨平和（3）分片应力磨平，请分别将它们按计算精度（高低）和计算速度（快慢）进行排序。6 四计算题（共 40 分，每题20 分）1、如图 1 所示等腰直角三角形单元，其厚度为t，弹性模量为E，泊松比0 ；单元的边长及结点编号 见图中所示。求(1)形函数矩阵N (2)应变矩阵B和应力矩阵S(3)单元刚度矩阵eK2、图 2（a）所示为正方形薄板，其板厚度为t，四边受到均匀荷载的作用，荷载集度为21/N m，同时在 y方向相应的两顶点处分别承受大小为2/Nm 且沿板厚度方向均匀分布的荷载作用。设薄板材料的弹性模量为E，泊松比0 。试求(1)利用对称性，取图（b）所示 1/ 4 结构作为研究对象，并将其划分为4 个面积大小相等、形状相 同的直角三角形单元。给出可供有限元分析的计算模型（即根据对称性条件，在图（b）中添加适当的约束和荷载，并进行单元编号和结点编号）。(2)设单元结点的局部编号分别为i、 j 、m，为使每个单元刚度矩阵eK相同，试在图（ b）中正确标出每个单元的合理局部编号；并