2011年数学高考题型突破：立体几何

《2011年数学高考题型突破：立体几何》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011年数学高考题型突破：立体几何（162页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第九单元 立体几何,知识体系,第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图,基础梳理,1. 多面体(1)有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.(2)有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.(3)用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥,底面和截面之间的这部分多面体叫做棱台.,2. 旋转 (1)以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.(2)以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体体叫做圆锥. (3)以半圆的直径所在的

2、直线为旋转轴,将半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球.3. 三视图和直观图 (1)三视图是从一个几何体的正前方、正左方、正上方三个不同的方向看这个几何体,描绘出的图形,分别称为正视图、侧视图、俯视图.(2)三视图的排列顺序:先画正视图,俯视图放在正视图的下方,侧视图放在正视图的右方. (3)三视图的三大原则:长对正、高平齐、宽相等.,(4)水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法： 在已知图形中,取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x轴和y轴,两轴相交于O,且使xOy=45(或135),用它们确定的平面表示水平面.已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中,

3、分别画成平行于x轴或y轴的线段. 已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段,在直观图中长度变为原来的一半.,典例分析,题型一 空间几何体的结构特征,【例1】根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称. (1)由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的正六边形,其他各面都是矩形; (2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180形成的封闭曲面所围成的图形; (3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体.,分析 要判断几何体的类型,从各类几何体的结构特征入手，以柱、锥、台的定义为依据，把复杂的几何体分割成几个简单的几何体.,

4、解 (1)如图1所示,该几何体满足有两个面平行,其余六个面都是矩形,可使每相邻两个面的公共边都互相平行,故该几何体是正六棱柱. (2)如图2所示,等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形,每个直角梯形旋转180形成半个圆台,故该几何体为圆台. (3)如图3所示,由梯形ABCD的顶点A引AOCD于O点,将直角梯形分为一个直角三角形AOD和矩形AOCB,绕CD旋转一周形成一个组合体,该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成.图1 图2 图3,学后反思 对于不规则的平面图形绕轴旋转问题,要对原平面图形作适当的分割,再根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征进行判断.,举一反三1. 如图所示，直角梯形ABCD中

5、，ABBC，绕着CD所在直线l旋转，试画出立体图并指出几何体的结构特征.,解析： 如图所示，过A、B分别作 CD， CD，垂足分别为 、 ，则Rt 绕l旋转一周所形成的面围成的几何体是圆锥，直角梯形 绕l旋转一周所形成的面围成的几何体是圆台，Rt 绕l旋转一周所形成的面围成的几何体是圆锥.综上可知，旋转所得的几何体下面是一个圆锥，上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥.,【例2】下列三个命题，其中正确的有( ) 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； 两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.A. 0个

6、 B. 1个 C. 2个 D. 3个,题型二 基本概念与性质,分析 利用棱台的定义和特殊几何体加以说明.,解 中的平面不一定平行于底面，故错； 如图，四条侧棱不一定交于一点，故错，答案选A.,学后反思 在开始学习立体几何时，要学会观察、分析并记住一些特殊的物体或图形，以便于我们做题.反例推证是一种重要的数学方法，望大家熟练掌握.,举一反三,2. 下面是关于四棱柱的四个命题: 若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; 若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; 若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱; 若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱. 其中,真命题的编

7、号是 .,解析: 对于,平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行,故假;对于,两截面的交线平行于侧棱,且垂直于底面,故真;对于,作正四棱柱的两个平行菱形截面,可得满足条件的斜四棱柱,如图1,故假;对于,四棱柱一个对角面的两条对角线恰为四棱柱的对角线,故对角面为矩形,于是侧棱垂直于底面的一对角线,同样侧棱也垂直于底面的另一对角线,故侧棱垂直于底面,故真,如图2.,答案:,题型三 柱、锥、台中的计算问题 【例3】正四棱台的高是17 cm,两底面边长分别是4 cm和16 cm,求棱台的侧棱长和斜高.,分析 求棱台的侧棱长和斜高的关键是找到相关的直角梯形,然后构造直角三角形,解决问题.,解

8、如图所示,设棱台的两底面的中心分别是 、O, 和BC的中点分别是 和E,连接 、 、 、OB、 、OE,则四边形 和 都是直角梯形. =4 cm,AB=16 cm, =2 cm,OE=8 cm, =2 cm,OB=8 cm, =19 cm,棱台的侧棱长为19 cm,斜高为 cm.,学后反思 （1）把空间问题转化为平面问题去解是解决立体几何问题的常用方法. （2）找出相关的直角梯形，构造直角三角形是解题的关键，正棱台中许多元素都可以在直角梯形中求出.,举一反三,3. 一个底面半径和高都是R的圆柱中,挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,得到如图所示的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离

9、等于l并且平行于底面的平面去截它,求所得截面的面积.,解析：轴截面如图所示:,被平行于下底面的平面所截得的圆柱的截面圆的半径 ,设圆锥的截面圆的半径 为x. OA=AB=R, OAB是等腰直角三角形. 又CDOA,则CD=BC, =AC,即x=l.截面面积,题型四 三视图与直观图,【例4】螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体,如下图,画出它的三视图.,分析 螺栓是棱柱、圆柱组合而成的，按照画三视图的三大原则“长对正，高平齐，宽相等”画出.,解 该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的,正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面,侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面,俯视图反映该物体投影后是一个正六边

10、形和一个圆(中心重合).它的三视图如下图:,学后反思 （1）在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线.在三视图中,分界线和可见轮廓线都用实线画出.例如上图中,表示上面圆柱与下面棱柱的分界线是正视图中的线段AB、侧视图中的线段CD以及俯视图中的圆. （2）有些几何体的正视图和侧视图会因观察角度的不同而不同，因此，要注意几何体中所给出的观察角度.,举一反三4. (2008广东)将正三棱柱截去三个角(如图1所示,A、B、C分别是GHI三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图为( ),解析 由正三棱柱的性质得,侧面AED底面EFD,则侧视图必为直角梯形,且

11、线段BE在梯形内部.答案 A,【例5】(12分)用斜二测法画出水平放置的等腰梯形的直观图.,分析 画水平放置的直观图应遵循以下原则: (1)坐标系中xOy=45;(2)横线相等,即AB=AB,CD=CD;(3)竖线是原来的 ,即OE= OE.,画法 (1)如图1,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立直角坐标系,3 画对应的坐标系xOy,使xOy=45.5(2)以O为中点在x轴上取AB=AB,在y轴上取OE= OE,以E为中点画CDx轴,并使CD=CD10(3)连接BC、DA,所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图,如图212图1 图2,学后反思 在原图形中要建立适当

12、的直角坐标系，一般取图形中的某一横线为x轴，对称轴为y轴，或取两垂直的直线为坐标轴，原点可建在图形的某一顶点或对称中心、 中点等.坐标系建得不同，但画法规则不变，关键是画出平面图形中相对应的顶点.,举一反三5. 如图建立坐标系，得到的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( ),解析: 按照斜二测画法的作图规则,对四个选项逐一验证,可知只有选项C符合题意.,答案: C,易错警示,【例】画出如图1所示零件的三视图.,错解 图1的零件可看做是一个半圆柱、一个柱体、一个圆柱的组合,其三视图如图2.图1 图2,错解分析 错误原因是图中各视图都没有画出中间的柱体和圆柱的交线，画图时应画出其交线.,

13、正解,考点演练,10. 多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图所示，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧.正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1,2和4.P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：3；4；5；6；7. 以上结论正确的为.（写出所有正确结论的编号）,解析: 设底面四点分别为A、B、C、D，连接AC、BD，且ACBD=O,B、C、D、O在平面上的射影分别为B、C、D、K,则当点P在点C的位置时，有CC=2OK=3, 所以正确.同理可得、也是正确的.,答案: ,11. 圆台的两底面半径分别为5 cm和10 cm,高为8 cm,有一个过圆台两母

14、线的截面,且上、下底面中心到截面与两底面交线的距离分别为3 cm和6 cm,求截面面积.,解析 如图所示截面ABCD,取AB中点F,CD中点E,连接OF, ，EF, ,OA,则 为直角梯形,ABCD为等腰梯形,EF为梯形ABCD的高,在直角梯形 中,（cm），在Rt 中， （cm）,同理, （cm）,12. 有一块扇形铁皮OAB，AOB=60，OA=72 cm，要剪下来一个扇环形ABCD作圆台形容器的侧面，并在余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形，使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面，如图），试求： （1）AD应取多长？ （2）容器的容积.,解析： (1)如图，设圆台上、下底面半径分别为r

15、、R，AD=x，则OD=72-x.由题意得R=12,r=6,x=36，AD=36 cm.,(2)圆台的高,第二节 空间几何体的表面积与体积,基础梳理,1. 柱体、锥体、台体的侧面积,就是各侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和,即侧面积与底面积之和.2. 把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形,称为它的展开图,它的表面积就是展开图的面积.3. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积,4. 柱、锥、台体的体积这是柱体、锥体、台体统一计算公式,特别地，圆柱、圆锥、圆台还可以分别写成:5. 球的体积及球的表面积设球的半径为R,典例分析,题型一 几何体的表面积问题【例1】已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高.,