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1、北京航空航天大学1 / 27内容提要位矢：ktzjtyitxtrr)()()()(位移：kzj yi xtrttrr)()(一般情况，rr速度：kzjyixk dtdzjdtdyidtdxdtrdtrt0lim加速度：kzjyixk dtzdj dtydi dtxddtrddtdta t222222220lim圆周运动角速度：dtd角加速度：22dtddtd（或用表示角加速度）线加速度：tnaaa法向加速度：22 RRan指向圆心切向加速度：Rdtdat沿切线方向线速率：R弧长：Rs解题参考大学物理是对中学物理的加深和拓展。本章对质点运动的描述相对于中学时更强调其瞬时性、相对性和矢量性，特别是
2、处理问题时微积分的引入，使问题的讨论在空间和时间上更具普遍性。对于本章习题的解答应注意对基本概念和数学方法的掌握。矢量的引入使得对物理量的表述更科学和简洁。注意位矢、位移、速度和加速度定义式的矢量性，清楚圆周运动角位移、角速度和角加速度方向的规定。微积分的应用是难点，应掌握运用微积分解题。这种题型分为两大类，一种是从运动方程出发，通过微分求出质点在任意时刻的位矢、速度或加速度；另一种是已知加速度或速度与时间的关系及初始条件，通过积分求出任意时刻质点的速度、位矢或相互间的关系，注意式子变换过程中合理的运用已知公式进行变量的转换，掌握先分离变量后积分的数学方法。内容提要北京航空航天大学2 / 27
3、动量：mp冲量：21ttdtFI动量定理：21ttdtFpd210ttdtFpp动量守恒定律：若0iiFF，则常矢量iipp力矩：FrM质点的角动量（动量矩）：rmprL角动量定理： dtLdM外力角动量守恒定律：若0外力外力MM，则常矢量iiLL功：rdFdWBAABrdFW一般地BABABAzzzyyyxxxABdzFdyFdxFW动能：2 21mEk动能定理：质点，22 2121 ABABmmW质点系，0kkEEWW内力外力保守力：做功与路程无关的力。保守内力的功：pppEEEW)(12保守内力功能原理：pkEEWW非保守内力外力机械能守恒：若0非保守内力外力WW，则00pkpkEEEE
4、解题参考动量是描述物体运动状态的状态量。质点的动量定理给出质点所受冲量和质点动量变化的关系。冲量是力对时间的累积效果，是过程量，计算冲量大小往往涉及积分运算，具体应用时往往写成分量式形式。动量定理仅适用于惯性系。能量是物体运动状态的函数，功则是物体运动状态变化过程中能量变化的量度，功是力对空间的累积效果，是过程量。动量守恒、机械能守恒和角动量守恒是普遍成立的三个守恒定律，合理运用守恒定律来解决力学问题往往比直接采用牛顿定律解题来的简单，可以回避牛顿定律解题过程中的积北京航空航天大学3 / 27运算。注意守恒定律适用的条件。内容提要转动惯量：离散系统，2 iirmJ连续系统，dmrJ2平行轴定理
5、：2mdJJC刚体定轴转动的角动量：JL刚体定轴转动的转动定律： dtdLJM刚体定轴转动的角动量定理：021LLMdttt力矩的功：MdW力矩的功率：M dtdWP转动动能：221JEk刚体定轴转动的动能定理：2 02 21210JJMd解题参考刚体转动的学习应该注意与牛顿运动定律的比较。刚体定轴转动的转动定律类似于质点运动中的牛顿第二定律。对定轴转动的刚体仍旧适用隔离体分析法，正确分析受力和力矩，分别对转动和平动建立运动方程。应注意方程中所有的力矩、转动惯量、角动量都是相对于同一转轴，这类似于牛顿定律中对同一坐标系建立平动方程。列方程时应注意角量和线量之间的关系，方程组的求解往往需要这个关
6、系。内容提要库仑定律：rerqqF221041电场强度：0qFE带电体的场强：r iie rdqEE2 04北京航空航天大学4 / 27静电场的高斯定理：iSqSdE01静电场的环路定理： LldE0电势： ppl dEV带电体的电势： rdqVVi 04导体静电平衡：电场，1导体内场强处处为零；2导体表面处场强垂直表面电势，1导体是等势体；2导体表面是等势面电介质中的高斯定理：iSqSdD各向同性电介质：EEDr0电容： UQC电容器的能量：22212121CUQUCQW解题参考电场强度和电势是描述静电场的两个主要物理量。需要掌握的有库仑定律、场强叠加原理、高斯定理和环路定理。掌握由场强的叠
7、加原理通过积分求电场强度，注意场强的矢量性。利用高斯定理求场强时，应清楚各个物理量所指代的范围并合理选取高斯面。电势是标量，对带电体总电势的计算往往比电场强度简单，在具体的问题中也可考虑先求电势，然后利用场强与电势梯度的关系求场强。掌握导体静电平衡的条件和静电平衡时的性质。内容提要毕奥 -萨伐尔定律：20 4relIdBdr磁场高斯定理： SSdB0安培环路定理：iIldB0载流长直导线的磁场：)cos(cos 4210 rIB北京航空航天大学5 / 27无限长直导线的磁场： rIB20载流长直螺线管的磁场：)cos(cos 2210nIB无限长直螺线管的磁场：nIB0洛仑兹力：BqF安培力：
8、BlIdFd磁介质中的高斯定理： SSdB0磁介质中的环路定理：iLIl dH各向同性磁介质：HHBr0解题参考恒定磁场涉及毕奥-萨伐尔定律、 磁场的高斯定理、安培环路定理。 应对照静电场部分进行学习，注意两者的区别和雷同。利用毕奥 -萨伐尔定律计算场强时注意对矢量的处理。利用安培环路定理求场强注意适用条件。内容提要法拉第电磁感应定律： dtd动生电动势：l dB)(感生电动势： SkSddtBldE自感：LI， dtdILL自感磁能：221LIWm互感：12MI，dtdIM1 2磁能密度：BHHBwm21 21 2122北京航空航天大学6 / 27解题参考电磁感应的主要内容是法拉第电磁感应定
9、律。根据磁通量变化原因的不同，又分为动生和感生。能够方便计算磁通量时都可直接应用法拉第电磁感应定律计算感应电动势，对于恒定磁场中导体切割磁力线的问题，运用动生电动势公式直接计算比较方便，计算时应注意矢量的处理，积分结果的正负号表示电动势的实际方向与假定方向的一致与否，也可根据楞次定律判断方向。题 7.4：若电荷 Q 均匀地分布在长为L 的细棒上。求证： （1）在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为22 041 LrQE（2）在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为22 0421LrrQE若棒为无限长（即L） ，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较。题 7.4 分析： 这是计算
10、连续分布电荷的电场强度。此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理。但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上。如图所示，在长直线上任意取一线元，其电荷为dq = Qdx/L，它在点P 的电场强度为rrqeE2 0d41d整个带电体在点P 的电场强度EEd接着针对具体问题来处理这个矢量积分。（1）若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同，LiEEd（2）若点 P 在棒的垂直平分线上，则电场强度E 沿 x 轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P 的电场强度就是LLjjEEEdsindy证： （1）延长线上一点P 的电场强度 LrqE2 04d，利用几何关系
11、xrr统一积分变量，则22 00222- 041212141)(d41LrQLrLrLxrLxQELLP电场强度的方向沿x 轴。（3）根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿 y 轴，大小为LrqE2 04dsin北京航空航天大学7 / 27利用几何关系22,sinxrrrr统一积分变量， 则220232222-0412)(d41rLrQrxLxrQELL当棒长 L时，若棒单位长度所带电荷为常量，则P 点电场强度rLrLQrE L 022 024121lim此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同。这说明只要满足122Lr，带电长直细棒可视为无限长带电直线。题 7.5：一半径为
12、R 的半圆细环上均匀分布电荷Q，求环心处的电场强度题 7.5 分析： 在求环心处的电场强度时，不能将带电半圆环视作点电荷。现将其抽象为带电半圆弧线。在弧线上取线元dl，其电荷此电荷元可视为点电荷l RQqdd，它在点O 的电场强度r2 0d41deE rq。因圆环上电荷对y 轴呈对称性分布，电场分布也是轴对称的，则有LE0dx，点 O 的合电场强度jE LEyd，统一积分变量可求得E。解： 由上述分析，点O 的电场强度l RQRE Ldsin412 0O由几何关系ddRl，统一积分变量后，有2 020 0O2dsin 41RQE方向沿 y 轴负方向。题 7.6：用电场强度叠加原理求证：无限大均
13、匀带电板外一点的电场强度大小为02E（提示：把无限大带电平板分解成一个个圆环或一条条细长线，然后进行积分叠加）题 7.6 分析： 求点 P 的电场强度可采用两种方法处理，将无限大平板分别视为由无数同心的细圆环或无数平行细长线元组成，它们的电荷分别为yrrqddd2d或求出它们在轴线上一点P 的电场强度dE 后，再叠加积分， 即可求得点P 的电场强度了。证 1：如图所示，在带电板上取同心细圆环为微元，由于带电平面上同心圆环在点P 激发的电场强度dE 的方向均相同，因而P 处的电场强度iiiEE02322 02322 02)(4d2)(d41d xrrxrxrqx电场强度 E 的方向为带电平板外法
14、线方向。证 2：如图所示，取无限长带电细线为微元，各微元在北京航空航天大学8 / 27点 P 激发的电场强度dE 在 Oxy 平面内且对x 轴对称，因此，电场在y 轴和 z 轴方向上的分量之和，即Ey、Ez均为零，则点P 的电场强度应为iiiE22 0xd2cosdxyyxEE积分得iE02电场强度 E 的方向为带电平板外法线方向。上述讨论表明，虽然微元割取的方法不同，但结果是相同的。题 7.10：设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量。解： 作半径为R 的平面S与半球面S 一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理01d0q SSE
15、这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S的电场强度通量在数值上等于穿出半球面 S的电场强度通量。因而SSSESEdd依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元dS 的方向，ERRE22cos题 7.13： 设在半径为R 的球体内，其电荷为对称分布，电荷体密度为RrRrkr00k 为一常量。试用高斯定理求电场强度E 与 r 的函数关系。解： 因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定律VSd1d0SE得球体内)0(Rr400202d414)(rkrrkrrrErrkrreE024)(球体外（ rR）400202d414)(RkrrkrrrERrrkRreE2 044)(
16、题 7.14：一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为，在平板中部有一半径为r 的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为x 的一点 P 的电场强度。题 7.14 分析： 用补偿法求解利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场。本题的电场分布虽然不具有这样的对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加，求北京航空航天大学9 / 27出电场的分布。若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成、挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷（电荷面密度）的圆盘。这样中心轴线上的电场强度等效于平板和圆盘各自独立在该处激发的电场的矢量和。解： 在带电平面附近n012eEne为沿平面外法线的单位矢量；圆盘激发的电场n220212eE rxx它们的合电场强度为n220212eEEE rxx。在圆孔中心处x = 0，则E = 0 在距离圆孔较远时xr，则n 0n2202112eeE xr上述结果表明，在xr 时。带电平板上小圆孔对电场分布的影响可以忽略不计。题 7.15：一无限长、半径为R 的圆柱体上电荷均匀分布。圆柱体单位长度的电荷为，用高斯
