国培数的扩充史(张顺燕)

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1、1 数的扩充史 数是文明开化的不可或缺的工具，用以将人类活动纳入一定的秩序。戴维斯 半亩方塘一鉴开，天光云影共徘徊。问渠那得清如许，为有源头活水来。朱熹 前言 为了了解我们所生存的物质世界和生命世界，数是不可缺少的工具。对数学理论和应用的理解是从对数的理论和应用的理解开始的。中庸上说过这样的话： 物有本末，事有终始，知所先后，则近道矣。数是我们学习和研究数学的开始，因而我们的讲座就以对数的认识作为出发点。要 了解数的本质， 必须抛弃静观的方法， 从人类认识数的历史发展上寻求动态的解答。 如果我们能够更好地把握数的发展史，我们就能在每个发现或发明的源头发现伟大的智力。 数的扩充史展现了数的丰富性

2、和深刻性。从数的扩充史中我们学到两种思维方式：收敛性思维与分散性思维。 收敛性思维是将精力集中到对独一无二的答案的寻找上； 分散性思维在于打破旧框架，对传统问题给出新的解答。 扩充、继承与创新是任何一门科学发展的必由之路。数的扩充也不例外。“ 由整数走向分数，由正数走向负数，由实数走向虚数，” 这是扩充。在扩充的同时，我们希望“ 整数的性质分数也有，正数的性质负数也有，实数的性质虚数也有” ，这是继承。 当由复数扩充到四元数时，我们不得不牺牲乘法的交换律，这是创新。 追溯数的历史不是一种单纯的回顾，而是一种新的综合，新的创造活动，以求达到 对数的更深刻的理解。1 数问 先问几个问题。1关于数有

3、几种知识？答曰：两种知识。在学习数的基本性质和概念时，有两种知 识是基本的：一个是正确理解概念，一个是要会算。 概念知识：就是正确理解数的概念的问题，其中还包括，数系的基本性质，数系 的结构，以及这些数系与它们所反映的现实对象之间的关系。通过学习，要能够用 符号、语言、图象表示、描述、和解释数量的性质和结构。程序知识：就是如何算的问题，即依照怎样的程序去计算。计算是学好数的一个基 本功，要能用心算、笔算、计算器和计算机完成精确计算或近似计算。但我们不能 只停留在一些常规的可预见的计算问题上，应该灵活地、有创造性地使用数，并具备组织、操作和解释数量信息的能力。 2数有什么用？数的用途包含三个方面

4、：计数与测量、排序、编码。 计数与测量。计数与测量是数的最基本的功能，而四则运算直接与计数与测2 量的对象和目的相关。这是从小学就要努力学习的东西。 排序。对某集合的元素进行排序，如运动员得奖的名次，世界富豪排行榜等。对排 序进行运算也是没有意义的。编码。在由许多对象构成的集合中，为每一个对象编一个不同的号码，以便识别。 例如，为篮球运动员编号。我们现在处于信息社会，数有了一种全新的功能，就是对一切信息进行编码。数的这个新功能大大地拓广了数学研究和应用的领域，并产 生了一系列数学化的新领域。对这样的编号进行运算也是没有意义的。 3十进位制是谁发明的？十进位制的诞生是数学史上的一个伟大事件。从发

5、掘出来的材料来看，我国在五，六千年以前新石器晚期的出土陶器上就有了表示数字的各 种符号，其中已含有十进位的雏形了。相当完善的十进位制出现在距今三四千年的殷商甲骨文和稍后的钟鼎文中。而且有了“ 十” ，“ 百” ，“ 千“ ，“ 万” 等表示位置的特殊 文字。这些事实说明， 中国是使用十进位最早的国家。这是一件了不起的伟大事件， 是数系发展过程中的第一个里程碑。在谈到十进制的伟大意义时，拉普拉斯说：“ 用十个记号来表示一切数，每个记号不但有绝对值， 而且有位置的值这种巧妙的方 法出自印度（这一点他错了！）。这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简

6、单性以及对一切计算都提供 了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的文明中列在首位；而当我们想到它竟 逃过了古代最伟大的两个人物阿基米得和阿波罗尼的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了。” 但是，并不是一切文明都是采用十进位制的。巴比伦人采用60进位制，罗马人采用12进位制，玛雅人采用 20进位制。 进位制也随着科学的进步而发展，例如，计算机诞生后，二进位获得了新的应用。4数概念的进展有几个主要阶段？从简单到复杂，数系的发展可以分为七个主要阶 段。它们是 1）正整数系：仅由正整数组成的数系；2）整数系：由正的和负的整数和0组成的数系； 3）有理数系：由整数和分数组成； 4）实数系； 5）复

7、数系； 6）四元数、八元数等；7）超限数：处理无限集合的记数问题。从逻辑和教学的观点看，这种划分是次序井然的，但是从历史上看却不是这样。数的历史发展的大体顺序是自然数，分数，无理数，零，负数，虚数（复数）四元数、 超限数。数的每一次扩张都引发了深层次的思考,也都留下了悬而未决的新问题. 2 关键进展1 新的语言。当有人提出一个普遍性的问题时，科学和哲学就诞生了。最先表现 出这种好奇心的是希腊人。他们开始考虑物质的本质和构成。 关于基本元素，泰勒斯以为是水，阿那克西曼德以为是气，赫拉克里特以为是火。留基伯提出了原子论的基本概念。这是希腊人对物理学的一大贡献。 而毕达哥拉斯却走向了完全不同的道路：

8、他不是用原子论，而是用数来解释。3 他的第一个伟大发现是，音调的高低依赖于振动弦的长度。不是这个发现本身，而 是对这个发现的解释对哲学和数学思想的未来方向具有决定性的意义。如果在音调 的和谐中发现的美可以还原为一种简单的数的比例的话，那么正是数向我们揭示了宇宙秩序的基本结构。这样，希腊人沿着抽象之梯，从一个具体实例走上了更高的 境界” 万物皆数也 ” 。这里的数，并不是我们现在理解的实数，而是有理数。 由此，毕氏学派的思想家们就把数设想为一种无所不包的真正普遍的要素。数的用 途不再局限在某一特殊的领域之内，而是扩展到了存在的全部领域。这样，毕达哥拉斯及其信徒们发现了一种新的语言数的语言，用以表

9、达自然的结构和规律。 这个发现标志着近代科学概念的诞生。2无理数的诞生。 在数的概念的发展史上， 毕达哥拉斯学派的一大成就是发现了“ 无 理数” 。起初，他们直觉地认为，任何两个线段一定有一个公共度量,也就是说，给 定任何两个线段，一定能找到第三个线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍 .由此可以得到结论，任何两个线段的比都是整数比，即比是有理数。当 他们发现存在某些线段的比不是有理数时，例如，正方形的对角线和边长的比就不是有理数，他们受到极大地震动。因为这与他们的哲学信仰“ 万物皆（有理）数 也” 相抵触。据说，发现者希帕索斯被抛进了大海。这就爆发了第一次数学危机。数 学基础的第

10、一次危机是数学史上的一个里程碑。它的产生和克服都有重要的意义。2 顺便指出，“ 无理” 是从希腊语中翻译过来的单词，它的意思是 “ 不可测量 ” ， 而不是 “ 丧 失理性 ” 。第一次数学危机表明，希腊的数学已经发展到这样的阶段，数学已由经验科学变为 演绎科学。 希腊数学家是最早的“ 纯粹” 数学家。希腊数学家与其他古代的数学家的重要差别是，希腊数学家明确区分精确结果与近似结果，而当时的其他文化并不区分这种差别。 希腊人对精确性的兴趣不仅影响了他们研究数学的方法，也影响了他们的研究内容。而正是这种兴趣，才促使他们作出了古代数学最为深刻的发现之一。 无理数的发现暗示了存在一个更大、更复杂的数系

11、。 令人惊讶的是， 直到 19世纪末， 数学家才给出无理数的严格定义。3. 0的发现。人类很早就发现了自然数，但是0的发现却晚得多，岂不怪哉！这项贡 献应该归功于印度人。 他们承认 0是一个数， 而不仅仅表示空位或一无所有。到公元7世纪，印度数学家婆罗摩笈普塔 （约598年生）对0的运算有了较完整的叙述。但是， 欧洲到 1500年左右， 0才被接受作为一个数。4负数的引入。在中国，负数的概念出现的很早。在九章算术（公元前1世纪） 的方程章里已经提出了正、负数的不同表示法和正、负数的加减法则。印度人认识 负数也比欧洲人要早得多。虽然负数通过阿拉伯人的著作传到了欧洲，但16世纪和17世纪欧洲的大多

12、数数学家并不承认它是数，也不认为它们是方程的根。一些数学 家把负数称为荒谬的数。例如著名数学家巴斯卡认为，从0减去4纯粹是胡说。 负数的引进为什么如此困难？。 因为这是由具体数学走向形式化数学的第一次转折。 完全掌握这种转折要求有高度的抽象能力。柯朗说：“ 人类先天倾向于抱住具体不放， 例如对待自然数那样，这说明为什么迈出不可避免的一步是如此4 缓慢。事实证明只有在抽象的范畴内才能创造出合理的算术系统。” 从古代概念到现代概念的过渡是艰难而缓慢的.令人难以置信的是 ,完全理解负数所 经历的时间比发明微积分的时间还要长. 0和负数的引入大大扩大了数的范围，形成了更大的数系 整数系，从而带来更大

13、的自由。5数与代数方程。为了理解有理数以外的数是如何发现的,我们需要考虑数与代数 方程的关系 .从下面的例子中我们可以清楚地看到这一点。下列方程的解提供了不同 种类的数：正整数；1,01=- xx 负整数；,2,02-=+ xx 有理数 ; 23032-=+ xx 无理数；,2,022=- xx 复数。,1,0222ixxx-=+ 可见，代数方程与构成它的解的数是密切相关的，它们共同演化，相互促进。 上面这些方程的系数都是有理数，我们称这样的方程为有理代数方程。6复数。欧洲人还没有完全克服无理数和负数带来的困难时，又晕头晕脑地陷入复 数的问题。 复数是由数学问题本身求代数方程的根 的解决而产生

14、的 . 与负数相比，复数的诞生引起了更大的怀疑。他们问：这些新数的含义是什么？莱 布尼兹发过这样的妙论：“ 圣灵在分析的奇观中，找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的端兆，那个介于存在与不存在之间的两栖物，那个我们称之为虚的的平方 根” 。甚至到了 19世纪，一些著名的数学家还在怀疑。例如，英国数学家德.摩根写 道：“ 我们证明了没有意义，或者自相矛盾和荒唐的。但是正是通过这样的符号，我们建立了一部分大有用武之地的代数”1- a- 正是复数的大量用途和几何表示巩固了复数的地位。复数的例子告诉我们数学的发展有两个途径：一是来自实践，二是出自数学的内部需求。 从十九世纪开始，物理学家发现了复数在物

15、理上的应用。复数开始进入静电学，流 体力学，气体动力学，甚至量子力学之中。当今理论物理和工程学的许多著作都是 用复数的语言来撰写的。 复数与代数基本定理。代数学的主要目的曾经是多项式的求根问题。虽然这一问题在现代数学中已不占主导地位，但它的重要性仍然是无庸置疑的。一个重要的事实 是，代数基本定理依赖于复数的发现。 代数基本定理 .任意一个次数的复系数多项式1 nfxxaxannn()=+- 11恰有个按重数计算的复数根。n 换言之，复数域是代数封闭的。C5 有了代数基本定理 ,我们就可以断言，一元n次多项式在复数域中有个根，从而它分 解成一次因式的连乘积,即fx()nfxxxxxxxn()()

16、()()=-12这里,实数或复数，它们都是多项式的根. xxxn12,7四元数的诞生。四元数是哈密尔顿（18051865）的伟大创造。他花了好几年 的时间深思这样一个事实：复数的乘法可简单地解释为平面的一个旋转，这个概念能否推广？能否发明一类新的数，并定义一类新的乘法，使之能表示三维空间的旋 转？经过长时间的努力之后，他发现必须作出两个让步：1）新数包含 4个分量； 2）必须放弃乘法交换律。 四元数对代数学有不可估量的重要性。一旦数学家认识到，他们可以构造一个有意义的“ 数” 系，它可以不具有实数或复数运算的某些性质，那他们就可以进行更自由 的创造。数的发展并没有到此停止。在四元数之前，还有代数数和超越数的发现，在四元数 之后，还有超限数的发现。除了发现新数以外，数学家还需要给出数系的公理化。 这对整个数学的发展具有重大意义。8实数的定义。克莱因说：“ 数学史上最令人惊奇的事实之一，是实数系的逻辑基 础竟迟至十九世纪后叶才建立起来” 。 从有理数到实数的跨越是数的扩张中最艰难