北京大学平时习题

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1、量 子 力 学 习 题（三年级用）北 京 大 学 物 理 学 院二O O 三 年1 第一章绪论1、计算下列情况的Brogliede波长，指出那种情况要用量子力学处理：（1）能量为eV.0250的慢中子克2410671.n；被铀吸收；（2）能量为aMeV的5粒子穿过原子克2410646.a；（3）飞行速度为 100 米/秒，质量为 40 克的子弹。2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？3、利用Brogliede关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量可能值。2 第二章波函数与波动力学1、设为常数aAexxa22 21

2、（1）求归一化常数（2）.?p?,xx2、求ikrikrerer11 21和的几率流密度。3、若,BeeAkxkx求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结论？（其中k为实数）4、一维运动的粒子处于000xxAxexx的状态，其中,0求归一化系数 A 和粒子动量的几率分布函数。5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证0其中/ j6、一维自由运动粒子，在0t时，波函数为x,x 0求：?) t ,x(23 第三章一维定态问题1、粒子处于位场0000 0 0VxVxV中，求： E0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动）2、一粒子在一维势场0000xaxxV)x(中运动

3、。（1）求粒子的能级和对应的波函数；（2）若粒子处于)x(n态，证明：,/ax2. naxx222261123、若在 x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为如 DSASBDSASC22211211这即“出射”波和“入射”波之间的关系，4 证明：011222112112 222 212 122 11SSSSSSSS这表明 S 是么正矩阵4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数axVaxxVX00005、求粒子在下列位场中运动的能级021022xxx VX6、粒子以动能 E 入射，受到双势垒作用)ax()x(VVx0求反射几率和透射几率，以及发生完全透射的条件。7、质量为 m的粒

4、子处于一维谐振子势场)(1xV的基态，0212 1kkxV)x(（1）若弹性系数k突然变为k2，即势场变为5 2 2kxV)X(随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场2V 基态几率；（2）势场1V突然变成2V后，不进行测量， 经过一段时间后，势场又恢复成1V，问取什么值时，粒子仍恢复到原来1V场的基态。8、设一维谐振子处于基态，求它的22 xp,x，并验证测不准关系。6 第四章量子力学中的力学量1、若)z,y,x(zyxVpppH222 21证明：, xViP,Hx,pix,Hx2、设q)q(f ,ip,q是的可微函数，证明（1）,ihpf)q(fp,q22（2）;fp i)q(fp,p22

5、3、证明0B?,A? ,C?A?,C? ,B?C?,B? ,A?4、如果，BA?,?是厄密算符（1）证明B?,A?i ,B?A?n 是厄密算符；（2）求出B?A?是厄密算符的条件。5、证明：A?,L?,L?,L? !,A?,L?,L? !A?,L?AeA?eL?L 31216、如果B,A与它们的对易子B?,A?都对易，证明B?,A?BA?B?Aeee21（提示，考虑,eee)(fB?A?B?A?证明fB,Addf然后积分）7 7、设是一小量，算符1A?A?和存在，求证1112121111A?B?A?B?A?A?A?B?A?A?)B?A?(8、如niu是能量nE的本征函数（为简并指标i） ，证明

6、0dxuxpxpunjxxni从而证明：ijnjxnidxupui29、一维谐振子处在基态2 2122/xa /eax求： （1）势能的平均值;XmA22 21（2）动能的平均值;m/PTx22（3）动量的几率分布函数其中ma10、若证明,iLLLyx(1) L?L?,L?z022L?,L?L?,L?(2) 11lmlmYCYL?12lmlmYCYL?(3) L?L?L?L?L?L?yx212211、设粒子处于),(Ylm状态，利用上题结果求22 yxl,l12、利用力学量的平均值随时间的变化，求证一维自由运动的2X随时间的变8 化为：2220000221212tPpxXpXPXXx txXX

7、t（注：自由粒子2 xxP,P与时间无关）。9 第五章变量可分离型的波动方程1、求三维各向异性的谐振子的波函数和能级。2、对于球方位势0 00rV arrV试给出有0ln个的束缚态条件。3、设氢原子处于状态,YrR,YrR,r112110212321求氢原子能量，角动量平方和角动量分量的可能值，以及这些可能值出现的几率和这些力学量的平均量。4、证明rrr ,1212r ,2 215、设氢原子处于基态，求电子处于经典力学不允许区域0TVE的几率。6、设022B,A,r /ABrrV其中，求粒子的能量本征值。7、设粒子在半径为a，高为h的园筒中运动，在筒内位能为0，筒壁和筒外位10 能为无穷大，求

8、粒子的能量本征值和本征函数。8、碱金属原子和类碱金属原子的最外层电子在原子实电场中运动，原子实电场近似地可用下面的电势表示：2rAreZ r其中，eZ表示原子实的电荷，0A，证明，电子在原子实电场中的能量为222412lnlnzeE而l为l的函数，讨论l何时较小，求出l小时，nlE公式，并讨论能级的简并度。9、粒子作一维运动，其哈密顿量xxVmpH220的能级为)( nE0，试用HellmannFeynm en定理，求mPHHx 0的能级nE。10、设有两个一维势阱xVxV21若粒子在两势阱中都存在束缚能级，分别为2121,nE,Enn（1）证明nnEE21（提示：令211VVx,V（2）若粒

9、子的势场bxKXbxKb)X(V222121中运动，试估计其束缚能总数的上、下限11 11、证明在规范变换下A? cqP?P?j21A? cqP?不变。12、计算氢原子中PD23的三条塞曼线的波长。13带电粒子在外磁场B,B00中运动，如选02121,xB,yBA?或),xB,(A00试求其本征函数和本征值，并对结果进行讨论。14、设带电粒子在相互垂直的均匀电场E 及均匀磁场 B 中运动，求其能谱和波函数（取磁场方向为Z 轴方向，电场方向为X 轴方向） 。12 第六章量子力学的矩阵形式及表象理论1、列出下列波函数在动量表象中的表示（1）一维谐振子基态：tixaeat ,x22 2122（2）氢

10、原子基态：tEiarne at ,r2 0 312、求一维无限深位阱 （0 x a）中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。3、求在动量表象中角动量xL?的矩阵表示。4、在（zl ,l2）表象中，求1l的空间中的xL?的可能值及相应几率。5、设)r (VpH22 ，试用纯矩阵的方法，证明下列求和规则nnmmnxEE222（提示：求X,X,H,X,H然后求矩阵元mX,X,Hm）6、若矩阵 A，B，C 满足iACBBC, ICBA2222（1）证明：0CAACBAAB；（2）在 A 表象中，求 B 和 C 矩阵表示。7、设),x(VpHx 22 分别写出x表象和xP表象中xp, x及H的矩阵表示。

11、8、在正交基矢21,和3展开的态空间中， 某力学量 010100002aA求13 在态321212121中测量 A 的可能值，几率和平均值。14 第七章 自旋1、设为常数，证明sinicoseziz。2、若,iyx21证明023、 在z表象中，求n的本征态，cos,sinsin,consinn是),(方向的单位矢。4、 证明恒等式：BAiBABA其中B,A都与对易。5、已知原子c12的电子填布为22 02 0221j)p() s()s(，试给出（1）简并度；（2）给出jj耦合的组态形式；（3）给出LS耦合的组态形式；6、 电子 的 磁 矩算 符Sele002， 电子 处于zj ,j ,l22的

12、本 征 态jjml中，求磁矩。jmjjzjjjmlml7、对于自旋为21的体系，求yxS?S?的本征值和本征态，在具有较小的本征值所相应的态中，测量 2zs ?的几率是多大？8、自旋为21的体系，在0t时处于本征值为2/的xS的本征态，将其置于BB00的磁场中，求t时刻，测量xS取2/的几率。9、某个自旋为21/的体系，磁矩00t ,时，处于均匀磁场0B中，0B15 指向Z方向，0t时，再加上一个旋转磁场) t (B1，其方向和Z轴垂直。201102122e ?tsinBe ?tcosB) t (B其中c/B000已知0t时，体系处于2/sz的本征态21/，求0t时，体系的自旋波函数，以及自旋

13、反向所需要的时间。10、 有 三 个 全 同 粒 子 ， 可 以 处 于321,三 个 单 粒 子 态 上 ， 当1213213211n,n;nnn;n三种情形下的对称或反对称波函数如何写？11、两个全同费米子体系处于一个二维方势阱中，假设两粒子间无相互作用，求体系最低两上能级的能量和波函数。00000y,Lyx,LxLy,LxV)y,x(12、设有两个全同粒子，处于一维谐振子势中，彼此间还有与相互距离成正比的作用力，即位能为021212 212 32 121k,a,)xx(a)xx(k)x,x(V求体系的能量本征值及本征函数，按波函数的交换对称性分别讨论之。16 第八章量子力学中的近似方法一

14、、定态微扰论1、设一体系未受微扰作用时只有两个能级：01E及02E现在受到微扰H?的作用，微扰矩阵元为b,a,bHH, aHH22112112都是实数，用微扰公式求能量至二级修正值。2、一个一维线性谐振子受一恒力作用，设力的方向沿x方向：（1）用微扰法求能量至二级修正；（2）求能量的精确值，并与（1）所得结果比较。3、设在0H表象中，H矩阵表示为)()()(EbabEaE0 30 20 100试用微扰论求能量的二级修正。4、设自由粒子在长度为L的一维区域中运动，波函数满足周期性边条件)L()L(22波函数的形式可取为21022200,nLnkkxsinL,kxcosL)()(设粒子还受到一个“

15、陷阱”的作用LaeVHa/x )x(2201试用简并微扰论计算能量一级修正。5、一体系在无微扰时有两条能级，其中一条是二重简并的，在0H表象中17 )()()()()(EEEEE0 20 10 20 10 1000000在计及微扰后，哈密顿量为)()()(EbabEaE0 20 10 100（1）用微扰论求H本征值，准到二级近似；（2）把H严格对角化，求H的精确本征值，然后进行比较。二 变分法1、试用变分法求一维谐振子的基态波函数和能量（试探波函数取2xe，为特定参数）。2、设氢原子的基态试探波函数取为2)a/r(Ne)r ,(22e/aN为归一化常数，为变分参数，求基态能量，并与精确解比较。

16、3、粒子在一维势场中运动0)x(V（当)V,x)x(0，试证明：至少存在一个束缚态,E0取试探波函数。2 4122/xe)x,(三、量子跃迁1、氢原子处于基态，受到脉冲电场作用00) t () t (是常数18 试用微扰论计算电子跃迁到各激发态的几率以及仍停留在基态的几率。2、具有电荷q的离子，在其平衡位置附近作一维简谐运动。在光的照射下发生跃迁，入射光能量密度分布为)(，波长较长，求（1）跃迁选择定则；（2）设离原来处于基态，求跃迁到第一激发态的几率。3、设把处于基态的氢原子放在平板电容器中，取平板法线方向为Z 轴方向，电场沿 Z 轴方向可视为均匀，设电容器突然充电，然后放电，电势随时间变化为0000tet ) t (/t（为常数）求充分长的时间之后，氢原子跃迁到S2态及p2态的几率。4、有一自旋2/，磁矩，电荷为零的粒子，置于磁场B中，开始时)B,(BB,t00000， 粒子处于z?的本征态)(0 1， 即01。tz时，再加上沿x方向较弱的磁场),B(B001从而)B,B(BBB01100，求0t时，粒子的自旋