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1、1 二次根式的复习与提高二次根式的定义和概念： 1、定义：一般地，形如 （a0 ）的代数式叫做二次根式。当a0 时， 表示 a 的算术平方根当a小于 0 时，非二次根式（在一元二次方程中， 若根号下为负数， 则无实数根） 2、概念：式子 （a0 ）叫二次根式。 （a0 ）是一个非负数。 二次根式 的简单性质和几何意义 1） 、a0 ; 0 双重非负性 2） 、 （）2=a （a0 ）任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式 3) 、c=a2+b2 表示直角三角形内，斜边等于两直角边的平方和的根号，即勾 股定理推论。 二次根式的性质和最简二次根式（a）2=a（a0 ） ；2a=a=(0)0(0
2、)(0)a aaa a；1） 、 不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2 、 3 、 a（a0 ） 、 x+y 等； 2） 、含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4 、9 、a2 、 （x+y）2、 x2+2xy+y2等 3） 、最终结果分母不含根号。 二次根式的乘法和除法 1.积的算数平方根的性质：ab=ab（a0 ，b0 ） 2. 乘法法则： a b=ab（a0 ，b0 ） 二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这 两个因式积的算术平方根。 3.除法法则： a b=ab（a0 ，b0） 二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算数平方根的商，
3、等于这两 个数商的算数平方根。 4.有理化根式。 如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根 式,也称有理化因式。 二次根式的加法和减法 1、同类二次根式 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同， 就把 这几个二次根式叫做同类二次根式。 2、合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 3、二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同 的进行合并。 二次根式的混合运算 1、确定运算顺序 2、灵活运用运算定律2 3、正确使用乘法公式 4、大多数分母有理化要及时 5、在有些简便运算中也许可
4、以约分，不要盲目有理化 分母有理化 分母有理化有两种方法 1、 分母是单项式：如 : a/ b=a b/ b b=ab/b 2、分母是多项式 要利用平方差公式：如1/ ab=ab/( ab)( ab)=ab/a b 如图注意： 1.根式中不能含有分母2.分母中不能含有根式。考点指南 考点 1：二次根式的有关概念 （一）考点解读1、二次根式的定义：式子a（a0 ）叫做二次根式 . 2、二次根式的性质：（1）2 aa（a0 ） 、2aa；（2）abab（a0 ， b0 ） ，abab（a0 ， b0） . 3、最简二次根式：符合条件（ 1）被开方式中不含有开得尽方的数或因式， （?2） 被开方式中
5、不含有分母，符合以上两个条件的二次根式叫最简二次根式. 4、同类二次根式： 化成最简二次根式后， ?被开方式相同的二次根式叫做同类二 次根式 . 5、分母有理化： （1）互为有理化因式： ?两个带有二次根式的代数式相乘不再含有二次根式，则这两个代数式叫做互为有理化因式，常见的有理化因式有：a与a，a+b与 ab，a+b与ab，ma+nb与 manb； （2）分母有理化：把分母中的根号化去过程，叫做分母有理化，?方法是在分子分母 上同乘以分母的有理化因式. （二）考题解密例 1 化简777 . 例 2 如果最简二次根式83a与a217是同类二次根式，则a_. 例 3 已知 2x5，化简2(2)x
6、+2(5)x_. （三）同步训练3 1,要使二次根式26x有意义， x 应满足的条件是（）A. x 3 B. x3 C. x3 D. x 32，根式23的值是（） A.3 B.3 或3 C.3 D.9 3，若 a与3是同类根式，则a可能是（）A.3 B.0.3C.9D.12考点 2：二次根式的运算 （一）考点解读 1，二次根式的运算： （1）加减运算：化成同类二次根式后，再合并同类二次根式；（2）乘除运算：按abab，abab运算，再化成最简二次根式. 2，充分利用 a2 a（a0 ） ；ab(a+b)(a-b)（a0 ，b0 ）. （二）考题解密例 4 计算82的结果是（）A.6B.2 C.
7、2D.1.4 例 5 下列计算中，正确的是（）A.23+425B. 2733 C. 33 3236D.2( 3)3 例 6 下列计算正确的是（）A.16 4 B.32221 C. 2464 D.2362 （三）同步训练 4，化简：1(232) 235，下列计算正确的是（）A .822B. 2 71 2941 34 C.(25)(25)1D .6232 26.计算0)15(282218考点 3：化简求值 （一） 考点解读：与二次根式有关的求值问题通常情况下都是先通过化简代数 式，然后将含有二次根式的字母的值代入求值. 例 7 化简求值：211121222xxxxxx，其中 x2. 分析先将已知的
8、代数式化简，然后再将x2代入化简后的代数式求值. 解：211121222xxxxxx211)1)(1(2)1(2xxxxxx21112)1(2xxxx2121xxx2xx. 当 x2时，原式12 )22)(22()22(2222. （二）同步训练9、已知 x2+1，求xxxxxxx112122的值. 考点 4：探索规律 （一）考点解读 所谓探索规律就是要通过由特殊推广到一般，并经过大胆地猜想、归纳和验证， 从而获得正确的结果 .在历年中考中都会出现一些有关二次根式的规律探索型问5 题，复习时应加以注意 . （二）考题解密例 8 用计算器计算：1999，1999999，1999999999，请你
9、猜测9n9n99991999999个个个n的结果为 . 分析：先利用计算器求出部分式子的结果，再从中探索结果的规律， 进而可以猜 想其一般规律的结果 . 解：由计算器计算，得1999 10101，1999999 100102，19999999991000103，由此可以猜想9n9n99991999999个个个n00100个n10n.故应填上00100个n或 10n. （三）同步训练10，观察分析下列数据，寻找规律：,23 ,15,32, 3 ,6,3,0那么第 10 个数据应是. 例题讲解二次根式的意义和性质1、若 y=5x+x5+2009，则 x+y= 2、若式子132x有意义，则 x 的取
10、值范围是 _3、实数 a，b，c，如图所示，化简2aa b+2()bc=_oc1-1ba4、将根号外的 a移到根号内，得( )B A. ；B. ；C. ；D. 5、已知 0b0，a+b=6ab，则abab的值为（）A22B2 C2D12二次根式的化简与求值（1）先化简，再求值：11()babba ab，其中 a=512，b=512（2）观察下列分母有理化的计算：11121,32,43 213243，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：111(2 0 0 6 21322 0 0 62 0 0 5+1）=_对于题目 “ 化简求值：1a+2 212aa，其中 a=15” ，甲、乙两个学生的解答
11、不同 甲的解答是：1 a+2 212aa=1 a+21()aa=1 a+1 aa=2495aa7 乙的解答是：1a+2 212aa=1a+21()aa=1a+a1a=a=15谁的解答是错误的？为什么？因此乙的解答是错误的二次根式的应用 1、在实数范围内分解因式。（1）；（2）2、比较数值的大小（放进根式里、平方）（1）；（2）（3）的整数部分是 _，小数部分是 _。解题思路：因为是无理数，即无限不循环小数，所以把分成整数部分 a和小数部分b，其中 a 是小于且最靠近的整数，而，这样就可以从中先求出 a，再求出 b。解：，即，即又是无限不循环小数。的整数部分是 2，小数部分是。（4）规律性问题
12、观察下列各式及其验证过程：， 验证：；验证：. （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4415的变形结果， 并进行验证；8 （2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n2 ，且 n 是整数 )表示的等式，并给 出验证过程 . 强化练习1、若11xx2()xy，则 xy 的值为（）2、若22340abc，则cba3、化简：21(3)aa4、实数 a，b 在数轴上的位置，化简222()abab1-1baO5、已知 ab0，a+b=6ab，则abab的值为（）A22B2 C2D126已知实数 x，y 满足 x2+y24x2y+5=0，则32xyyx的值为 _ 7.计算：121+3（36）+
13、88. 已知 x=2+1，求（22121xxxxxx）1x的值9、已知，则 a _ 发展：已知，则 a_ 9 中考中的二次根式试题1 已知|1|80ab，则ab2 若2(3)3aa，则a与 3 的大小关系是 ( ) A3aB3aC3aD3a3 下列计算正确的是（）A336 B330 C339 D(3)23 4 函数 yx231x中自变量 x 的取值范围是（）Ax2 Bx3 C x2 且 x3 Dx2 且 x35 使11x在实数范围内有意义的x 应满足的条件是6 下列函数中，自变量x的取值范围是x3 的是（ ）（A）31xy （B）31xy（C）3xy（D）3xy7（1）有这样一个问题：2与下列
14、哪些数相乘，结果是有理数？A3 2B22C23D 23E0问题的答案是（只需填字母） ：；（2）如果一个数与2相乘的结果是有理数， 则这个数的一般形式是什么 （用代数式 表示）. 注：每填对一个得1 分，每填错一个扣1 分，但本小题总分最少0 分8 函数2yx的自变量x的取值范围是（）A2xB2xC2xD2x9 化简：188= 10 10 若xmnymn，则xy的值是（）A2 mB2nCmnDmn11 计算32 的结果是（）A9 B9C3 D312 下列根式中不是最简二次根式的是（） A A 2B 6C 8D1013 要使式子1xx有意义，x的取值范围是（）D A1xB0xC10xx且D10x
15、x - 且14 在函数21yx中，自变量 x 的取值范围是- 15 下列计算正确的是：（）A822B321C325D2 3616 式子1x在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A x1Bx1 Cx1D x117 在实数范围内，x有意义，则 x 的取值范围是（）Ax 0 Bx 0 Cx 0 Dx 0 18 函数12y x中，自变量x的取值范围是19 函数1xyx中，自变量x的取值范围是 _ 20 当 x_时，二次根式4x有意义下列根式中，不是最简二次根式的是（）A7B3C12D221 函数21yx中自变量x的取值范围是（）11 A12x B12x C12x D12x 22 二次根式2( 3)的值是（）A3B3或3C9D323化简：2)23(_ _ 28x24、当 x时，二次根式12x有意义25 函数12y x的自变量x的取值范
