第五届科教文决赛第二试题答案

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1、决赛第二试题1 答案：600 千米分析：如图所求，设小镇为 D 点，傍晚到达点，F 为 AB 的中点。A D F C E B上午比下午多走 100 千米，可知 BC= 5021ABE= 350631BC另一方面，AD= （ ）= （ AB50）= 而 DE=400，所以FA2123506ABAE=AD+DE= 40356B此外，BE=ABAE=AB（ ）40356所以， （ ）A0（千米）46，B方法点睛：本题来实际，只要画一个简图，清楚地确定各段路程的比例关系，就能得到一个简单的方程。2答案：a，53 个星期日，1、4、7、12 月b，52 个星期日，3、6、9、12 月分析：（a）1995

2、 年 1 月 1 日是星期日，1995 年全年有 365 天，每 7 天有且仅有一个星期日。752=364，因此，从 1995 年 1 月 2 日到 1995 年 12 月 31 日，这 364 天中有 52 个星期日，加上 1995 年 1 月 1 日这个星期日，共是 53 个星期日。最少的月有 28 天，最大的月是 31 天，因此无论哪个月都最少有 4 个星期日，最多有 5 个星期日 53=1245，因此，1995 年中有五个星期日。分别是1，4，7，10，12 月。（b）1995 年 1 月 1 日是星期日，经过 364 天后，1995 年 12 月 31 日也是星期日。所以 1996

3、年 1 月 1 日是星期一。1996 年是闰年，2 月有 29 天，经过 264 天后，1996年 12 月 30 日是星期一，所以 1996 年全年共有 52 个星期日，全年只有四个月是五个星期日。分别是 3，6，9，12 月。方法点睛：本题是一道开放性的题目，要正确回答这一题，必须知道 1995 年 1 月1 日是星期日，如果不知道，也应知考试的那一天是几月几日，星期几，反推出 1995年 1 月 1 日是星期日。另外，还必须知道每七天中一定有且只有一个星期日，这是每一位小学高年级同学都应该知道的常识。3分析：解法一 在第一张纸上写下甲、乙两班男、女生对垒的号数；在第二张纸上写下乙、丙两班

4、男、女生对垒的号数；在第三张纸上写下甲、丙两班男、女生对垒的号数；若第三张纸上有某号 A，则甲 A 与丙 A 异性，不妨设甲 A 为男，丙 A 为女。如果 A 号不出现在第一张纸上，则乙 A 为男，与丙 A 异性，A 号一定出现在第二张纸上。所以第三张纸上出现的号数必出现在第一张纸或第二张纸上，第三张纸上号数的个数一定少一于第一张纸与第二张纸上出现的号数的个数之和，即不多于 24。若第一张纸与第二张纸没有相同的号数出现。当 B 号出现在第一张纸上，则甲 B与乙 B 异性，而 B 号没有出现在第二张纸上，所以乙 B 与丙 B 同性，因而甲 B 与丙 B 异性，所以 B 号一定出现在三张纸上。同理

5、当 C 号出现在第二张纸上，而不出现在第一张纸上时，C 号也一定出现在第三张纸上。所以第三张纸上出现的号数正好是第一张纸和第二张纸上的号数的全体，而有 24 个号数。解法二 在第一张纸上写下甲、乙两班男、女生对垒的编号；在第二张纸上写下乙、丙两班男、女生对垒的编号；在第三张纸上写下甲、丙班男、女生对垒的编号；在第一、二两张纸上都没有出现的号，不会出现在第三张纸上。因为在第一张纸上没有出现，说明甲、乙两班这个编号的两人性别相同；在第二张纸上没出现，说明乙、丙两班这个编号的两人性别也相同，所以甲、丙两班这个编号的两个性别相同，故这个号不会出现在第三张纸上。因为第一、二两张纸上一共有 159=24（

6、个）数字，所以第三张纸上最多有 24 个数字，即甲、丙两班男、女对垒的台数不会超过 24。要想等于 24，只有第一、二两张纸上没有重复数字，即甲、乙两班和乙、丙两班男、女对垒的编号各不相同。方法点睛：这是一道简单的有关集合逻辑推理题。第一张纸的号数为集合 U ，第1二张纸为 U ，第三张纸为 U 。23要证明 U U 1U 2，就要证明：任一 U 3中的元素 A ，必定是 U 或 U 中的元3 12素。要证明 U =U U 。就要证明 U U U 。我们的证明就是上述数学语言的形象12表述。考试中有些同学能证明这道题，掌握了这样的逻辑思维方法。在以上叙述上记号 称为包含： 称为并。U U 表示

7、 U 与 U 的并，它也是1212一个集合，即在 U 或 U 中出现的数的全体所形成的集合。 U U U 表示 U3 包含在12 3U U 2之内，即凡在 U 内的数，必定在 U 1U 2之内。134答案：259980分析：用十进制表示的若干个四位数之和的加法原理为：若干个四位数之和=千位数数字之和1000百位数数字之和100 十位数数字之和10个位数数字之和以 1、2、3、4 中之一个数字为千位数，且满足题设条件的四位数有 432=24个。这是因为，当千位数确定后，百位数可以在其余 4 个数字中选择；千、百位数确定后，十位数可以在其余 3 个数字中选择 ；同理个位数有两种可能。因此，满足条件

8、的四位数的千位数数字之和为（1234）432=240。以 1，2，3，4 中之一个数为百位数时，因为 0 不能作为千位数，所以，千位数也有 3 种选择；十位数也有 3 种选择（加上 0） ；个位数有 2 种选择。因此，百位数数之和=（1234 ）18=180 完全类似，十位数数字之和，个位数数字之和也都是 180。所以满足条件的四位数之和=2401000180（110100）=259980方法点睛：数的加法通常都是列式计算。但这样计算的原理，是基于十进制数的表示方法，如 181=11008101。掌握了这一基本原理，计算这一题就没有什么困难了。所以学好数学不仅要掌握方法，还需要了解这样的方法所

9、用到的原理。5答案：18，25分析：第一步，估计全园人数的最大值。因为小班人数少于中班 27 人，最多为 26 人。所以大班最多为 32 人。全园人数最多为 262732=85 人。第二步，计算中班每人分得的橘子数。假如大班每人拿出一个橘子，小班每人多分一个橘子，全园小朋友每人分得橘子一样多，还余 6 个。因此19中班每人分得橘子数= 6148502全 园 人 数橘 子 总 数所以中班每人分得橘子数只可能是 15，16，17，18。橘子总数的个位数是 7， （橘子总数6）的个位数是 1，所以（全园人数中班每个分得橘子数）的个位数是 1。因此，中班分得的橘子数不能是 15，16，18，只能是17

10、。第三步，计算全园人数。全园人数= 。731650217橘 子 总 数再由（全园人数17）的个位数是 1，和 85全园人数73，可知全园人数第四步，计算小班人数。大班人数小班人数=8327=56大班人数小班人数=6所以小班人数= =25265方法二 由题意可知，大班人数在 2832 人之间，设中班每人分 个橘子，则大x班每人分（ 1）个橘子，小班每人分（ 1）个橘子。各班人数及橘子数如下表xx因为每人分 19 个不够 ，所以 小于 19。又因为橘子数不少于 5025=1250 个，所以，xx不少于（12506）85= 14 。即 在 15 至 18 之间。再由橘子总数的个位数字是8547。只有

11、上表第种情况，当 =17 时满足题目条件，所以大班每人分 18 个橘子，小班有25 人。方法点睛：本题求解就是对几个整数进行估计。所用到的知识只是自然数的有序序号 大班人数 中班人数 小班人数 橘子总数 28 27 22 77 6 29 27 23 79 6x 30 27 24 81 6 31 27 25 83 6 32 27 26 85 6性、乘法表和最简单的和差问题解法。从解法来看，条件“每箱不超过 60 个”并没有用上，因此是多余的，但并不与其它条件矛盾。在实际生活中，所测试或调查到的信息有可能比较多，解决问题时并不一定全部用上，但只在这些信息是正确的，一定不会推出矛盾。如果推出矛盾，那

12、么一定有某些信息不是真的。数学中的反证法就是假定一条信息为真，推出与已知正确的定理或事实矛盾，从而否定假定信息的真实性。如果“每箱不超过 60 个”的假定保留，而去掉“每人分 19 个，则橘子数不够 ”的假定，问题也是可解，且答案完全一样。那么请小朋友考虑，在保留“每箱不超过60 个的假定时，还可以去掉哪一条假定，问题有同样的解呢？6答案 ：55 种分析：我们采用递推的方法。（）如果圆上只有 3 个点；那幺只有一种连法。（）如果圆上有 6 个点，我们以 A 为基点，考虑 A1 点可能所在的三角形，1再计算其它点可以连成多少个满足条件的三角形。由于要求所得三角形的边不能相交，除 A 点所在三角形

13、的三顶点外，剩下的三个点一定只能在 A 所在三角形1 1的一条边所对应的圆弧上。表 1 给出这时有可能的连法。 （见图）A 所在三角形1余下点数 种数A 323 1A 6513 1A 323 1共有三种连法。（）如果圆上不 9 个点，考虑 A1 可能所在的三角形。此时，其余的 6 个点可能分布在A 所在三角形的一个边所对的弧上；也可能三个点在一个边所1对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上。在下表 2 中用“”号分开表示它们分布在不同的边所对的弧。如果是情形，则由（II） ，这六个点有三种连法；如果是情形，则由（II） ，每三个点都只有一种连法（见图）共有 12 种连法。（）最后考虑圆周上有

14、12 个点。同样考虑 A 可能所在三角形，剩下 9 个点的1分布有三种可能，每三个点在一个 A 1A 所在三角形1余下点数 种数A 326 3A 6133 1A 926 3A 65133 1A 933 1A 81 6 3所在三角形的边对应的弧上；有 6 个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上；9 个点都有在同一段弧上。应用（I） 、 （II ）和（III ）的讨论，分别计算出 、种情况的连法，得到下表，下表用“”号分开，表示点分布在不同的弧上。 （见图）A 所在三角形1 余下点数 种数A 32 9 12A 61 36 3A 9263 3A 19 12A 6536 3A 91 333 1A 25 36 3A 981 36 3A 12863 3A 9 12共有 55 种。方法点睛：这是一种递推方法。先从最简单的入手；再讨论次简单的情况；最后讨论复杂的情况，将次简单的情况分解成若干个最简单的情况；而复杂的情况分解成若干个最简单、次简单的情况。这样就能解决复杂的情况和问题。