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1、北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,第九章 压杆稳定,9-1 压杆稳定的概念 9-2 两端铰支细长压杆的临界压力 9-3 其他支座条件下细长压杆的临界压力 9-4 欧拉公式的适用范围 9-5 压杆的稳定校核,第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为,例如:一长为300mm的钢板尺,横截面尺寸为 20mm 1 mm.钢的许用应力为=196MPa.按强度条件计算得钢板尺所能承受的轴向压力为,F = A = 3.92 kN,实际上,其承载能力并不取决于轴向压缩的抗压强度,而是与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时,钢板尺就突然发明显的弯曲变形,丧失了承载能力.,工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却
2、不一定能安全可靠地工作。,9-1 压杆稳定的概念,压杆的稳定平衡与不稳定平衡：,9-1 压杆稳定的概念,轴压,压弯,恢复,直线平衡,曲线平衡,直线平衡,压弯,失稳,曲线平衡,曲线平衡,F Fcr :在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲平衡构形，扰动除去后，不能恢复到直线平衡构形，则称原来的直线平衡构形是不稳定的。,轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态；,轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯一的 平衡状态,9-1 压杆稳定的概念,在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲平衡构形，扰动除去后，不能恢复到直线平衡构形的过程，称为失稳或屈曲。,失稳（屈曲）：,临界荷载,受压杆件由直线平衡状
3、态过渡到弯曲平衡状态的最小荷载值。,Fcr：压杆失稳时的最小值；保持稳定的最大值,M(x)=Fcrw,当x=0时，,w=0。,得：B=0，,令,（+）,9-2 两端绞支细长压杆的临界压力,又当x=l时，,w=0。,得 Asin kl = 0,要使上式成立，,1）A=0,代表了压杆的直线平衡状态。,2） sin kl = 0,此时A可以不为零。,9-2 两端绞支细长压杆的临界压力,失稳的条件是：,理想中心压杆的欧拉临界压力,9-2 两端绞支细长压杆的临界压力,在确定的约束条件下，欧拉临界力Fcr：,2）是压杆的自身的一种力学性质指标，反映,承载能力的强弱，,3）与外部轴向压力的大小无关。,材料的
4、E越大，,截面越粗，,临界力Fcr越高；,临界力Fcr越高，,承载能力越强；,9-2 两端绞支细长压杆的临界压力,0.5l,支承情况,两端铰支,一端固定另端铰支,两端固定,一端固定另端自由,两端固定但可沿横向相对移动,失稳时挠曲线形状,Fcr,A,B,l,临界力Fcr欧拉公式,长度系数,=1,0.7,=0.5,=2,=1,Fcr,A,B,l,A,B,l,C,C,D,C 挠曲线拐点,C、D 挠曲线拐点,0.5l,Fcr,Fcr,l,2l,l,C 挠曲线拐点,9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力,细长压杆临界力的欧拉公式的统一形式,其中，压杆长度系数l压杆的相当长度。,9-3 其它支座条件下细
5、长压杆的临界压力,两端铰支, = 1,一端固定，另一端铰支, = 0.7,两端固定, = 0.5,一端固定，另一端自由, = 2,z,y,x,取 Iy ，Iz 中小的一个计算临界力.,若杆端在各个方向的约束情况不同，应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力. I 为其相应中性轴的惯性矩.,即分别用 Iy ，Iz 计算出两个临界压力. 然后取小的一个作为压杆的临界压力.,讨论：横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I,若杆端在各个方向的约束情况相同则 I 应取最小的形心主惯性矩.,9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力,例1：图示细长圆截面连杆，长度 ，直径 ,材 料为Q235钢，E200GPa.试
6、计算连杆的临界载荷 Fcr .,解：1、细长压杆的临界载荷,2、从强度分析,例题2 已知一内燃机、空气压缩机的连杆为细长压杆.截面形状为工字钢形，惯性矩Iz=6.510 4 mm4,Iy=3.810 4 mm4，弹性模量E=2.110 5 MPa.试计算临界力Fcr.,9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力,两端铰支,两端固支,（1）杆件在两个方向的约束情况不同；,（2）计算出两个临界压力. 最后取小的一个作为压杆的临界压力.,分析思路：,9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力,解：,所以连杆的临界压力为134.6kN.,xOy面：约束情况为两端铰支m=1，I=Iz，l=1m,xOz面：约
7、束情况为两端固定m=0.5，I=Iy，l=0.88m,9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力,一、 欧拉公式的应用范围,1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。,3.柔度：,2.细长压杆的临界应力：,9-4 欧拉公式的应用范围经验公式,4.欧拉公式的应用条件：,二、中小柔度杆的临界应力计算与临界应力总图,直线型经验公式,PS时：,9-4 欧拉公式的应用范围经验公式,粗短杆,中长杆,细长杆,细长杆发生弹性屈曲 (p) 中长杆发生弹塑性屈曲 (s p) 粗短杆不发生屈曲，而发生 屈服 ( y ，所以压杆绕 z 轴先失稳，且 z =115 1，用欧拉公式计算临界力.,9-4 欧拉公式的
8、应用范围经验公式,1.稳定性条件,2.计算步骤,（1）计算最大的柔度系数max； （2）根据max 选择公式计算临界应力；,（3）根据稳定性条件，判断压杆的稳定性或确定许可载荷.,9-5 压杆的稳定校核,例题4 活塞杆由45号钢制成，s = 350MPa ， p = 280MPaE=210GPa. 长度 l = 703mm ，直径 d=45mm. 最大压力Fmax = 41.6kN. 规定稳定安全系数为 nst = 8-10 . 试校核其稳定性.,活塞杆两端简化成铰支,解：, = 1,截面为圆形,不能用欧拉公式计算临界压力.,9-5 压杆的稳定校核,如用直线公式，需查表得：,a= 461MPa
9、,b= 2.568 MPa,临界压力是,活塞的工作安全因数,所以满足稳定性要求.,9-5 压杆的稳定校核,例题5 AB的直径 d=40mm，长 l=800mm，两端可视为铰支. 材料为Q235钢，弹性模量 E = 200GPa. 比例极限p =200MPa，屈服极限 s=240MPa，由AB杆的稳定条件求F. （若用直线式 a = 304 MPa， b =1.12 MPa ）,9-5 压杆的稳定校核,解：取 BC 研究,FN,9-5 压杆的稳定校核,用直线公式,F =118kN,不能用欧拉公式,9-5 压杆的稳定校核,例6 图示结构，、杆材料、长度相同，已知：Q=90kN, E=200Gpa, l=0.8m, P=99.3, s=57, 经验公式cr=304-1.12 (MPa), nst=3。校核结构的稳定性。,解：、杆受力：,杆的稳定性：,杆的稳定性：,满足稳定要求,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,作业：课后 4, 15 讲义： 例4和例6,考试时间： 4月16日 第十 周周一,平衡状态,应力,平衡方程,极限承载能力,直线平衡状态不变,平衡形式发生变化,达到限值,小于限值 sss,变形前的形状、尺寸,变形后的形状、尺寸,实验确定,理论分析计算,强度问题,稳定问题,压杆,9-1 压杆稳定的概念,
