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1、线性方程与非线性方程的概述与运用,问题背景和研究目的,解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，也是众多应用领域中不可避免的问题之一。,求解一般非线性方程没有通用的解析方法，但如果 在任意给定的精度下，能够解出方程的近似解，则 可以认为问题已能够解决，至少可以满足实际需要。,本节主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：二分法，迭代法 （ 牛顿法）。同时要求大家学会如何利用Matlab 来求方程的近似解。,2.6 非线性方程近似根,相关概念,如果 f(x) 是一次多项式，称上面的方程为线性方程； 否则称之为非线性方程。,线性方程 与 非线性方程,问题：如何求连续的非线性方程 实根的近似值。,根的隔
2、离,若函数 f(x) 在闭区间a,b上连续，且 f(a)f(b)0，则 f(x)在开区间 (a,b)内至少存在一个根。通过根的隔离，可假设此区间内存在唯一根 x*。,基本思想,二分法,将隔离区间进行对分，判断出解在某个子区间内，然后再对该子区间对分，依次类推，直到满足给定的精度为止。,算法,二分法,设方程在区间 a,b 内连续，且 f(a)f(b)0，给定精度要求 ，若有 |f(x)| syms x f=sin(x)+3*x2; g=diff(f,x), g=diff(sin(x)+3*x2,x),作业,每题分别用两种一步迭代法（要求写出迭代格式）： 1） Newton迭代法； 2）自己构造的
3、非牛顿切线或割线法迭代格式（需讨论收敛性）根据迭代格式用计算机（器）求下列非线性方程的根：,迭代法的加速,设迭代 xk+1 = (xk) ，第 k 步和第 k+1 步得到的近似根分别为 xk 和 (xk) ，令,其中 wk 称为加权系数或权重。得新迭代 xk+1 = (xk),松弛迭代法,松弛法迭代公式：,松弛法具有较好的加速效果，甚至有些不收敛的迭代格式，通过加速后也能收敛。,缺点：每次迭代都需计算导数,Altken 迭代法,Altken迭代法,用 差商 近似 微商,设 x* 是方程的根，则由微分中值定理可得,Altken 迭代法,Altken迭代公式,k = 0, 1, 2, . .,Altken 法同样具有较好的加速效果,
