三角函数的学习

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1、定义锐角三角函数在直角三角形ABC中， a、b、c 分别是 A、B、C的对边，C为直角 。则定义以下运算方式：sin A= A的对边 长/ 斜边 长， sin A记为A的正弦；cos A=A的邻边长 / 斜边长， cos A 记为A的余弦；tan A= A的对边长 / A的邻边长， tan A记为A的正切；当A为锐角 时 sin A 、cos A 、 tan A统称为“锐角三角函数”。常见三角函数在平面直角坐标系xOy中， 从点 O引出一条射线OP ， 设旋转角 为 ， 设 OP=r，P点的坐标为 (x,y) 。在这个直角三角形中，y是 的对边，x是 的邻边，r是斜边，则可定义以下六种运算方法

2、：基本函数英文表达式语言描述正弦函数Sine sin=y/r 角 的对边比斜边余弦函数Cosine cos =x/r 角 的邻边比斜边正切函数Tangent tan =y/x 角 的对边比邻边余切函数Cotangent cot=x/y 角 的邻边比对边正割函数Secant sec =r/x 角 的斜边比邻边余割函数Cosecant csc =r/y 角 的斜边比对边在初高中教学中，主要研究正弦 、余弦 、正切三种函数。注： tan 、cot 曾被写作tg 、ctg ，现已不用这种写法。sin /3 非常见三角函数除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数，这些运算已趋于淘汰：函数名与常见

3、函数转化关系正矢函数versin =1-cos余矢函数covers =1-sin 半正矢函数havers =(1-cos ) 半余矢函数hacovers =(1-sin ) 外正割函数exsec=sec-1 外余割函数excsc=csc-1 单位圆定义六个三角函数也可以依据半径为1 中心为原点的单位圆 来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 /2 弧度 之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，三角函数单位圆的 方程 是： x+y=1 图像

4、中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角 ，而顺时针的度量是负角 。设一个过 原点 的线，同x 轴正半部分得到一个角，并与单位圆相交。这个交点的x 和y 坐标分别等于cos 和 sin 。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sin = y/1 和 cos = x/1 。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1 的一种查看无限个三角形的方式。对于大于 2 或小于等于2 的角度， 可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下， 正弦和余弦变成了周期为 2 的周期函数 ：对于任何角度和任何 整数k。周期函数的 最小正周期 叫做这个函数的“基本周

5、期 ”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2 弧度或360；正切或余切的基本周期是半圆，也就是 弧度或180。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。其他四个三角函数的定义在正切函数的图像中，在角k 附近变化缓慢，而在接近角 ( k + 1/2)的时候变化迅速。正切函数的图像在 = (k + 1/2) 有垂直渐近线。这是因为在 从左侧接进 ( k + 1/2) 的时候函数接近正无穷，而从右侧接近 ( k + 1/2) 的时候函数接近负无穷。另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为O 的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别三角函数是，对于

6、这个圆的弦AB ，这里的 是对向角的一半，sin 是 AC （半弦），这是印度的阿耶波多 介入的定义。 cos 是水平距离OC ，versin =1-cos 是 CD 。tan 是通过A 的切线的线段AE 的长度，所以这个函数才叫正切。cot 是另一个切线段AF。 sec =OE 和 csc =OF 是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作OA 沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE 是 exsec = sec -1 （正割在圆外的部分）。通过这些构造， 容易看出正割和正切函数在 接近/2 的时候发散， 而余割和余切在 接近零的时候发散。三角函数线依据单位圆定义，三角函数线我们可以

7、做三个有向线段 （向量 ）来表示正弦、余弦、正切的值。如图所示，圆O是一个单位圆，P是 的终边 与单位圆上的交点，M点是 P在 x 轴的 投影 ，S(1,0) 是圆 O与 x 轴正半轴 的交点，过S点做圆 O的切线 l 。那么向量MP对应的就是 的正弦值 ，向量 OM对应的就是余弦值。OP的延长线（或反向延长线）与l的交点为T，则向量 ST 对应的就是 正切值 。向量的起止点不能颠倒 ，因为其方向是有意义的。借助线三角函数线，我们可以观察到第二象限角 的正弦值为正，余弦值为负，正切值为负。编辑本段 起源“三角学”，英文Trigonometry，法文 Trigonometrie，德文Trigon

8、ometrie，都来自拉丁文Trigonometria。现代三角学一词最初见于希腊文。最先使用Trigonometry这个词的是皮蒂斯楚斯( Bartholomeo Pitiscus,1516-1613)，他在 1595 年出版一本著作三角学: 解三角学的简明处理，创造了这个新词。它是由( 三角学 ) 及 ( 测量 ) 两字构成的，原意为三角形的测量，或者说解三角形。古希腊文里没有这个字，原因是当时三角学还没有形成一门独立的科学，而是依附于天文学。因此解三角形构成了古代三角学的实用基础。早期的解三角形是因天文观测的需要而引起的。还在很早的时候，由于垦殖和畜牧的需要，人们就开始作长途迁移；后来，

9、贸易的发展和求知的欲望，又推动他们去长途旅行。在当时，这种迁移和旅行是一种冒险的行动。人们穿越无边无际、荒无人烟的草地和原始森林，或者经水路沿着海岸线作长途航行，无论是那种方式，都首先要明确方向。那时，人们白天拿太阳作路标，夜里则以星星为指路灯。太阳和星星给长期跋山涉水的商队指出了正确的道路，也给那些沿着遥远的异域海岸航行的人指出了正确方向。就这样，最初的以太阳和星星为目标的天文观测，以及为这种观测服务的原始的三角测量就应运而生了。因此可以说，三角学是紧密地同天文学相联系而迈出自己发展史的第一步的。三角学问题的提出三角函数三角学理论的基础，是对三角形各元素之间相依关系的认识。一般认为，这一认识

10、最早是由希腊天文学家获得的。当时，希腊天文学家为了正确地测量天体的位置。研究天体的运行轨道，力求把天文学发展成为一门以精确的观测和正确的计算为基础之具有定量分析的科学。他们给自己提出的第一个任务是解直角三角形，因为进行天文观测时，人与星球以及大地的位置关系，通常是以直角三角形边角之间的关系反映出来的。在很早以前，希腊天文学家从天文观测的经验中获得了这样一个认识：星球距地面的高度是可以通过人观测星球时所采用的角度来反映的( 如图一 ) ；角度(ABC)越大，星球距地面(AC) 就越高。然而，星球的高度与人观测的角度之间在数量上究竟怎么样呢？能不能把各种不同的角度所反映的星球的高度都一一算出来呢

11、?这就是天文学向数学提出的第一个课题制造弦表。所谓弦表，就是在保持AB不变的情况下可以供查阅的表 ( 如图二 ) ，AC的长度与ABC的大小之间的对应关系。独立三角学的产生虽然后期的阿拉伯数学家已经开始对三角学进行专门的整理和研究，他们的工作也可以算作是使三角学从天文学中独立出来的表现，但是严格地说，他们并没有创立起一门独立的三角学。真正把三角学作为数学的一个独立学科加以系统叙述的，是德国数学家雷基奥蒙坦纳斯。雷基奥蒙坦纳斯是十五世纪最有声望的德国数学家约翰?谬勒的笔名。他生于哥尼斯堡，年轻时就积极从事欧洲文艺复兴时期作品的收集和翻译工作，并热心出版古希腊和阿拉伯著作。因此对阿拉伯数学家们在三

12、角方面的工作比较了解。三角函数1464 年，他以雷基奥蒙坦纳斯的名字发表了论各种三角形。在书中，他把以往散见在各种书上的三角学知识，系统地综合了起来，成了三角学在数学上的一个分支。现代三角学的确认直到十八世纪，所有的三角量：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，都始终被认为是已知圆内与同一条弧有关的某些线段，即三角学是以几何的面貌表现出来的，这也可以说是三角学的古典面貌。三角学的现代特征，是把三角量看作为函数，即看作为是一种与角相对应的函数值。这方面的工作是由欧拉作出的。1748 年，尤拉发表著名的无穷小分析引论一书，指出：”三角函数是一种函数线与圆半径的比值”。具体地说，任意一个角的三角函数，

13、都可以认为是以这个角的顶点为圆心，以某定长为半径作圆，由角的一边与圆周的交点P向另一边作垂线PM后，所得的线段OP 、OM 、MP(即函数线 ) 相互之间所取的比值( 如图八 ) ，sin MP/OP ，cosOM/OP ，tan MP/OM等。若令半径为单位长，那么所有的六个三角函数又可大为简化。尤拉的这个定义是极其科学的，它使三角学从静态地只是研究三角形解法的狭隘天地中解脱了出来，使它有可能去反映运动和变化的过程，从而使三角学成为一门具有现代特征的分析性学科。正如欧拉所说，引进三角函数以后，原来意义下的正弦等三角量，都可以脱离几何图形去进行自由的运算。一切三角关系式也将很容易地从三角函数的

14、定义出发直接得出。这样，就使得从希帕克起许多数学家为之奋斗而得出的三角关系式，有了坚实的理论依据，而且大大地丰富了。严格地说，这时才是三角学的真正确立。“正弦”的由来公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献。尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了。三角学中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表。三角函数我们已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的。印度数学家不同，他们把半弦(AC) 与全弦所对弧的一半 (AD) 相对应，即

15、将AC与AOC对应 ( 如图五 ) ，这样，他们造出的就不再是”全弦表”，而是”正弦表”了。印度人称连结弧(AB) 的两端的弦 (AB) 为”吉瓦”，是弓弦的意思；称AB的一半 (AC) 为”阿尔哈吉瓦”。后来”吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为”弯曲”、”凹处”，阿拉伯语是”dschaib ”。十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了”sinus ”。三角学输入我国，开始于明崇祯4 年(1631 年) ，这一年，邓玉函、汤若望和徐光启合编大测，作为历书的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学。在大测中，首先将sinus 译为”正半弦”，简称”正弦”，这就成了正弦一词的由来。“

16、弦表”问世根据现在的认识，弦表的制作似应该是由一系列不同的角出发，去作一系列直角三角形，然后一一量出AC，AC ，AC , 之间的距离。然而，第一张弦表制作者希腊文学家希帕克 (Hipparchus， 约前 180前 125)不是这样作，他采用的是在同一个固定的圆内，去计算给定度数的圆弧AB所对应的弦AB的长 ( 如图三 ) 。这就是说，希帕克是靠计算，而不是靠工具量出弦长来制表的，这正是他的卓越之处。希帕克的原著早已失传，现在我们所知关于希帕克在三角学上的成就，是从公元二世纪希腊著名天文学家托勒密的遗著天文集中得到的。虽然托勒密说他的这些成就出自希帕克，但事实上不少是他自己的创造。据托勒密书中记载，为了度量圆弧与弦长，他们采用了巴比伦人的60进位法。把圆周360 等分，把它的半径60