12师院国培：2数学学科特点与学童认知特点的关系及其应用

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1、数学学科特点与学童认知特点的关系及其应用,李东宁 随江淮才俊 参于龙山,教材教法变化的周期短，基层适应磨合的周期长。 怎么办？,数学学科特点与学童认知特点的关系分析,提纲挈领，分析、判断、解决教学中纷繁多变的问题,一、问题,单击添加标题文字内容,小学数学教学 有没有相对稳定的规律？,二、要素：,数学学科特点与学童认知特点 的关系,数学与学童,接受学习 与探究学习,继承与创新,提高教学质量与 减轻过重学习负担,知识技能 与三维目标,预设与生成,共同要求 与因材施教,教师作用 与学生地位,双击添加标题文字,1、数学与学童的关系是小学生数学学习的基本关系,认知主、客体的特征之间的关系,2、抓认知主、

2、客体的特点，把握二者错综复杂的关系,数学学科特点,儿童认知特点,3、数学学科特点与儿童认知特点的对立统一关系,具体抽象；,儿童,个别一般；,已知未知,数学,三、应用：,固本清源，提纲挈领， 分析、判断、改善 纷繁多变的教学状况,意象（图景，表象）：从具体到抽象的中介 连贯全过程的动态意象 格式塔（完形）与意象的建构效度 具体与抽象的相对性、可变性 例习题情境信息的冗余度与呈现时序 多媒体与土教（学）具 学具和图示的辅助性 此过程教师的引导行为问题讨论,1、具体抽象, 意象（图景，表象）是从具体到抽象的关键中介,讨论 1. 苏教版 引入和建构乘法概念，意象支撑的生长意义分析,观察：引入和建构乘法

3、概念中，意象支撑且同步生长的进程,乘法概念引入建构中，意象支撑且同步生长的进程分析,乘法概念引入建构中，意象支撑且同步生长的意义,乘法概念引入建构中，意象支撑且同步生长的意义,讨论 乘法概念引入建构中，意象支撑且同步生长的意义,数学化过程中，为了发展儿童的抽象概括能力， 既要提供合乎儿童经验的具体支撑， 又要层次有序地、在可能范围内将其逐渐升华。 如 建立乘法概念 运算算理与算法的关系 所谓 算理具体 算法抽象,讨论 2. 北师版 鸡兔同笼问题 连贯的抽象过程的动态意象,讨论 过程连贯的动态意象,格式塔（完形）与意象的建构效度,讨论3 人教版 9加几1、格式塔（完形）： 原型的选择与意象的建构

4、效度 2、案例研究 ： 关键环节的直观性教学的展开结构,格式塔（完形）与意象的建构效度 讨论 20以内的进位加的不同图式的支撑强度,讨论 20以内的进位加的不同图式的支撑强度,讨论：（结合以上案例）,数学内容的意（表）象的建构过程中，核心是什么？ 变或不变的数学要素 能够直观甚至动态的凸显在学生脑海。,讨论4、具体与抽象是相对的、可变的 小插曲: 关于质数与合数概念的教材比较,北师版,苏教版,讨论5 人教版 运用两步计算知识解决实际问题 例题情境信息的冗余度 及其 呈现时序,例题情境信息的冗余度与呈现时序,情境及其呈现过程应该成为学生由此及彼、由表及里、由浅入深进行学习活动的有效依托。 不宜过

5、繁过杂 呈现信息的方式和顺序，要有利于全班学生获取数学信息，发现、分析数量关系。 有序、有节奏地适时呈现,讨论6 多媒体与土教（学）具 案例：认识正方体 附：人民教育出版社 高级小学课本算术第二册 1956年5月第三版P.P.54-55，,人民教育出版社高级小学课本算术第二册1956年5月第三版P.P.54-55,“把正方体放在纸上，沿着它的一个面的四周画四条直线，结果就在纸上画出了正方体这一面的图形。 拿尺子和三角板把这图形的各条边和各个角量一量，再把正方体的每一面放在这个图形上看看。结果怎样？ （图略）,“在正方体的每一面上写一个数字，从1开始，顺次写1、2、3最后写的是什么数字？一个正方

6、体有几个面？ （图略） “正方体有6个面； “所有的面都是正方形，而且大小都相等。”,人民教育出版社高级小学课本算术第二册1956年5月第三版P.P.54-55,讨论7、 把握学具和图示的辅助性,利用教具演示、学具操作、线段图，是教学的辅助策略。不得本末倒置，人为拔高教学要求。 数学课程标准中，无论是实验稿还是今年颁发的2011年版，都没有把线段图列为课程内容。各版本教材中，画线段图只作为学习的拐杖和一种常用的辅助策略，教学实践中，它可以作为某些关门过节的特定阶段多数学生作业练习的要求，但不作为教学基本要求和考试内容； 引用这些辅助策略，要通盘考虑小学数学内容的节点，循序安排。学生领受和操作的

7、技能要求，要循序渐进。,波利亚说过，只要数学学习过程稍能反映出数学发明的过程的话，就应当让猜想、合情推理占用适当的位置。 教学基本策略：不完全归纳 经验积累：关注学生发展数学认知结构过程中的倾向性问题,2、个别 一般,讨论,小学数学教学中，不完全归纳的地位作用组织学生进行不完全归纳的体验与问题,不完全归纳 中国传统数学最本质的方法是归纳，以归纳为主的思维方式和以问题为中心的研究方式。 小学数学教材中，众多的重要规律和结论，留待组织学生归纳。 讨论： 进行这种不完全归纳，引导和帮助学生从个别到一般，我们必须遵循哪些基本要领？,2、个别 一般,2、个别 一般,不完全归纳,关注例证数量，以利猜想定向

8、。,关注例证呈示，促进学生参与。,关注例证层次，调节教学梯度。,关注例证类型，保障概括广度。,关注例证数量，以利猜想定向。 讨论：归纳的或然性, 不完全归纳中，例证数量很大，不等于例证充足。这种归纳的或然性，可以用不同插值（回归）方法的几何结果直观的呈示出来。建议阅读:拉格朗日插值法（插值法中相对通俗的内容）,例证的数量越少，猜想发散或偏差的概率越大。反之亦然。即便不用简单的条件概率贝叶斯公式来严格推断这个结论，每个教师实践的经验也能帮他验证这一点。譬如下面简单的3行测试题中，假定教师期望括号里填的数是4，那么，学生的猜测与之吻合的概率，通常会次第减小。1，2，3，（ ）。1，2，（ ）。1，

9、（ ）。,关注例证数量，以利猜想定向。 讨论：归纳的或然性,2.这种归纳的或然性，可以用不同插值（回归）方法的几何结果直观的呈示出来。 建议阅读:拉格朗日插值法（插值法中相对通俗的内容）,1.不完全归纳中，例证数量很大，不等于例证充足。 不妨了解：初等数论中有关构造素数的史例，如式 N = nn+n+41,n=1,2,3,.39,40.,关注例证类型，保障概括广度 讨论 从具体例证概括出异分母分数加减的算法,新世纪教科书通过引导学生探究 12 + 1 4， 34 + 58，910 16 等多个算式的具体算理算法之后，引导学生交流， 从个别到一般，逐步概括出“分母不同的分数相加减，先要通分，化成

10、分母相同的分数，再加减。”,而我们有的教师仅仅完成12 + 1 4 这第1道算式的教学，就组织学生归纳异分母分数的加法计算方法； 有的教师为了便于呼应折纸活动，设计的前3道算式是 12 + 1 4， 12 + 18， 14 + 18. 接下来，引导学生归纳异分母分数的加法计算方法。 讨论：上述课堂教学均未达到预期效果的原因。,关注例证类型，保障归纳抽象度 讨论 小数的认识，从不同类型的量值抽象出小数,2、个别 一般,关注例证呈示，促进学生参与。 排布。 五年级探索商不变的规律，板书或投影算式，宜成一纵列。 色彩。 混合型数列的板书，必要时可用两种颜色粉笔板书。 关注例证层次，调节教学梯度。 （

11、后面将结合其他角度给出例子）,基本策略： 沟通联系 前提： 了解学生，把握每节课新内容的生长点 类比（亦称类比推理或类推） 利于数学建构的学生熟悉的情景,3、已知未知,3、已知未知 基本策略：沟通联系,数学的生命力在于联系 数学各部分之间的联系， 数学与外部的联系。,利用整数（分数）混合运算知识解决简单实际问题的教学,利用整数（分数）混合运算知识解决简单实际问题（旧称“两步计算的应用题”）的教学，是培养学生应用数学知识解决简单实际问题的能力的关键环节，是后续的解决实际问题内容的重要基础，是学生积累数学活动经验、策略和方法、发展数学应用意识、体会数学价值的重要载体，也是学生体会和概括混合运算顺序

12、和运算律的必要支撑点。这些内容是小学数学教学的重点和难点，它的教学质量，直接影响着每一位学生小学乃至中学的数学学业水平和学习态度，直接关系到九年义务教育数学课程“数学思考”、“解决问题”的目标达成。,用整数（分数）混合运算知识解决简单实际问题的教学,教学思路与关键 问题：起始课的新内容生长点，靠学生已有生活经验的自然支撑，还是靠学生已有数学基础（如利用加法或减法、乘法、除法的知识解决简单实际问题，旧称一步应用题）的支撑？,每道应用题的内容包括两个方面，一是事物的情节，二是数量关系。每个题目由已知条件和问题构成。学生解答应用题是要通过对事情的理解和对数量关系的掌握来确定算法的。因此创设学生熟悉的

13、情境，帮助学生理解和掌握应用题的数量关系，提高分析应用题能力，是正确解题的重要条件。 观点1、创设学生熟悉的应用题情境 观点2、将一步题中任一条件变为间接条件，将一步题变成两步题，引导学生参与两步应用题生成的具体过程，并通过对比，感受数量关系逐步复杂化的过程，切实把握两步应用题的基本结构。,义教大纲版教材例题与教案,1、出示准备题（一步）：商店里有24个皮球，卖出20个，还剩多少个？ （自己解答） 2、把“24个皮球”置换为“6个白皮球和18个花皮球”： 生成例题（两步）：商店里有6个白皮球和18个花皮球。卖出20个，还剩多少个？ 3、引导学生观察比较，两题有什么相同，有什么不同，使学生认识到

14、： 上面的题告诉了我们“商店里有24个皮球”，而下面的题没有直接告诉我们：商店里一共有多少个皮球。如果先算出它来，就变回到上面的题，接下来，就可以用上面题的方法解决问题。,把握本课与前后相关内容中“已知未知”的内在联系，从学生的已有基础（如利用加法或减法、乘法、除法的知识解决简单实际问题，旧称一步应用题）上.找准新内容的生长点和学生学习的最近发展区，抓住教学关键“先算什么”或“先想到什么”（即所谓“中间问题”或“执果索因”），引领学生把较复杂的内容分化为利用已有经验可以逐步解决的问题，从原有数学认知结构基础上生长成新的、较高级的数学认知结构。,适时渗透，适度沟通,确立整体观念，在一步应用题教学

15、目标基本达成后，适当进行简单、有效的渗透孕伏。 根据条件来补充（或选择）合适的问题 根据问题来补充（或选择）缺少的一个条件 连续两问的一步应用问题。,扩题训练 在认识间接条件的基础上，让学生将一步题中任一条件变为间接条件，将一步题变成两步题，培养训练学生形成转化直接条件为间接条件的能力，提高学生对数量关系逐步复杂化过程的认识。 缩题训练 即让学生先找出间接条件，然后通过“算一算”将其变为直接条件，将两步题缩为一步题。这种对间接条件的分析和转化，实际是对两步题解题思路的分解训练，有利于突破两步应用题的教学难点。,（1）数学知识内部生长点 讨论 了解学生,新世纪版五年级数学下册第5859页第五单元分数混合运算（二） 第一课时：解决问题。本课教材内容是进一步利用分数混合运算知识解决实际问题。本课是这个单元中利用方程解决实际问题的基础，也是六年级学习“百分数的进一步应用”的基础，同时也为下一课时体会整数的运算律在分数混合运算中同样适用提供了具体例证。在发展学生利用数与代数知识解决实际问题的能力方面，本课时具有不可替代的重要性和典型性,