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1、第八章 线性离散控制系统的分析与综合8.1 离散控制系统概述 8.2 连续信号的采样与复现 8.3 Z变换及Z反变换 8.4 线性离散系统的数学模型 8.5 离散控制系统稳定性分析 8.6 离散控制系统的稳态误差分析 8.7 离散控制系统的动态性能分析 8.8 数字控制器的模拟化设计 8.9 数字控制器离散化设计,8.1 离散控制系统概述 一、离散控制系统特点： 从系统结构上看，含有采样开关； 从信号传递上看，系统中某一处或几处信号是以脉冲或数字形式传递的。 二、离散控制系统的两种典型结构 1、采样控制系统e(t) 是e(t)连续误差信号经过采样开关后，获得的一系列离散的误差信号。e*(t)作
2、为脉冲控制器的输入，经控制器对信号进行处理，在经过保持器（或滤波器）恢复为连续信号，对受控对象实施控制。采样系统中既有离散信号，又有连续信号。 采样开关接通时刻，系统处于闭环工作状态。而在采样开关断开时刻，系统处于开环工作状态。,2、 计算机控制系统计算机作为系统的控制器，其输入和输出只能是二进制编码的数字信号，即在时间上和幅值上都是离散信号，而系统中被控对象和测量元件的输入和输出是连续信号， 故需要A/D和D/A实现两种信号的转换。三、离散控制系统的分析方法建立在Z变换的数学基础上，采用脉冲传递函数，并利用类似连读控制系统的分析方法进行分析、研究。,8.2 连续信号的采样与复现 一、连续信号
3、的采样、数学描述1、采样过程把一连续信号转换成一串脉冲序列或数码信号的过程，称为采样过程。例如下图中，采样器可用一个周期性闭合的采样开关表示， 设采样开关每隔T秒闭合一次（接通一次）。f(t)为输入连续信号，则经采样开关后，f*(t)为定宽度等于的调幅脉冲序列，在采样瞬时nT(n=0,1,2,3）时出现。由于采样开关闭合时间很小，)的Z变换。,解：,2)部分分式法方法是，先求出连续函数的拉氏变换式，并部分分式展开。,；然后逐项进行Z变换。,例3,巳知原函数,的拉氏变换式为,，求其Z变换。,解：对拉氏变换式用部分分式展开,逐项进行Z变换(查Z变换表)有,例4.求取具有拉氏变换为 的连续函数f(t
4、)的Z变换。,解：,例5.求 的Z变换。,解：,例6 求 的Z变换,解：,(3) Z 变换的主要性质1) 线性性质,2) 延迟定理,说明：原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数 上乘以 ,算子 的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟 n个周期。,3) 超前定理,若,则,4）复数位移定理,5）终值定理,若,在平面上以原点为圆心,的单位圆上和圆外没有极点或（z-1）F(z)全部极点位于Z平面 单位圆内。,则,例设 的Z 变换函数为求 的终值。,解：用终值定理,二、Z 反变换,Z反变换是已知Z变换表达式F（z），求离散序列f（nT）或 的过程。,Z反变换的方法也有多种，主要方法有,1.部分分
5、式法（因式分解法，查表法） 步骤：先将变换式写成 ，并展开成部分分式，两端乘以Z。F（z）=查Z变化表。,=,例,巳知,，求,。,解,写成,两边同乘z,查z 变换表,2、幂级数法（长除法） 将 表达式直接用长除法，求按降幂排列的展开式 ，便可直接写出脉冲序列的表达式。,例 己知,求其反z 变换。,解 可先改写z表达式,用长除法，分子、分母相除有,依z 变换的定义，有,注：在实际应用中，常常只需要计算有限的几项就够了， 是开放形式。,8.4 线性离散系统的数学模型,一、脉冲传递函数的概念定义：线性定常系统，在零初始条件下，系统输出信号的Z变换与输入信号的Z变换之比。用式子为,二、开环脉冲传递函数
6、的求法系统由串联环节组成时，脉冲传递函数与采样开关的位置 和数目有关。1.串联环节之间有采样开关(图a),G(Z)= G1(Z)G2(Z),2.串联环节间无采样开关(图b),G(Z)=ZG1(s)G2(s)=G1G2(z),3.环节与零阶保持器串联时的脉冲传函,解：,例 .求下图所示二环节串联的脉冲传函,其中,结论: 有采样开关断开的线性环节串联时，系统脉冲传递函数 等于各环节脉冲传递函数的积；无采样开关断开的线性环节串 联时，系统其脉冲传递函数等于两个连续环节串联之后的Z变换。 本结论可推广到n个环节。,例：设G(s)=1/s，G(s)=1/(s+1),分别求上述两种连接时的脉冲传递数。,解
7、：(1)二环节间有采样器G(z)=G1(Z)G2(z)=Z1/sZ1/(s+1)=,(2)二环节间无采样器,三、闭环脉冲转递函数由于采样开关在闭环系统中可以有多种配置的可能性，故闭环离散系统没有唯一的结构形式，通常须采用列出方程式，再消去中间信号变量求出闭环转递函数。,1.采样开关位于误差通道,由图,取Z 变换有,又由图有,由以上三式，消去中间变量可得该系统的闭环传递函数：,2 采样开关不位于误差通道,G(s),H(s),r(t),Ts,y(t),m(t),-,b(t),G1(s),e,3 扰动输入时的脉冲传函,H(s),r(t),Ts,y(t),e(t),-,b(t),G1,G2,n(t),
8、G2(s),H(s),G1(s),n(t),-,m*,m(t),y(t),H(S),D(S),G(S),R(S),X(S),Y(S),-,例1 .试求右图所示系统的闭环传函,解：,Y(s),例2.试求取如图所示线性数字系统的闭环传函,解:,注：1、典型系统的传递函数或输出表达式见表8.12、元部件相同但采样开关的位置或个数不同，系统的传递函数不同；3、有些结构的系统只有输出表达式但求不出闭环传递函数。,8.5 离散控制系统稳定性分析,典型的离散控制系统如右图所示,其闭环传递函数为：,分析系统的稳定性能，需对其特征方程的根的分布情况进行分析,其特征方程为：D(z)=1+GH(z)=0,由z变换的
9、定义可知，这里的z与s的关系为：,一、S平面与Z平面的对应(映射)关系,注 ：S平面上的左半平面，相当于Z 平面上的单位园内；S平面的虚轴，相当于Z 平面上的单位园上；S平面上的右半平面，相当于Z 平面上的单位园外。,二、离散控制系统闭环稳定的充分、必要条件,离散控制系统闭环稳定的充分、必要条件是，系统的特征方程的根全 部位于Z平面以原点为园心的单位园内。,例 某离散控制系统如右图所示，采样周期为1s，系统能否稳定工作？,解：系统的开环脉冲传递函数为,系统的闭环脉冲传递函数为,特征方程,=0,特征方程根,由于,，在 Z 平面的单位园外，所以该系统是不稳定。,三、离散系统的稳定性判据,劳斯判据。
10、具体方法、步骤；1、求出特征方程式，2、Z W 变换：令特征方程式中的 ，得到3、用第三章劳斯判据的方法判稳。,例1.设闭环采样系统的特征方程为D(z)=45z3-117z2 +119z-39=0判断其稳定性.,解：,例2.判断如图所示系统的稳定性,采样周期Ts=0.2(秒),解:,例3.设采样系统的方框图如图所示,其中 采样周期T=0.25s,求能使系统稳定的K1值范围,解:,8.6 离散控制系统的稳态误差分析,离散系统中误差信号是指采样时刻的误差，其稳态误差是指系统到达稳定后误差脉冲序列。由于离散系统没有唯一的典型结构图形式，故不能给出一般的误差脉冲传递函数的计算公式,其稳态误差需要针对不同形式的离散系统来求取。离散系统稳态误差的分析、计算与连续系统的相类拟，计算方法主要两种。,一、用Z变换的终值定理计算若系统稳定,即全部极点位于z平面单位图内,则可用z变换终值定理求出采样瞬时终值误差。方法、步骤如下：,1、求出误差传递函数2、求出误差Z变换式3、终值定理计算,二、误差系数方法,其中 含有的积分环节个数N，表征系统的无差度。 N=0, 0阶无差系统；N=1一阶无差系统；N=2 二阶无差系统,
