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1、每年的题目基本上都是15 题，每题十分，总150分。祝你们考研成功！ ！上海大学2000 年度研究生入学考试试题数学分析1、 设122(1)nnxxnxy n n，若limnnxa，证明： （1）当 a 为有限数时，lim 2nnay；（2）当a时，limnny. 2、 设()fx在0,1上 有 二 阶 导 数 （ 端 点 分 别 指 左 、 右 导 数 ） ，( 0 )(1 )0ff， 且0 , 1m i n()1fx证明： 0,1m ax()8fx3、 证明：黎曼函数1,x= (0,) ()0,10,pqp q qqR x当为 互 质 整 数 在上 可 积当 x为 无 理 数. 4、 证明
2、：12210()lim(0), ttfxdxf tx其中()fx在1,1 上连续 . 5、 设1ln11nnpa n，讨论级数2nna的收敛性 . 6、 设 0()fx dx 收敛且()fx在0,上单调，证明： 001lim()() hnhfnhfx dx. 7、 计算曲面2222xyza包含在曲面22221(0)xyba ab内的那部分的面积. 8、 将函数()fxx在0, 2上展成 Fourier级数 ,并计算级数1sinkkk的值 . 上海大学2001 年度研究生入学考试试题数学分析1、 计算下列极限、导数和积分: (1) 计算极限10lim ();xxx(2) 计算 0()( )x x
3、ft dt的导数()x,其中()fx2,(1) . 1, (1)tttt(3) 已知211arctan2 tan 1sin2x x,求积分2011sinIdx x. (4) 计算22222 ( )0xyztftxyzdxdyd z t的导数( )ft(只需写出( )ft的积分表达式). 2、 设()fx在,a b上连续，在,a b上可导，若()()0fafb且()0 2abf，试证明必存在,a b使得()0f. 3、 令,1yFxyyxe(1)、证明 :111311,0,;,0,. 2121221212FxxFxx(2)、证明 :对任意的11, 1212x,方程,0Fx y在13, 22y中存
4、在唯一的解()y x. (3)、计算(0)y和(0)y. 4、一致连续和一致收敛性(1) 、 函 数2()fxx在0,1上 是 一 致 连 续 的 , 对210, 试 确 定0 , 使 得 当1201xx,且12xx时有3321210xx. (2)、设2231(),0,1 ,1, 2, 2nn xfxxn n x证明 : ()nfx在0,1上是内闭一致收敛的, 但不是一致收敛的. 5、曲线积分、格林公式和原函数. (1)计算第二型曲线积分221, 2LxdyydxI xy其中 L 是逐段光滑的简单闭曲线,原点属于L 围成的内部区域,(L) 的定向是逆时针方向. (2) 设,px y ,q x
5、y 除原点外是连续的,且有连续的偏导数,若,0, 0pqx y yx0, Lpdyqdxc其中 (L)的参数方程cos , (02) sinxt t yt证明：存在连续可微函数,0, 0Fx yx y，使得2222, 22FcyFcxpx yqx y xxyyxy. 上海大学2002年度研究生入学考试题数学分析1、 求和使得当x时，无穷小量112xxx等价于无穷小量x. 2、 求椭圆2221AxBxyC y所围成的面积S ,其中20,0,AACBA B C均为常数 . 3、 试给出三角级数01(cossin) 2nnna anxbnx中系数的计算公式(不必求出具体值),使得该级数在0,1 上一
6、致收敛到2x,并说明理论依据。4、 证明：sin ()xexx fx xx当时 ， 当时函数在，上一致连续5、 设()fx在0,1 上有连续的导函数()fx，(0)0f，证明：1122001()() 2fx dxfx dx. 6、 证明 :当 xy1,1时,有不等式22222()2.xyyx7、 设()fx在,a b 上连续 ,并且一对一 ,(即当12,xxa b且12xx时有12()()fxfx),证明 : ()fx在,a b 上严格单调 . 上海大学2003年度研究生入学考试题数学分析1、 证明与计算：（1）对于任意的0a，证明：limnna存在，并求之. （2）设1 11,0,1, 2,
7、.,nna kxkn n,证明 : limnnx存在并求之 . 2、 判断下列结论是否正确,正确的请证明,错误的请举出反例. （3）存在级数1nnu,使得当n时, nu不趋于 0,但1nnu收敛 . （4）20sinxdx是收敛的 . (5) 211limsin0xxenxdx(此题只需指明理论依据) 3、 计算(6) 32222,()Sxdydzydzdxzdxdyxyz其中 S 为曲面 : 221,0zxyz的上侧 . (7)将把( )fxx 在,上展成 Fourier级数 ,并由此计算2 11nkk. 4、 证明 : (8) 设函数(,),fx yxy 证明 :它在0,0上连续且有偏导数
8、0, 0 ,0, 0 ,xyff但是(,)fx y在0, 0不可微 . (9)设函数()fx在 0,1 上黎曼可积 ,证明 : 2()fx在 0,1 上也是黎曼可积. (10)当0x时,证明 : 1 ln11xx. (11)设()fx在 0, a 上连续 ,其中0a,证明 : 001(0)()()aa ffx dxfx dx a(12)设函数, ,Fu v w 有连续的偏导数,证明 :曲面,0yzxF xyz上各点的切平面都交于一点 ,并求出交点坐标(13)设闭曲线L: 2221AxBxyC y,其中20,0,AACBA B C均为常数 . 记11,xy和22,xy分别表示曲线的最高点和最低点
9、,证明 : 120y y. (14)如果函数列(),1, 2,.,nfxn在0,1 上一致收敛 ,证明 : ( )nfx在 0,1 上一致有界 ,即:存在0,M使得(),nfxM对0,1 ,xn 成立 .(此题好象缺少条件) 进一步问 ,如果函数列在0,1 上点点收敛 ,结论是否成立 ,请证明你的结论. (15) 设函数()fx在0,)上连续 , 0()g x dx 绝对收敛 ,证明 : 200lim()()(0)()nnx fgx dxfgx dx n上海大学2004年度研究生入学考试题数学分析1、 判断数列nS是否收敛 ,其中111, 231nnkS kk证明你的结论. 2、 在 0,1
10、区间上随机地选取无穷多个数构成一个数列na,请运用区间套定理或有限覆盖定理证明该数列na必有收敛子列. 3、 设函数在0,1 上连续 , (0)(1)ff,证明方程1()() 3fxfx在 0,1 上一定有根 . 4、 证 明 :达 布 定理 :设()fx在,a b上 可 微 , 12,xxa b, 如果12()()0,fxfx则 在12,xx之间存在一点,使得()0f. 5、 给出有界函数()fx在闭区间,a b 上黎曼可积的定义,并举出一个,a b 有界但是不可积的函数的例子 ,并证明你给的函数不是黎曼可积的. 6、闭区间,a b 上的连续函数()fx,如果积分()()0bafxx dx对
11、于所有具有连续一阶导数并且()()0ab的函数）（ x都成立，证明：()fx0 . 7、判别广义积分dx xx0sin的收敛性和绝对收敛性，证明你的结论. 8、证明： 2cos1022 0limdt txtxx9、计算：01121nnn）（. 10、试将函数xxf)(在,0上展开成余弦级数，并由此计算: 222) 12(151311 k11、函数列,2,1)(nxfn，在1 ,0上连续，且对任意的),()(,1 ,0xfxfxnn，问)(xf是否也在1 ,0上连续，证明你的结论. 12、设函数,3),(33xyyxyxf请在平面上每一点指出函数增加最快的方向，并计算出函数在该方向的方向导数.
12、13、求解viviani问题，计算球体2222azyx被柱面axyx22所截出的那部分体积. 14、曲线积分 Lyxydyxdx22是否与路径无关，其中曲线L不过原点，证明你的结论. 15、设函数)( xf可微，若0)(2)(xxfxf，证明：0)(limxf x. 上海大学2005年度研究生入学考试题数学分析1、设函数)(xf在），（ 0内连续，,0)(limxf x求.)(lim xxfx2、设函数)(xf在20， 有二阶导数，在20， 上，1)(1)(xfxf求证：2)(xf. 3、若dxxf 0)(收敛，0)(limxf x一定成立吗？举例并说明理由. 4、求证：2005 )(ln20
13、051)2005(limodxxfnnkxe nf. 5、证明：dxxeax0在aa00上一致收敛，但a0上不一致收敛 . 6、给出在I 上一直连续的定义，并证明) 1()(xxxg在），0上一致连续 . 7、,01lim2baxxx x求ba ,的值 . 8、把 ，0001 )(x xf展成fourier级数，并证明：. 12)1s i n ( 233s i n1s i n4 nn9、求2222222)()()( :,Rczbyaxdxdyzdzdxydydzx外侧 . 10、02222CzByAx是 椭 圆 方 程 ， 求 证 ： 椭 圆 的 长 半 轴 kl1. 其 中k是 方 程022
14、BkCCAk的最小根 . 11、,)(lim21aaaann证明 : nnaaann212lim存在，并求之. 12、, 0001sin)( xx xxxfa 问 a 在什么范围内，)(xf在0x可导：在什么范围内)(xf在0x连续 . 13、,)(ln)( 1e dxxfxxf求.)( 1e dxxf14、已知)(xf，)( xg在ba,上连续，)(,0)(xgxf不变号，求.)()(limdxxgxfbann15、)( xf在 I 上连续，)1()()(),()( 111ndttFxFxfxFxnn求证：)(xFn在 I 上一致连续 . 上海大学2006年度研究生入学考试题数学分析计算1、
15、 求极限4 01sin2limxexxxx2、 求级数. )13()23(1. 1071741411nn的和。3、 设 y=y(x) 是由方程exyeyx确定的隐函数，求y=y(x) 的图形在点（ 0，1）处的切线方程。4、 求定积分dx xxx222sin1cos5、 将)()(xxxf展开为周期 2的 Fourier 级数，并由此计算12)12(1kk6、 设 a,b,c 是已知的三个正常数，求三元函数f(x,y,z)=ax+by+cz在约束条件1222zyx下的最大值和最小值。一、计算和证明7、 设收敛，并求它的极限。证明nnnnxxxxx)1(, 10118、 设 f(x) 在a,b上
16、有定义，且在 a,b 的每一点都有有限极限（在区间端点处指单侧极限）。证明 f(x) 在a,b上有界。9、若 f(x) 和 g(x) 在),(上都一致连续，能否推断出f(x)+g(x) 和 f(x)g(x) 在),(上也一致连续？请给出根据。2224yxy210. 求 z=x三 个 坐 标 平 面所 围 的 体 积2211.xdyydxxy，其中221 49xy1012. lnbaxxdx x求， ba0 二、证明13 设 f(x) 在0,1 上连续，在 （0， 1） 上可导，且 f(1)=0 ， 证明存在)1 ,0(， 使0)()(ff141011 ()(0,1,(),lim()nnkk fxfx dxf nn在单 调 且 广 义 积 分收 敛证存 在， 并确定此极限值。15、设),()()()(),()(),(1baxvnxvxubaxvxunnnnnn在成立，若对连续，在点点收敛于一个连续函数，证明：)(1xunn也必点点收敛于一个连续函数. 上海大学2007年度研究生入学考试题数学
