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1、第十九章 达朗贝尔原理,达朗贝尔原理刚体惯性力系的简化,前面介绍的动力学普遍定理, 为解决质点系动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗贝尔原理为解决非自由质点系动力学问题提供了另一种普遍的方法。这种方法的特点是：用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学的不平衡问题, 因此这种方法又叫动静法。由于静力学研究平衡问题的方法比较简单, 也容易掌握, 因此动静法在工程中被广泛使用。,引言,设一质点质量为m, 加速度为a, 作用于质点的主动力为F, 约束反力为FN 。由牛顿第二定律，有,将上式改写成,令,19.1 质点的达朗贝尔原理,FI具有力的量纲, 且与质点的质量有关，称其为质点的惯性力。它的大小等于质
2、点的质量与加速度的乘积, 方向与质点加速度的方向相反。,即：在质点运动的任一瞬时, 作用于质点上的主动力、约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。,则有,应该强调指出，质点并非处于平衡状态，这样做的目的是将动力学问题转化为静力学问题求解。达朗贝尔原理与虚位移原理构成了分析力学的基础。,19.1 质点的达朗贝尔原理,例1 球磨机的滚筒以匀角速度w 绕水平轴O转动, 内装钢球和需要粉碎的物料, 钢球被筒壁带到一定高度脱离筒壁, 然后沿抛物线轨迹自由落下, 从而击碎物料, 如图。设滚筒内壁半径为r, 试求钢球的脱离角a。,解：以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象
3、, 受力如图。钢球未脱离筒壁前, 作圆周运动, 其加速度为,惯性力FI的大小为,假想地加上惯性力, 由达朗贝尔原理,O,M,r,w,a,q,这就是钢球在任一位置q 时所受的法向反力, 显然当钢球脱离筒壁时, FN0 , 由此可求出其脱离角a为,设质点系由 n 个质点组成, 其中任一质点i的质量为mi, 其加速度为ai, 把作用在此质点上的力分为主动力的合力Fi、约束力的合力为FNi，对这个质点上假想地加上它的惯性力FIi-miai , 则由质点的达朗贝尔原理, 有,19.2 质点系的达朗贝尔原理,即：质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和它的惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔
4、原理。,把作用在第i个质点上的所有力分为外力的合力为Fi(e), 内力的合力为Fi(i)，则有,19.2 质点系的达朗贝尔原理,质点系中第个质点上作用的外力、内力和它的惯性力在形式上组成平衡力系。由静力学知，空间任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即,因为质点系的内力总是成对出现, 且等值、反向、共线, 因此有Fi(i) = 0和MO(Fi(i) = 0, 于是的有,即：作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。这是质点系达朗贝尔原理的又一表述。,19.2 质点系的达朗贝尔原理,称FIi为惯性力系的主矢， MO(FIi)为惯性力系的主矩
5、。,例2 重P长l的等截面均质细杆AB, 其A端铰接于铅直轴AC上, 并以匀角速度w 绕该轴转动, 如图。求角速度w 与角q 的关系。,解：以杆AB为研究对象, 受力如图。,杆AB匀速转动, 杆上距A点x 的微元段dx 的加速度的大小为,微元段的质量dmPdx/gl。在该微元段虚加惯性力dFI, 它的大小为,x,dx,dFI,an,q,w,B,A,C,y,x,q,B,A,x,d,P,FAx,FAy,FI,于是整个杆的惯性力的合力的大小为,设力FI 的作用点到点A的距离为d, 由合力矩定理, 有,即,假想地加上惯性力, 由质点系的达朗贝尔原理,q,B,A,x,d,P,FAx,FAy,FI,代入F
6、I 的数值, 有,故有q0或,例 3 已知：m ，R， 。求：轮缘横截面的张力。,解： 取上半部分轮缘为研究对象,用质点系的达朗贝尔原理求解质点系的动力学问题，需要对质点内每个质点加上各自的惯性力，这些惯性力也形成一个力系，称为惯性力系。下面用静力学力系简化理论，求出惯性力系的主矢和主矩。,以FIR表示惯性力系的主矢。由质心运动定理及质点系的达朗贝尔原理,19.3 刚体惯性力系的简化,得,此式表明：无论刚体作什么运动, 惯性力系的主矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积, 方向与质心加速度的方向相反。,19.3 刚体惯性力系的简化,由静力学中任意力系简化理论知，主矢的大小和方向与简化中心的位置
7、无关，主矩一般与简化中心的位置有关。下面就刚体平移、定轴转动和平面运动讨论惯性力系的简化结果。,刚体平移时，刚体内任一质点i的加速度ai与质心的加速度aC相同，有ai aC，任选一点O为简化中心，主矩用MIO表示，有,1. 刚体作平移,1. 刚体作平移,19.3 刚体惯性力系的简化,式中，rC为质心C到简化中心O的矢径。若选质心C为简化中心，主矩以MIC表示，则rC0，有,综上可得结论： 平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力, 其大小等于刚体的质量与加速度的乘积,合力的方向与加速度方向相反。,2. 刚体绕定轴转动,如图所示, 具有质量对称面且绕垂直于质量对称面的轴转动的刚体。其上任一点的
8、惯性力的分量的大小为,方向如图所示。该惯性力系对转轴O的主矩为,19.3 刚体惯性力系的简化,FIin,FIit,i,O,MIO,ri,w,a,一般证明,由于FIin通过O点, 则有 MO( FIin )= 0, 所以,即,19.3 刚体惯性力系的简化,综上可得结论：定轴转动刚体的惯性力系, 可以简化为通过转轴O的一个惯性力FIR和一个惯性力偶MIO。力FIR的大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积, 方向与质心加速度的方向相反，作用线通过转轴；力偶MIO的矩等于刚体对转轴的转动惯量与其角加速度大小的乘积, 转向与角加速度的转向相反。,现在讨论以下三种特殊情况：,2. 当刚体作匀速转动时,
9、 a0, 若转轴不过质心, 惯性力系简化为一惯性力FI , 且FI maC, 同时力的作用线通过转轴O。,1. 当转轴通过质心C时, aC0, FI0, MICJCa。此时惯性力系简化为一惯性力偶。,3. 当刚体作匀速转动且转轴通过质心C时, FI0, MIC0, 惯性力系自成平衡力系。,19.3 刚体惯性力系的简化,3. 刚体作平面运动(平行于质量对称面）,工程中，作平面运动的刚体常常有质量对称平面，且平行于此平面运动。当刚体作平面运动时，其上各质点的惯性力组成的空间力系，可简化为在质量对称平面内的平面力系。,19.3 刚体惯性力系的简化,取质量对称平面内的平面图形如图所示, 取质心C为基点
10、, 设质心的加速度为aC，绕质心转动的角速度为w，角加速度为a，与刚体绕定轴转动相似，此时惯性力系向质心C简化的主矩为,综上可得结论：有质量对称平面的刚体，平行于此平面运动时，刚体的惯性力系简化为在此平面内的一个力和一个力偶。这个力通过质心，其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积, 其方向与质心加速度的方向相反；这个力偶的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积, 转向与角加速度相反。,19.3 刚体惯性力系的简化,例3 如图所示, 均质杆AB的质量m40 kg, 长l4 m, A点以铰链连接于小车上。不计摩擦, 当小车以加速度a15 m/s2向左运动时, 求D处和铰
11、A处的约束反力。,解：以杆为研究对象, 受力如图, 建立如图坐标。,杆作平动, 惯性力的大小为FIma。假想地加上惯性力, 则由质点系的达朗贝尔原理,于是得,代入数据, 解之得：,例4 均质杆AB长l, 重W, B端与重G、半径为r的均质圆轮铰接。在圆轮上作用一矩为M的力偶, 借助于细绳提升重为P的重物C。试求固定端A的约束反力。,解：先以轮和重物为研究对象, 受力如图。假想地加上惯性力,由质点系的达朗贝尔原理,代入MIB 和FIC得,再以整体为研究对象, 受力如图, 假想地加上惯性力,代入MIB 和FIC解得,由质点系的达朗贝尔原理,质量为m, 长为l的均质直杆AB的一端A焊接于半径为r的圆
12、盘边缘上, 如图。今圆盘以角加速度a 绕其中心O转动。求圆盘开始转动时, AB杆上焊接点A处的约束反力。,解：以杆为研究对象, 受力如图, 建立如图坐标。,将惯性力系向转轴简化, 惯性力的大小为,由质点系的达朗贝尔原理,将已知数值代入以上三式, 解之得,例6 重P、半径为r的均质圆轮沿倾角为q 的斜面向下滚动。求轮心C的加速度, 并求圆轮不滑动的最小摩擦系数。,解：以圆轮为研究对象, 受力如图, 建立如图坐标。,圆轮作平面运动, 轮心作直线运动, 则,将惯性力系向质心简化, 惯性力和惯性力偶矩的大小为,q,C,r,则由质点系的达朗贝尔原理,解之得,由于圆轮没有滑动, 则Ff N, 即,由此得,
13、所以, 圆轮不滑动时, 最小摩擦系数,例题 9 已知两均质直杆自水平位置无初速地释放。求两杆的角加速度和O、A处的约束反力。,解: (1) 取系统为研究对象,(2) 取AB 杆为研究对象,B,A,(3) 取AB 杆为研究对象,(4) 取系统为研究对象,例7 均质杆的质量为m, 长为2l, 一端放在光滑地面上, 并用两软绳支持, 如图所示。求当BD绳切断的瞬时, B点的加速度AE绳的拉力及地面的反力。,解：以AB杆为研究对象,杆AB作平面运动, 如图, 以B点为基点, 则C点的加速度为,其中,将惯性力系向质心C简化, 得惯性力FIFIeFIr , 其中FIe maB , FIr matCB ml
14、a 和惯性力偶, 其力偶的矩为,在BD绳切断的瞬时, 受力如图, 建立如图坐标。,由质点系的达朗贝尔原理,以B为基点, 则A点的加速度为,其中,将上式投影到x 轴上得,联立求解（1）（4）式, 得,例8：如图所示, 均质杆AB长为l, 重为Q, 上端B靠在半径为R的光滑圆弧上（R=l ）, 下端A以铰链和均质圆轮中心A相连, 圆轮重P, 半径为r, 放在粗糙的地面上, 由静止开始滚动而不滑动。若运动开始瞬时杆与水平线所成夹角 , 求此瞬时A点的加速度。,轮和杆均作平面运动, 将惯性力系分别向质心简化, 则惯性力和惯性力偶的矩的大小分别为,解：设系统运动的初瞬时, 圆轮中心的加速度为 , 角加速度为 ；AB杆的角加速度为 , 质心C的加速度为 、 。如图。,先以整体为研究对象, 受力如图。假想地加上惯性力和惯性力偶, 则由质点系的达朗贝尔原理,(1),再以AB为研究对象, 受力如图。假想地加上惯性力和惯性力偶, 则由质点系的达朗贝尔原理,（2）,AB杆作平面运动, 先以B点为基点, 则A点的加速度为,其中,其加速度合成矢量图如图所示。,将其投影于 轴, 得,（3）,再以A为基点, 则C点的加速度为,将其投影于 、 轴, 得,（4）,（5）,由式（3）、（4）、（5）可将 、 、 都化为 的函数, 即,将其代入式（1）、（2）, 并取 , 联立该两方程可解得,
