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1、第二十五讲平面向量的数量积,1.向量的夹角(1)已知两个非零向量a和b,作 则AOB=叫做向量a与b的夹角.,(2)向量夹角的范围是0,a与b同向时,夹角=0;a与b反向时,夹角=. (3)如果向量a与b的夹角是90,我们说a与b垂直,记作ab.,2.向量的投影 |a|cos(|b|cos)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影. 3.平面向量数量积的定义 ab=|a|b|cos(是向量a与b的夹角),规定:零向量与任一向量的数量积为0.,4.向量数量积的性质 设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则 (1)ea=ae=|a|cos. (2)ab=ab=0. (
2、3)当a与b同向时,ab=|a|b|; 当a与b反向时,ab=-|a|b|; 特别地,aa=|a|2或|a|= (4)cos= (5)|ab|a|b|.,5.向量数量积的运算律 (1)ab=ba.(交换律) (2)(a)b=(ab)=a(b).(数乘结合律) (3)(a+b)c=ac+bc.(分配律),6.平面向量数量积的坐标表示 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2. (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),是a与b的夹角,则cos=,(3)若向量a的起点坐标和终点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|a|= 这就是平面内两点间的距离公式
3、. (4)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abab=0x1x2+y1y2=0.,考点陪练,1.(2010北京)a,b为非零向量,“ab”是“函数f(x)=(xa+b)(xb-a)为一次函数”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,解析:函数f(x)=x2ab-(a2-b2)x-ab,当函数f(x)是一次函数时必然要求ab=0,即ab,但当ab,|a|=|b|时,函数f(x)不是一次函数,故选B. 答案:B,2.(2010重庆)已知向量a,b满足ab=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=( ) A.0 B. C.4 D
4、.8 解析:因为|2a-b|2=(2a-b)2=4a2+b2-4ab=4a2+b2=4+4=8,故|2a-b|= ,选B. 答案:B,答案:B,类型一 数量积的性质及运算 解题准备:1.数量积的运算要注意a=0时,ab=0,但ab=0时不能得到a=0,或b=0,因为ab时,也有ab=0. 2.若a、b、c是实数,则ab=acb=c(a0);但对于向量,就没有这样的性质,即若向量abc满足ab=ac(a0),则不一定有b=c,即等式两边不能同时约去一个向量,但可以同时乘以一个向量.,答案-25,(2)设abc是任意的非零向量,且互不共线.给出以下命题:(ab)c-(ca)b=0;|a|-|b|a
5、-b|;(bc)a-(ca)b不与c垂直;(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中是真命题的是_. 解析对于只有当向量b,c的方向相同时,二者才相等所以错;考虑式对应的几何意义,由三角形两边之差小于第三边知正确;由(bc)a-(ca)bc=0知(bc)a-(ca)b与c垂直,故错;向量的乘法运算符合多项式乘法法则,所以正确.所以正确命题的序号是. 答案,类型二 利用数量积解决长度、垂直问题 解题准备:常用的公式与结论有:,【典例2】已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120. (1)计算|a+b|,|4a-2b|; (2)当k为何值时,(a+2b)(ka-b)?,分析利
6、用|a|= 及abab=0即可解决问题. 解由已知,ab=48 =-16. (1)|a+b|2=a2+2ab+b2 =16+2(-16)+64=48, |a+b|= . |4a-2b|2=16a2-16ab+4b2 =1616-16(-16)+464=3162. |4a-2b|= .,(2)若(a+2b)(ka-b),则(a+2b)(ka-b)=0, ka2+(2k-1)ab-2b2=0. 16k-16(2k-1)-264=0, k=-7.,类型三 利用数量积解决夹角问题 解题准备:1.涉及到与夹角有关的问题,往往利用向量的夹角公式解决,这也是平面向量数量积的一个重要考点.,3.在应用上述公式
7、求夹角时,要考虑夹角的取值范围.,【典例3】已知ab都是非零向量,且|a|=|b|=|a-b|.求a与a+b的夹角. 分析由公式cos= 可知,求两个向量的夹角关键是求数量积及模的积.本题中|a|=|b|=|a-b|的充分利用是求数量积的关键,考虑怎样对条件进行转化.,解解法一:由|a|=|b|=|a-b|得,|a|2=|b|2,|b|2=a2-2ab+b2,所以ab= a2. 而|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2=2|a|2+2 |a|2 =3|a|2, 所以|a+b|= |a|. 设a与a+b的夹角为, 则cos=由于0180,所以=30.,反思感悟(1)求两个向量的夹角,需求得ab
8、及|a|,|b|或得出它们的关系,注意夹角的取值范围是0,180.正确理解公式是关键. (2)向量有两种表示形式,即坐标法和几何法,解题时要灵活选择.本题通过比较两种方法发现,利用向量的几何形式解答此类题目显得更加简捷和直观.,错源一 利用点平移与向量平移设置陷阱 【典例1】已知A(3,7),B(5,2),将 按向量a=(1,2)平移后所得向量的坐标是() A.(1,7) B.(2,-5) C.(10,4) D.(3,-3),错解因为A(3,7),B(5,2),所以 =(2,-5), 将x=2,y=-5及h=1,k=2,代入平移公式,得x=2+1=3,y=-5+2=-3,故 按向量a平移后所得
9、向量坐标是(3,-3),选D. 剖析平移公式揭示的是点沿着向量平移前后坐标的变化关系,它并不适合向量平移规律.上述错误是典型的乱用公式.,正解因向量平移后仍与原向量相等. 故 故选B. 答案B,错源二 利用平移前后的解析式设置陷阱 【典例2】将函数y=f(x)的图象按向量a平移,使图象上的点A的坐标由(2,3)变为(3,5),则平移后图象的解析式为() A.y=f(x-1)+2 B.y=f(x-1)-2 C.y=f(x+1)+2 D.y=f(x+1)-2,剖析上述错误是把点的平移与图象的平移混为一谈.,答案A,错源三 利用平移方向设置陷阱 【典例3】将y=2x-6的图象按向量a平移后,得到y=
10、2x的图象,那么a=_. 错解因为y=2x-6=2(x-3),所以要得到y=2x的图象,只需将y=2x-6的图象沿着x轴向左平移3个单位长度,故a=(-3,0);又y=2x的图象可以看作将y=2x-6的图象沿着y轴向上平移6个单位长度得到的,故a=(0,6),所以向量a=(-3,0)或(0,6).,剖析上述错误是对图象平移的定义没有弄清所致,根据图象平移的定义可知,图象的平移就是将图象F上所有点按照同一方向,移动同样长度,得到图象F.此处它只需按照同一方向,而没有要求一定是水平或竖直的移动.,正解设a=(h,k),P(x,y)是函数y=2x-6的图象上任意一点,它在函数y=2x的图象上的对应点
11、为P(x,y),由平移公式 得 将它们代入y=2x-6中,得y-k=2(x-h)-6,即y=2x-2h-6+k,所以平移后函数解析式为y=2x-2h-6+k,因为y=2x-2h-6+k与y=2x为同一函数,所以-2h-6+k=0,即k=2h+6,因此,所求向量a=(h,2h+6)(hR). 答案(h,2h+6)(hR),错源四 误用实数的运算律或运算法则而致错 【典例4】已知a,b都是非零向量,且向量a+3b与7a-5b垂直,向量a-4b与7a-2b垂直,求向量a与b的夹角.,两式相减得46ab-23b2=0, 即b(2a-b)=0, 所以b=0(舍去)或2a-b=0, 由2a-b=0知a与b
12、同向,故向量a与b的夹角为0.,剖析本题误用实数的运算性质,即实数a,b若满足ab=0则必有a=0或b=0,但对于向量a,b若满足ab=0,则不一定有a=0或b=0,因为由ab=|a|b|cos知与有关,当=90时,ab=0恒成立,此时a,b均可以不为0. 正解由前知b2=2ab,代入7a2+16ab-15b2=0得a2=2ab, 所以a2=b2=2ab, 故cos=则两向量的夹角=60.,评析向量的数量积与实数的积有着本质上的区别,其主要表现为运算律或运算法则上的区别,因此解答向量的数量积时,不要受到实数积形成的定势思维的影响.,技法一 方程思想,答案B 方法与技巧本题考查的是单位向量问题,
13、有关单位向量的求解常常根据题设构造方程组,通过解方程组求解.,技法二 分类讨论思想 【典例2】已知|a|=4,|b|=5,当ab时,求a与b的数量积. 解题切入点已知|a|=4,|b|=5,求ab,只需确定其夹角.注意到ab时,有=0和=180两种可能,故需分类讨论.,解因为ab,故当a与b同向时, =0,ab=|a|b|cos0=20; 当a与b反向时,=180, 所以ab=|a|b|cos180=-20. 方法与技巧对问题分类讨论时,要分类完整,做到不重不漏.,技法三 整体思想 【典例3】若向量a,b,c满足a+b+c=0,且|a|=3, |b|=1,|c|=4,则ab+bc+ca=_. 解题切入点直接运用公式求解,需确定出a与b,b与c,a与c的夹角,这是解题的一个难点,可考虑运用变形公式整体求解.,解析因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca), 所以ab+bc+ca=-13. 答案-13,方法与技巧本题是利用(a+b)2=a2+2ab+b2推广到(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac),通过整体变形来解决问题.,
