循环,卷积,交织编码理论

《循环,卷积,交织编码理论》由会员分享，可在线阅读，更多相关《循环,卷积,交织编码理论（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、概述,误码分类 噪声引入的随机误码，均匀分布 由干扰、快衰a落引起的突发误码 如何减少误码？ 从信源编码看，误码引起的性能恶化尽可能小，容错技术 从传输看，可采用抗干扰能力强的调制方式，信道特性不理想可采用均衡。特别需要差错控制技术。数字通信中，要求误码率108以下，必须采用差错控制。,9.1.1 差错控制分类,需要双向信道，和前向信道有相同的通信容。 引入较大的停顿（不实时）。 可以纠正任何错误。,1. 反馈检验法,2. 检错重发法（ARQ）,自动请求重发 也需要反向信道，但容量可以降低，也会引入停顿,3. 前向纠错（FEC）,不需要双向信道 不会引入停顿 靠纠错编码,9.1.2 差错控制编

2、码的基本原理,如用三位二进制编码来代表八个字母000 A 100 E001 B 101 F010 C 110 G011 D 111 H 不管哪一位发生错误，都会使传输字母错误如用三位字母传四个字母000 A 011 B 101 C 110 D 发生一位错误，准用码字将变成禁用码字，接收端就能知道出错，但是不能纠错。,差错控制编码,如用三位字母传二个字母000 A 111 B 检三个错误，纠正一个错误。结论 具有检错或纠错的码组，其所用的比特数必须大于信息码组原来的比特数引入余度。,码重、码距,码重(weight) 一个码组中“1”的数目 码距(distance) 两个码组之间对应位置上1、0不

3、同的位数，又叫汉明(Hamming)距。10 1 1 0 码重：301 1 0 0 2 距离：3,检错、纠错能力,为检查出 个错误，要求最小码距为为纠正 个错误，要求最小码距为为纠正 个错误，同时检查出 个错误，要求最小码距为,9.1.3. 差错控制编码分类,按功能分 检错码 纠错码 纠删码（发现不可纠正的错误时，可发出指示或删除） 按信息码元和监督码元之间的校验关系分 线性码 非线性码 按信息码元和监督码元之间的约束方式分 分组码 卷积码,香农理 纠错码的理论基础,香农定理 存在噪声干扰的信道，若信道容量为C，只要发送端以低于C的速率R发送信息（R为输入道编码器的二进制码元速率），则一定存在

4、一种编码方式，使编码的错误概率随着码长n的增加将按指数下降道任一的值，即结论 如码长及发送信息速率一定，可以通过增大信道容量，使P减小。 如在信道容量及发送信息速率一定，可以通过增加码长，使错误概率下降。,分组码,表示： (n,k)n : 帧长 k/n : 编码效率 特点 监督码只用来监督本帧中的信息位 分类 线性码 信息码与监督码之间为线性关系 非线性码 不存在线性关系,奇偶监督码,偶监督 奇监督 如果以上关系被破坏，则出现错误，因此能检查出奇数个错误，但不能检测偶数个错误。最小码距为 dmin=2 这种码检错能力不高，采用什么方法提高呢？,水平奇偶监督码和水平垂直监督码,又叫 二维奇偶监督

5、码 水平奇偶监督码 检码字按行排成方阵，每行采用奇偶监督码，发送时按列的顺序传送，接收时仍将码字排列成发送时方阵形式，然后按行进行奇偶校验。 在不增加冗余度时，不仅发现某一行上奇数个错误，而且也能发现不大于方阵行数的突发错误。 水平垂直奇偶监督码 不仅对行进行奇偶校验，而且也对列进行奇偶校验。,等比码,在码长一定时，“1”码和“0”码的比例恒定。已用于电报传输中。 五中取三01011 11001表示十位数字，C53=10种许用码组。,分组码 (1),分组码的监督方程矩阵形式,9.2 线性分组码,分组码 (2),监督矩阵H矩阵称为典型形式，各行一定是线性无关的。而一个非典型形式的经过运算可以化成

6、典型形式，通过监督矩阵可以知道监督码和信息码的监督关系。,分组码 (3),生成矩阵，通过生成矩阵可以得到生成码组。 如果输入码组为 0011,分组码 (4),由这种方式得到的生成矩阵称为典型生成矩阵，由它产生的分组码必定为系统码，也就是信息码字保持不变，监督位附加其后，每行一定是线性无关的，每行都是一个生成码组。,汉明码,汉明码监督位为 位，因此它可以组成 种可能情况，其中一个为无错。因此可以监督码位共 要纠正一个错误，必须满足最小码距如果 r 位监督位所组成的校正子码组与误码图样一一对应，这种码组称为完备码（取等号时）,扩展汉明码,如果在汉明码基础上，再加上一位对所有码字进行校验的监督位 监

7、督码字由 r 位增加到 r+1 位 信息位不变码长 码结构 纠 1 位错，检测 2 位错 如 （8，4），（16，11）,扩展汉明码矩阵,如 (7,4) (8,4),缩短汉明码,(n,k) (n-s, k-s) 如 (15,11) (12,8)监督矩阵 Hs 是将原 H 的前 3 列 去掉 缩短汉明码的最小码距至少和原来码的码距相同，因为监督位没有变。,能纠 t 个错误的(n,k)应满足取等号时为完备码 不同结构的线性码其纠错能力不同，能力和dmin 有关，dmin 越大越好。,最小码距界限,上界： 汉明界， 普洛特金界 下界： 吉尔伯特界 问题： 给定码长与编码效率，寻找 dmin 例： d

8、min=5, 码长=63 的分组码设计从汉明界得，因此信息位最多可以取,最小码距界限,通过吉尔伯特界求下界线性码 k 越接近 52， 效率越高。,9.3 循环码 (Cyclic code),1957 年发现 特点 线性分组码 循环性任一许用码字经过循环移位后，得到的码组仍为一个许用码组如 是循环码的一许用码组 则 也是一许用码组,码多项式表示,码组码多项式 码组 码多项式 左移一位左移 位,循环码性质,为许用码组，则 也是许用码组 性质若 是长度为n的循环码组，则 在按模 进行运算后，也是一个循环码组，也就是 用 多项式除后所得之余式，即为所求的码组。,循环码例子,码组 左移 3 位 去除 得

9、余式如 左移 3 位后，得是许用码组,循环码生成多项式g(D),g(D) 是 D的 (n-k) 次即r 次多项式信息多项式为M(D),k 位，(k-1)次多项式,Theo.一个(n,k) 的二进制循环码可以看成是唯一由它的生成多项式产生，即如(7,3)循环码，n=7, k=3, r=4如果信息位为 010， M(D)=D生成码为 0111010,循环码生成多项式g(D),生成矩阵 G(D),由于 k 位信息位共有 个码组，都可用此法产生，如果现有信息码生成 k 个码字，且这 k 个码字都线性无关，用这 k 个码字作为一个矩阵G 的 k行构成生成矩阵 G(D),循环码,(7,3) 循环码,生成矩

10、阵和监督矩阵,这样构成的循环码并非是系统码 系统码的生成矩阵典型形式 非系统码 系统码 生成矩阵监督矩阵,非系统码 系统码,系统码的码多项式为例如，(7,4)码，1011,非系统码 系统码,寻找生成多项式,Theo. 循环码的生成多项式必须能除尽h(D)是监督多项式 例：要构成(7,3)循环码，求g(D).解：g(D)应为4阶生成(7,6)循环码 生成(7,1)循环码,循环码的编码器,原理：按系统码的生成方式以(7,4)码为例,循环码的译码器,译码比编码复杂得多 译码三步 伴随式S的计算 由S得到错误图样 纠正,伴随式的计算,发送码组 接收码组 误差码组校正子只与 E 有关，根本是计算校正子,

11、9.4 BCH码,即约多项式 一个 m 次多项式不能被二元域上任何二次数小于的，但大于0的多项式除尽，如 是即约的。 本原多项式 若m次多项式P(x)除尽的 的最小正整数 n 满足 ，就称为本原的。 如 能除尽 ，但除不尽 的 。 如 ： 是即约的，但不是本原的，因它能除尽 。,9.4.1 本原循环码,由本原多项式构成的码称为本原码。 特点 码长为 它的生成多项式是由若干m阶或以m的因子为最高阶的多项式相乘而构成。 要判定(n,k) 的循环码是否存在，只需要判断 n-k 阶的生成多项式是否能由 Dn+1的因式构成。,循环码例子,生成多项式的阶次为 r, 该生成多项式是否是 的因此。 一个m阶即

12、约多项式一定能除尽 如，m5，共有6个5阶即约多项式。再加上 因子， 是以上7个多项式的乘积。,9.4.2 BCH 码的生成多项式,如果循环码形式的形式为为纠错个数 ， 为最小多项式，为最小公倍数最小码距 码长为 的BCH码称为 本BCH码（侠义） 码长为 则称为非本原BCH码,BCH 码,由于g(D)有t个因式，且每个因式的最高次为m，因此监督码元最多有mt位。对于纠t 个错误的本原BCH码，其生成多项式纠单个错误的本原BCH码字为汉明码。表1113给出了 n5的本原BCH码。1114给出了部分非本原BCH码。,BCH 码例子,纠正 3 个错误，码长为15的BCH码解：n=15, m=5 查

13、表11-12得，23 37 07这是(15,5)码。,重要的BCH码 (23,12),表1114中最重要的BCH码是(23,12)称为格雷码，码间为7，能纠正3个错误。生成多项式在实际通信系统中，所要求的n、k并不是码表中所推荐的值，在这时我们可以采用缩短或扩展的方式加以修正，也就是通过增加信息符号或校验符号来增加码组长度，或减少信息和校验位来减少码组长度。,BCH码,如 BCH码的码长为奇数，而有时需要偶数码长，这时可以在原BCH码生成多项式中乘以（D+1)因子，从而得到（n+1,k）扩展BCH码，这时相当于在原BCH码上加一个全校验位，从而将码距增加1，这时的码字不具有循环性。如果BCH码

14、不是2m-1或它的因式，这时可以采用缩短的方式，去掉s位信息，(n-s , k-s),RS码 Reed-Solomon,非二进制BCH码，输入以符号来考虑 假定每组有 K 个符号，每个符号用m比特，输入信息将是 Km 比特。,RS码,RS码适合于纠正突发错误，纠正的错误图样有对于一个长度为 符号的RS码，每个符号都可以看成是有限域 中的一个元素，如RS码的最小码距为d符号，则生成多项式,9.5 纠正和检测突发错误的分组码 交织码interleaved,在水平垂直监督码中将信息码排列成方阵，然后对行和列分别进行检验，可以达到检测突发错误的目的。 如果方阵中行码是能纠 t 个随机错误，交织后能纠t个长度为i的突发错误。i称为交织深度。,循环码构成交织码,采用循环码构成交织码时，可以不采用方阵就能实现编码。 假设交织码每行为 循环码，其生成多项式为 ， 可以除尽 ，如交织深度为 其交织码为 ,其生成多项式为可以除尽 ，所以 也是循环码。,循环码构成交织码 (续),如，循环码(7,4)， 其生成多项式为构成交织深度为3 的(21,12)交织码。交织码的生成多项式为它也是循环码，可以用循环码的方式构成。在发送端可以不排成方阵，但是在译码时，必须将码字排列成 阵列，然后分别独立的对每行码字进行译码。,