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1、第六章 方差分析,第一节 方差分析的基本原理 第二节 多重比较 第三节 方差分析的线性模型与期望均方 第四节 单向分组资料的方差分析 第五节 两向分组资料的方差分析 第六节 方差分析的基本假定和数据转换,第一节 方差分析的基本原理,所谓方差分析(analysis of variance) ,是关于k(k3)个样本平均数的假设测验方法，是将总变异剖分为各个变异来源的相应部分，从而发现各变异原因在总变异中相对重要程度的一种统计分析方法。,假设测验的依据是:扣除了各种试验原因所引起的变异后的剩余变异提供了试验误差的无偏估计 。,这里采用均方来度量试验处理产生的变异和误差引起的变异.,方差是平方和除以
2、自由度的商。,一、自由度和平方和的分解,设有k组数据，每组皆具n个观察值，则该资料共有nk个观察值，其数据分组如表6.1。,表6.1 每组具n个观察值的k 组数据的符号表,在表6.1中，总变异是nk个观察值的变异，故其自由度 v = nk1，而其平方和SST则为：,（61）,其中的C称为矫正数：,(62),对于第 i 组的变异，有,从而总变异(61)可以剖分为:,（63）,即 总平方和=组内(误差)平方和+处理平方和,组间变异由k个 的变异引起，故其自由度 v =k1 , 组间平方和 SSt 为：,组内变异为各组内观察值与组平均数的变异，故每组具有自由度 v =n1和平方和 ；而资料共有k 组
3、，故组内自由度 v = k (n1) ,组内平方和 SSe 为：,(65),（64）,因此，得到表6.1类型资料的自由度分解式为：,(66),总自由度DFT =组间自由度DFt +组内自由度DFe,求得各变异来源的自由度和平方和后，进而可得:,(67),例6.1 以A、B、C、D 4种药剂处理水稻种子，其中A为对照，每处理各得4个苗高观察值(cm)，其结果如表6.2，试分解其自由度和平方和。,表6.2 水稻不同药剂处理的苗高(cm),根据(66)进行总自由度的剖分：总变异自由度 DFT=(nk1)=(44)1=15药剂间自由度 DFt=(k1)=41=3药剂内自由度 DFe=k(n1)=4(4
4、1)=12,根据(63)进行总平方和的剖分：,或,或 药剂A内： 药剂B内： 药剂C内： 药剂D内：,所以,进而可得均方：,二、F分布与F测验,在一个平均数为 、方差为 的正态总体中，随机抽取两个独立样本，分别求得其均方 s12 和 s22，将 s12 和 s22 的比值定义为F：,（68）,此F值具有s12 的自由度 v1 和 s22 的自由度 v2。,所谓F分布，就是在给定的 v1 和 v2 下按上述方法从正态总体中进行一系列抽样，就可得到一系列的F 值而作成一个分布。,F分布下一定区间的概率可从已制成的统计表查出。,F分布曲线特征： （1）具有平均数 =1 （2）取值区间为0，； （3）
5、某一特定曲线的形 状则仅决定于参数 v1和 v2 。 在 v1=1或 v1=2时，F分布 曲线是严重倾斜成反向J型；,当 v13时，曲线转为偏态(图6.1)。,图6.1 F分布曲线 （随v1和v2的不同而不同）,F测验需具备条件： (1)变数y遵循正态分布N( ， )， (2) s12 和 s22 彼此独立 。,另外，在F 测验中，如果作分子的均方小于作分母的均方，则F0.05，应接受H0。,例6.2 测定东方红3号小麦的蛋白质含量10次，得均方 s12 =1.621；测定农大139小麦的蛋白质含量5次，得均方 s22 =0.135。试测验东方红3号小麦蛋白质含量的变异是否比农大139为大。,
6、假设H0：东方红小麦总体蛋白质含量的变异和农大139一样，即 ，对 。,显著水平 =0.05，v1=9，v2 =4时，F0.05 =6.00。,测验计算: F =1.621/0.135=12.01,此FF0.05，即PF0.01F0.05 。,推断：否定 ，接受 ；即药剂间变异显著地大于药剂内变异，不同药剂对水稻苗高是具有不同效应的。,例6.1和例6.3的分析结果可以归纳在一起，列出方差分析表，如表6.3所示。,表6.3 水稻药剂处理苗高方差分析表,第二节 多重比较,所谓多重比较（multiple comparisons）是指一个试验中k个处理平均数间可能有k(k1)/2个比较，亦称为复式比较
7、。,多重比较有多种方法，本节将介绍常用的三种：最小显著差数法复极差法( q法) Duncan氏新复极差法,一、最小显著差数法,最小显著差数法(least significant difference，简称LSD法)， 法实质上是第五章的t 测验。其程序是：（1）在处理间的F测验为显著的前提下，计算出显著水平为 的最小显著差数 ；（2）任何两个平均数的差数( )，如其绝对值 ，即为在水平上差异显著；反之，则为在水平上差异不显著。,已知：,若|t| ， 即为在 水平上显著。,因此，最小显著差数为：,(69),当两样本的容量n相等时，,在方差分析中，上式的se2有了更精确的数值 MSe（因为此自由度
8、增大），因此(69)中 的为：,(610),例6.4 试以LSD法测验表6.2资料各种药剂处理的苗高平均数间的差异显著性。,由(例6.3)计算得F=20.56为显著，MSe=8.17，DFe=12，,故,由附表4，v =12时，t0.05 =2.179，t0.01=3.055,故 LSD0.05 =2.1792.02=4.40(cm)LSD0.01=3.0552.02=6.17(cm),然后将各种药剂处理的苗高与对照苗高相比，差数大于4.40cm为差异显著；大于6.17cm为差异极显著。,二、q法,q测验是Student-Newman-Keul基于极差的抽样分布理论提出来的，或称复极差测验，有
9、时又称SNK测验或NK测验。,q法是将一组k个平均数由大到小排列后，根据所比较的两个处理平均数的差数是几个平均数间的极差分别确定最小显著极差值 的。q测验因是根据极差抽样分布原理的，其各个比较都可保证同一个 显著水平。,q测验尺度值构成为：,(611),(612),式中2pk，p是所有比较的平均数按大到小顺序排列所计算出的两极差范围内所包含的平均数个数(称为秩次距)。SE为平均数的标准误，可见在每一显著水平下该法有 k1个尺度值。,平均数比较时，尺度值随秩次距的不同而异。,例6.5 试对表6.2资料的各平均数作q测验。,由6.1资料得：,查附表7 q值表，当DF=12时，p=2，3，4的 值，
10、并由(611)计算出尺度值 ，列于表6.4。,表6.4 表6.2资料 值的计算(q测验),由表6.2可知, =29cm， =23cm, =18cm， =14cm。：,由此可得到,-,-,-,-,三、新复极差法,新复极差法是D.B. Duncan(1955)基于不同秩次距p下的最小显著极差变幅比较大而提出的，又称最短显著极差法( shortest significant ranges，SSR )。,查得 后，有,（613）,此时，在不同秩次距p下，平均数间比较的显著水平按两两比较是 ，但按p个秩次距则为保护水平,例6.6 试对表6.2资料的各平均数作新复极差测验。,已知 =29cm， =23cm
11、，=18cm， =14cm，MSe=8.17，,查附表8，得值，由(613)算得在p=2，3，4时的值(表6.5)，即为测验不同p时的平均数间极差显著性的尺度值。,表6.5 表6.2资料LSR值的计算(新复极差测验),当p=2时， =6(cm) 5水平显著；=5(cm) 5水平显著；=4(cm) 不显著。 当p=3时， =11(cm) 1水平上显著；=9(cm) 1水平上显著。 当p=4时， =15(cm) 1水平上显著。,结论：表6.2资料的4个处理的苗高，除处理A与C差异不显著外，其余处理间均达显著差异，本例结果与上面介绍的q测验法相同，但q法的 要比新复极差法的 大。,四、多重比较结果的
12、表示方法,(一) 列梯形表法 (二) 划线法 (三) 标记字母法,将全部平均数从大到小顺次排列，然后算出各平均数间的差数。凡达到 =0.05水平的差数在右上角标一个“*”号，凡达到 =0.01水平的差数在右上角标两个“*”号,凡未达到 =0.05水平的差数则不予标记。若以列梯形表法表示，则成表6.6。,(一) 列梯形表法,表6.6 表6.2资料的差异显著性(新复极差测验),优点：十分直观， 缺点：占篇幅较大，特别是处理平均数较多时。,(二) 划线法,将平均数按大小顺序排列，以第1个平均数为标准与以后各平均数比较，在平均数下方把差异不显著的平均数用横线连接起来，依次以第2，k1个平均数为标准按上
13、述方法进行。这种方法称划线法。下面就是表6.2资料用划线法标出0.01水平下平均数差异显著性结果(q法)。,优点：直观、简单方便，所占篇幅也较少。,(三) 标记字母法：,（1）将全部平均数从大到小依次排列。（2）在最大的平均数上标上字母a；将该平均数与以下各平均数相比，相差不显著的，都标上字母a，直至某一个与之相差显著的平均数则标以字母b(向下过程)，（3）再以该标有b的平均数为标准，与上方各个比它大的平均数比，凡不显著的也一律标以字母b(向上过程)； 再以该标有b的最大平均数为标准，与以下各未标记的平均数比，凡不显著的继续标以字母b，直至某一个与之相差显著的平均数则标以字母c。,（4）如此重复进行下去，直至最小的一个平均数有了标记字母且与以上平均数进行了比较为止。（5）这样各平均数间，凡有一个相同标记字母的即为差异不显著，凡没有相同标记字母的即为差异显著。在实际应用时，可以小写字母表示 =0.05显著水平，大写字母表示 =0.01显著水平。,
