.直角三角形的边角关系

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1、1 直角三角形的边角关系适用学科初中数学适用年级初中三年级适用区域北师大版本课时时长（分钟）120 分钟知识点锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、解直角三角形及应用教学目标复习和巩固三角函数的关系，联系勾股定理教学重点1.理解锐角三角函数正弦、余弦、正切和余切的意义，并能举例说明；2.能用 sinA 、cosA 、tanA 、cotA 表示直角三角形两边的比；3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算. 教学难点用函数的观点理解正弦、余弦和正切。教学过程一、复习预习复习勾股定理， 复习直角三角形边与角的关系，学会掌握为什么是0.618 ，台风问题等等二、知识讲解1. 直角三角形的边角关

2、系（如图）（1）边的关系（勾股定理）： ；（2）角的关系：=C=900；（3）边角关系：00901230CBCAB A2 ：锐角三角函数：A的=Aasin A=c的对边，即斜边；A的=AbcosA= c的邻边，即 斜边, A的=Aatan= Ab的对边，即 的邻边注：三角函数值是一个比值2. 三角函数的大小比较(1) 同名三角函数的大小比较正弦、正切是增函数三角函数值随角的增大而，随角的减小而余弦、余切是减函数三角函数值随角的增大而，随角的减小而。(2) 异名三角函数的大小比较tanA SinA，由定义知tanA=，sinA= ；因为 b c，所以 tanA sinA cotA cosA由定义

3、知cosA=，cotA= ；因为 a c，所以 cotA cosA若 0A45，则 cosAsinA ，cotA tanA ；若 45A90，则 cosAsinA ，cotA tanA 3、运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题1、实际问题中有关名词、术语的意义：仰角与俯角：在进行测量时，从下往上看，视线与的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做.如图 1. 坡角与坡度：坡面与的夹角叫做坡角，图2 中的 是坡角；坡面的垂直高度h 和的比叫做坡度 .即坡度tan lhi3 三、例题精析【例 1】 等腰三角形底边长为10 ，周长为36cm，那么底角的余弦等于（） （A）513（B）1

4、213（C）1013（D）512课堂训练题在 ABC中，若三边BC ,CA,AB满足BC：CA：AB=5：12：13，则 cosB= （）A.125B. 512 C.135D.1312【例 2】 已知1sin2A，且 A 为锐角，则A=（）A.30 B.45 C.60 D.75 课堂训练题cos30 =( ) A.12B.22C.32D.3【例 3】王英同学从A 地沿北偏西60o 方向走 100m 到 B 地，再从B 地向正南方向走200m到 C地，此时王英同学离A 地 （）（A）350m （B） 100 m （C）150m （D）3100m 【解题思路】作出如图所示的图形，则BAD90 60

5、 30 ，AB100，所以 BD50，cos30 ADAB，所以 AD503，CD200 50150，在 RtADC中，AC22ADCD22(503)1501003. 4 课堂训练题在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点1000m的C地去，先沿北偏东70方向到达B地，然后再沿北偏西20方向走了500m到达目的地C,此时小霞在营地A的（）A. 北偏东20方向上B.北偏东30方向上C.北偏东40方向上D. 北偏西30方向上【例 4】如图，已知 ABC中， ABC=45 ，F是高 AD 和 BE的交点， CD=4，则线段 DF的长度为 ( ) A22B4 C3 2D4 2课堂训练题

6、如图 6-32，在菱形ABCD中， ADC=120 ，则 BDAC等于（）（A）2:3（ B）3:3（C）1 2 （D）1:2【例 5】 如图，在高出海平面100 米的悬崖顶A 处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为 45 ,则船与观测者之间的水平距离BC =米5 课堂训练题如图， 孔明同学背着一桶水，从山脚A出发， 沿与地面成30角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（B处） ，80AB米， 则孔明从A到B上升的高度BC是米【例 6】如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度 .已知在离地面1500m，高度 C处的飞机，测量人员测得正前方A、B 两点处的俯角分别为60

7、 和 45 ，求隧道AB的长 . OA3500 33150030tan1500， OB=OC=1500 ，AB=635865150035001500(m). 即隧道 AB的长约为 635m. 6 课堂训练题某兴趣小组用高为1.2 米的仪器测量建筑物CD 的高度如示意图，由距CD 一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为，在 A 和 C 之间选一点B，由 B 处用仪器观察建筑物顶部 D 的仰角为测得 A， B 之间的距离为4 米，tan1.6，tan1.2，试求建筑物 CD的高度【例 7】如图，一条小船从港口A出发，沿北偏东40方向航行20海里后到达B处，然后又沿北偏西30方向航行10海里

8、后到达C处问此时小船距港口A多少海里？（结果精确到 1 海里）友情提示： 以下数据可以选用：sin400.6428，cos400.7660，tan400.8391，31.732解：过B点作BEAP，垂足为点E；过C点分别作CDAP，CFBE，垂足分别为点DF，则四边形CDEF为矩形CDEFDECF，30QBC，60CBF2040ABBAD，cos40200.766015.3AEAB；sin40200.642812.85612.9BEAB1060BCCBF，sin 60100.8668.668.7CFBC；cos60100.55BFBC12.957.9CDEFBEBFA C D B E F G

9、CQBFAEDP北40307 8.7DECF ，15.38.724.0ADDEAE 由勾股定理，得222224.07.9638.4125ACADCD即此时小船距港口A约 25 海里 . 课堂训练题如图所示， MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到 N 的走向为南偏东30，在 M 的南偏东60方向上有一点A，以 A 为圆心， 500 米为半径的圆形区域为居民区，则MN 上另一点 B， 测得 BA的方向为南偏东75.已知400MB米，通过计算回答， 如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？M北东BAN【例 8】如图，某货船以20 海里 /时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，

10、经16 小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里 /时的速度由A 向北偏西60 方向移动 .距台风中心200 海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响 . （1）问 B处是否会受到台风的影响？请说明理由. （2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？（供选用的数据：21.4 ，31.7 ）【参考答案】解： （1）过点 B作 BDAC，垂足为D.依题意得： BAC=30 ，Rt ABD中，BD=AB= 20 16=160200，B处会受到台风的影响. （2）以点 B 为圆心， 200 海里为半径画圆交AC 于 E、F（如图），8 由勾股定理可求

11、得：DE=120， AD=1603，AE=ADDE=1603 120， 401203160=3.8（小时）该船应在3.8 小时内卸完货物. 课堂训练题如图，某船以每小时36 海里的速度向正东航行，在A 点测得该岛在北偏东60 方向上，航行半小时后到B 点，测得该岛在北偏东30 方向上，已知该岛周围16 海里内有暗礁 . （1）试说明 B点是否在暗礁区域外；（2）若继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由. 课后自我检测9 A 类题（ 10 道题）1.在 RtABC中， C90 ，若43tan A，则 sinA（）A. 34B. 43C. 35D. 532.在ABC中， C90 ，AB2，BC 3

12、，则 tan 2A.3.计算3cos60cot303的值是（）A.27B.65C.23D.2234.在 RtABC中， C90 ， 31tan A，AC6，则 BC的长为（）A.6 B.5 C.4 D.25.ABC 中， A、 B 均为锐角，且0)3sin2(3tan2AB，试确定 ABC 的形状 . 6.已知正方形ABCD的两条对角线相交于O，P是 OA上一点，且 CPD 60 ，则 POAO.7.在 RtABC中，CD是斜边 AB 上的高线， 已知 ACD的正弦值是32， 则 ABAC的值是（）A.52B.53C.25D.328.如图，在 RtABC中， C90 ，sinA52，D为 AC

13、上一点， BDC 45 ，DC6，求 AB的长 . 10 9.某水库大坝横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD3 米，斜坡AD16 米，坝高8 米，斜坡 BC的坡度i13，求斜坡AB的坡角和坝底宽AB. 10.在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，如图，某学生在点A 处观测到河对岸水边处有一点 C，并测得 CAD45 ，在距离 A 点 30 米的 B 处测得 CBD 30 ，求河宽 CD （结果可带根号） . B类题（ 10 道题）1.某人沿倾斜角为的斜坡前进100 米，则他上升的高度为（）A.sin100米B.sin100米C. cos100米D.cos100米2.若3 tan(10 )1，则锐角

14、的度数是（）A.20 B.30 C.40 D.50 3.已知 cos0.5，那么锐角的取值范围是（）A.60 90B.0 60C.30 90D.0304.ABC中， ACB 90，CD是 AB边上的高，则 CBCD等于（）A.cosB B.tanA C.cosA D.sinA5.已知等腰梯形ABCD中，ADBC18cm，sinABC352，AC与 BD 相交于点O，BOC120，试求 AB 的长 . 6.如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A 到墙根 O 的距离为2 米，梯子的顶端B 到地面的距离为7 米.现将梯子的底端A 向外移动到A，使梯子的底端A到墙根 O 的距离等于3米，同时梯子的顶端B

15、 下降到B，那么BB（）A.等于 1 米B.大于 1 米C. 小于 1 米D.不能确定7.如图，已知四边形ABCD 中， ABBC2， ABC120， BAD 75， D60，求 CD的长 . 12 8.如图，塔 AB 和楼 CD的水平距离为80 米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别为 45和 60， 试求塔高与楼高 （精确到0.01 米） . （参考数据：21.41421，31.73205）9.如图，直升飞机在跨河大桥AB的上方 P点处，此时飞机离地面的高度PO450 米，且 A、B、O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为30，45，求大桥AB的长（精确到 1 米，选用数据：21.41，3 1.73）10.一艘渔船正以30 海里小时的速度由西向东追赶鱼群，在 A 处看见小岛C在船的北偏东60方向， 40 分钟后，渔船行至B 处，此时看见小岛C 在船的北偏东30方向，已知以小岛C为中心周围10 海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶13 鱼群，是否有进入危险区域的可能？C类题（ 10 道题）1.在 RtABC中， C90，下列式子不一定成立的是（）A.cosAcosB B.cosAsinB C.sinAcosB D. 2cos2