《(甘志国)斜抛运动的最佳抛射角》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(甘志国)斜抛运动的最佳抛射角（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、斜抛运动的最佳抛射角甘志国 (该文已发表数学通报， 2011(12)：35-36) 文献 1介绍了球星德拉普(Rory John Delap) ：斯托克城属于英超中的一支中下游足球队，但是该队参加的每一场比赛，往往都能成为人们关注的焦点，因为它拥有一位擅长掷远距离界外球、最远距离为48.17 米的世界记录创造者，他就是后卫德拉普(图 1).阿森纳主帅温格曾在一场比赛前说：“德拉普的手臂太可怕了，上天保佑这场比赛中他没有掷界外球的机会.”图 1界外球怎样才能掷得更远呢？图 2通常会认为， 以初速度0v、抛射角)900(掷出的球在不计空气阻力时的运动是斜抛运动 (图 2)，其运动轨迹的参数方程为2
2、 0021sincosgttvytvx(其中yx,分别表示球在时刻t飞行的水平距离和竖直高度，g为重力加速度)由此可得球的射程为2sin2 0 gvs公式说明，球的射程s与初速度0v及抛射角均有关，当0v一定时，当且仅当45时射程s最大 . 但文献 1还说，英国物理学家尼克林斯纳尔却给出了否定的答案：球员把求掷得最远时，出手时的初速度与水平方向的夹角并不是45，而是25至30.产生这一结果的原因是：对于公式，当0v为定值时，45时s最大；而当为定值时，0v越大s就越大 .可见球的飞行距离与初速度0v及抛射角均有关 .而在45时0v不能达到最大值，所以在3025时，0v可达到最大值， 所以s取到
3、最大值也是可能的 .早在 2003 年，笔者就在文献2中阐述了这样的观点：掷球的最佳抛射角应小于45.文献 1的出现，使笔者重新研究“斜抛运动的最佳抛射角”，并得到了漂亮的结论：定理如图 3，以初速度0v、抛射角)900(使物体作斜抛运动，当射程s最大 时 (也 即 起 点O到 落 点A的 距 离 最 大 ( 因 为 在 图3(a)中sOA， 在 图3(b), (c) 中hhsOA,222为定值 )，此时的抛射角叫做最佳抛射角，此时的抛射方向是起点O竖直向上的方向OB与OA形成的角BOA的平分线，且OA是问题运动轨迹(抛物线OCA)的焦点弦 .图 3证明易知图3 中抛物线OCA的参数方程为(其
4、中gtyx,的意义也同中诸字母的意义 )2 0021sincosgttvytvx(其中yx,分别表示球在时刻t飞行的水平距离和竖直高度，g为重力加速度)化为普通方程，得tancos2222 0xxvgy由文献 3的结论立知，其焦点为 gvgvF22cos,22sin2 02 0.即证OAFOAvBOA,20.(1) 图1(a) 的 情 形 . 由 式 可 得450OAv， 又90BOA， 所 以OAFOAvBOA,20.(2)图 1(b)的情形 (因为掷球时有一个出手高度)0(hh，掷球时出手高而落点低)，用0t表示球运行到落点时的飞行时间，得2 000021sincosgttvhtvs所以0
5、2tan2tan2 022 022hvgssvgs因为这个关于“tan”的一元二次方程有实数解，所以0)2(42 0224 02hgvsgvs又0s，所以ghvgvs22 00进而可得，当且仅当2 0211tanvgh，即2 021cot vgharc时，s取最大值，且最大值是ghv gv22 00.所以在图3 中，最佳抛射角应为2 021cot vgharc，它显然小于45.可得ghv ghv2 tan1tan22tan2 00 2，又ghvghvhs2tan2 00，所以)90(2180,2,2tantan，即OAvBOA02.可得直线OA的方程为xghvghvxshy22 00再由2 0
6、21cot vgharc可验证OAF.(3) 图1(c) 的 情 形 . 同 理 可 算 得 最 大 射 程ghvgvs22 00， 最 佳 抛 射 角2 021cot vgharc.可得ghv ghv22tan2 00，又ghvghvhs2cot2 00，所以)(290,902,cot2tan，即OAvBOA02.可得直线OA的方程为x ghvvghxshy 22 00再由2 021cot vgharc可验证OAF.该 定 理 是 有 用 的 . 设 想 在 地 面OA上 从 点O开 始 让 物 体 作 斜 抛 运 动 ， 由OAvBOA02可迅速确定最佳抛射方向(即使起点O到落点A的距离最大的初速度0v的方向 )；设想图1(c)中的坐标原点是大炮口，落点A是射击目标，为增加隐蔽性，应使射程s越远越好，所以上述最佳抛射角在军事上也是有用的.参考文献1 戴静 .界外球怎样才能掷得更远J.数理天地 (高中版 )， 2011(1)：462 甘志国 .推铅球的最佳抛射角应小于45J.数学通讯， 2003(20)：203 王四清 .浅谈培养学生观察归纳能力J.数学通讯， 2001(5)：6-7
