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1、,MATLAB数值积分与微分 1 数值积分 2 数值微分,8.1 数值积分 8.1.1 数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间a,b分成n个子区间xi,xi+1，i=1,2,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。,8.1.2 数值积分的实现方法 1变步长辛普生法 基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：I,n=quad(fname,a,b,tol,trace) 其中fname是被积
2、函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。,例8-1 求定积分。(1) 建立被积函数文件fesin.m。 function f=fesin(x) f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);(2) 调用数值积分函数quad求定积分。 S,n=quad(fesin,0,3*pi) S =0.9008 n =77,2牛顿柯特斯法 基于牛顿柯特斯法，MATLAB给出了quad8函数来求定积分。该函数的调
3、用格式为： I,n=quad8(fname,a,b,tol,trace) 其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。,例8-2 求定积分。 (1) 被积函数文件fx.m。 function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x); (2) 调用函数quad8求定积分。 I=quad8(fx,0,pi) I =2.4674,例8-3 分别用quad函数和quad8函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数
4、的调用次数。 调用函数quad求定积分： format long; fx=inline(exp(-x); I,n=quad(fx,1,2.5,1e-10) I =0.28579444254766 n =65,调用函数quad8求定积分： format long; fx=inline(exp(-x); I,n=quad8(fx,1,2.5,1e-10) I =0.28579444254754 n =33,3被积函数由一个表格定义 在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。 例8-4 用trapz函数计算定积分。
5、命令如下： X=1:0.01:2.5; Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量 trapz(X,Y) ans =0.28579682416393,8.1.3 二重定积分的数值求解 使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为： I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace) 该函数求f(x,y)在a,bc,d区域上的二重定积分。参数tol，trace的用法与函数quad完全相同。,例8-5 计算二重定积分 (1) 建立一个函数文件fxy.m： function f=fxy(x,y) global ki; ki=ki+1;
6、%ki用于统计被积函数的调用次数 f=exp(-x.2/2).*sin(x.2+y); (2) 调用dblquad函数求解。 global ki;ki=0; I=dblquad(fxy,-2,2,-1,1) ki I =1.57449318974494 ki =1038,8.2 数值微分 8.2.1 数值差分与差商 8.2.2 数值微分的实现 在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff，其调用格式为： DX=diff(X)：计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,n-1。 DX=diff(X,n)：计算X的n阶向前差分。例如，d
7、iff(X,2)=diff(diff(X)。 DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。,例8-6 生成以向量V=1,2,3,4,5,6为基础的范得蒙矩阵，按列进行差分运算。 命令如下： V=vander(1:6) DV=diff(V) %计算V的一阶差分,例8-7 用不同的方法求函数f(x)的数值导数，并在同一个坐标系中做出f(x)的图像。 程序如下： f=inline(sqrt(x.3+2*x.2-x+12)+(x+5).(1/6)+5*x+2); g=inline(3*x.2+4*x-1)./sqrt(x.3+2*x.2-x+12)/2+1/6./(x+5).(5/6)+5); x=-3:0.01:3; p=polyfit(x,f(x),5); %用5次多项式p拟合f(x) dp=polyder(p); %对拟合多项式p求导数dp dpx=polyval(dp,x); %求dp在假设点的函数值 dx=diff(f(x,3.01)/0.01; %直接对f(x)求数值导数 gx=g(x); %求函数f的导函数g在假设点的导数 plot(x,dpx,x,dx,.,x,gx,-); %作图,
