高中物理竞赛数学基础

《高中物理竞赛数学基础》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中物理竞赛数学基础（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、1普通物理的数学基础普通物理的数学基础选自赵凯华老师新概念力学选自赵凯华老师新概念力学 一、微积分初步一、微积分初步物理学研究的是物质的运动规律，因此我们经常遇到的物理量大多数是 变量，而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系。这样，微积分这个数学 工具就成为必要的了。我们考虑到，读者在学习基础物理课时若能较早地掌 握一些微积分的初步知识，对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是 很有好处的。所以我们在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简 单的计算方法，在讲述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并密 切地结合物理课的需要。至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法， 读者将通过高

2、等数学课程的学习去完成。 11函数及其图形函数及其图形本节中的不少内容读者在初等数学及中学物理课中已学过了，现在我们 只是把它们联系起来复习一下。1 11 1 函数函数 自变量和因变量自变量和因变量 绝对常量和任意常量绝对常量和任意常量在数学中函数的功能是这样定义的：有两个互相联系的变量 x 和 y，如 果每当变量 x 取定了某个数值后，按照一定的规律就可以确定 y 的对应值， 我们就称 y 是 x 的函数，并记作 y=f(x），（A1） 其中 x 叫做自变量，y 叫做因变量，f 是一个函数记号，它表示 y 和 x 数 值的对应关系。有时把 y=f（x）也记作 y=y（x）。如果在同一个问题中

3、遇到 几个不同形式的函数，我们也可以用其它字母作为函数记号， 如 （x）、（x）等等。 常见的函数可以用公式来表达，例如ex等等。在函数的表达式中，除变量外，还往往包含一些不变的量，如上面切问题中出现时数值都是确定不变的，这类常量叫做绝对常量；另一类 如 a、b、c 等，它们的数值需要在具体问题中具体给定，这类常量叫做任意2常量。在数学中经常用拉丁字母中最前面几个（如 a、b、c）代表任意常量， 最后面几个（x、y、z）代表变量。 当 y=f（x）的具体形式给定后，我们就可以确定与自变量的任一特定值 x0相对应的函数值 f（x0）。例如： （1）若 y=f（x）=3+2x，则当 x=-2 时

4、y=f（-2）=3+2（-2）=-1 一般地说，当 x=x0时，y=f（x0）=3+2x01 12 2 函数的图形函数的图形在解析几何学和物理学中经常用平面 上的曲线来表示两个变量之间的函数关系， 这种方法对于我们直观地了解一个函数的 特征是很有帮助的。作图的办法是先在平 面上取一直角坐标系，横轴代表自变量 x， 纵轴代表因变量（函数值）y=f（x）这 样一来，把坐标为（x，y）且满足函数关 系 y=f（x）的那些点连接起来的轨迹就构 成一条曲线，它描绘出函数的面貌。图 A-1 便是上面举的第一个例子 y=f（x）=3+2x 的图形，其中 P1，P2，P3，P4，P5各 点的坐标分别为（-2，

5、-1）、（-1，1）、（0，3）、（1，5）、（2，7）， 各点连接成一根直线。图 A-2 是第二个例子各点连接成双曲线的一支。1 13 3 物理学中函数的实例物理学中函数的实例反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与变量之间的函数关系的。 下面我们举几个例子。 （1）匀速直线运动公式 s=s0vt， （A2） 此式表达了物体作匀速直线运动时的位置 s 随时间 t 变化的规律，在这 里 t 相当于自变量 x，s 相当于因变量 y，s 是 t 的函数。因此我们记作 s=s（t）s0vt， （A3） 式中初始位置 s0和速度 v 是任意常量，s0与坐标原点的选择有关，v 对 于每个匀速直线运动有一

6、定的值，但对于不同的匀速直线运动可以取不同的3值。图 A-3 是这个函数的图形，它是一根倾斜的直线。下面我们将看到，它 的斜率等于 v（2）匀变速直线运动公式v=v0at， （A5） 两式中 s 和 v 是因变量，它们都是自变量 t 的函数，因此我们记作vv（t）v0tat（A7） 图 A-4a、4b 分别是两个函数的图形，其中一个是抛物线，一个是直线。 （A6）和（A7）式是匀变速直线运动的普遍公式，式中初始位置 s0、初 速 v0和加速度 a 都是任意常量，它们的数值要根据讨论的问题来具体化。例 如在讨论自由落体问题时，如果把坐标原点选择在开始运动的地方，则 s00，v00，ag9.8ms

7、2，这时（A6）和（A7）式具有如下形式：vv（t）gt （A9） 这里的 g 可看作是绝对常量，式中不再有任意常量了。 （3）玻意耳定律 PVC （A10） 上式表达了一定质量的气体，在温度不变的条件下，压强 P 和体积 V 之 间的函数关系，式中的 C 是任意常量。我们可以选择 V 为自变量，P 为因变 量，这样，（A10）式就可写作它的图形和图 A-2 是一样的，只不过图中的 x、y 应换成 V、P 在（A10）式中我们也可以选择 P 为自变量，V 为因变量，这样它就应 写成由此可见，在一个公式中自变量和因变量往往是相对的。 （4）欧姆定律4UIR （A13） 当我们讨论一段导线中的电流

8、 I 这样随着外加电压 U 而改变的问题时， U 是自变量，I 是因变量，R 是常量。这时，（A13）式应写作即 I 与 U 成正比。 应当指出，任意常量与变量之间的界限也不是绝对的。例如，当我们讨 论串联电路中电压在各电阻元件上分配问题时，由于通过各元件的电流是一 样的，（A13）式中的电流 I 成了常量，而 R 是自变量，U 是因变量，于是 UU（R）IR， （A15） 即 U 与 R 成正比。但是，当我们讨论并联电路中电流在各分支里的分配 问题时，由于各分支两端具有共同的电压，（A13）式中的 U 就成了常量， 而 R 为自变量，I 是因变量，于是即 I 与 R 成反比。 总之，每个物理

9、公式都反映了一些物理量之间的函数关系，但是其中哪 个是自变量，哪个是因变量，哪些是常量，有时公式本身反映不出来，需要 根据我们所要讨论的问题来具体分析。 22导数导数2 21 1 极限极限如果当自变量 x 无限趋近某一数值 x0（记作 xx0）时，函数 f（x）的 数值无限趋近某一确定的数值 a，则 a 叫做 xx0时函数 f（x）的极限值， 并记作（A17）式中的“lim”是英语“limit（极限）”一词的缩写， （A17）式读作“当 x 趋近 x0时，f（x）的极限值等于 a”。 极限是微积分中的一个最基本的概念，它涉及的问题面很广。这里我们 不企图给“极限”这个概念下一个普遍而严格的定义

10、，只通过一个特例来说 明它的意义。 考虑下面这个函数：这里除 x1 外，计算任何其它地方的函数值都是没有困难的。例如当5但是若问 x1 时函数值 f（1）？我们就会发现，这时（A18）式的说是没有意义的。所以表达式（A18）没有直接给出 f（1），但给出 了 x 无论如何接近 1 时的函数值来。下表列出了当 x 的值从小于 1 和大于 1 两方面趋于 1 时 f（x）值的变化情况： 表表 A-1A-1 x x 与与 f f（x x）的变化值）的变化值x3x2-x-2x-10.9-0.47-0.14.70.99-0.0497-0.014.970.999-0.004997-0.0014.9970.

11、9999-0.0004997-0.00014.99971.10.530.15.31.010.5030.015.031.0010.0050030.0015.0031.00010.000500030.00015.0003从上表可以看出，x 值无论从哪边趋近 1 时，分子分母的比值都趋于一 个确定的数值5，这便是 x1 时 f（x）的极限值。 其实计算 f（x）值的极限无需这样麻烦，我们只要将（A18）式的分 子作因式分解： 3x2-x-2（3x2）（x-1）， 并在 x1 的情况下从分子和分母中将因式（x1）消去：即可看出，x 趋于 1 时函数 f（x）的数值趋于 3125。所以根据函 数极限的定

12、义，2 22 2 几个物理学中的实例几个物理学中的实例（1）瞬时速度6当一个物体作任意直线运动时，它的位置可用它到某个坐标原点 O 的距 离 s 来描述。在运动过程中 s 是随时间 t 变化的，也就是说，s 是 t 的函数：ss（t） 函数 s（t）告诉我们的是这个物体什么时刻到达什么地方。形象一些说， 假如物体是一列火车，则函数 s（t）就是它的一张“旅行时刻表”。但是， 在实际中往往不满足于一张“时刻表”，我们还需要知道物体运动快慢的程 度，即速度或速率的概念。例如，当车辆驶过繁华的街道或桥梁时，为了安 全，对它的速率就要有一定的限制；一个上抛体（如高射炮弹）能够达到怎 样的高度，也与它的

13、初始速率有关，等等。 为了建立速率的概念，我们就要研究在一段时间间隔里物体位置的改变 情况。假设我们考虑的是从 tt0到 tt1的一段时间间隔，则这间隔的大小 为 tt1-t0 根据 s 和 t 的函数关系 s（t）可知，在 t0和 t1t0+t 两个时刻，s 的 数值分别为 s（t0）和 s（t1）s（t0+t），即在 t0到 t1这段时间间隔里 s 改变了 ss（t1）s（t0）s（t0+t）s（t0） 在同样大小的时间间隔t 里，若 s 的改变量s 小，就表明物体运动得慢， 举例来说，对于匀变速直线运动，根据（A4）式有7所以体在 tt0时刻的瞬时速率 v，即对于匀变速直线运动来说，这就

14、是我们熟悉的匀变速直线运动的速率公式（A5）。 （2）瞬时加速度 一般地说，瞬时速度或瞬时速率 v 也是 t 的函数： vv（t） 但是在许多实际问题中，只有速度和速率的概念还不够，我们还需要知 道速度随时间变化的快慢，即需要建立“加速度”的概念。8类似。在直线运动中，首先取一段时间间隔 t0到 t1，根据瞬时速率 v 和 时间 t 的函数关系 v（t）可知，在 tt0和 tt1两时刻的瞬时速率分别为 v（t0）和 v（t1）v（t0+t），因此在 t0到 t1这段时间间隔里 v 改变了 v=v（t0+t）-v（t0）举例来说，对于匀变速直线运动，根据（A5）式有所以平均加速度为时的极限，这就

15、是物体在 tt0时刻的瞬时加速度 a：（3）水渠的坡度任何排灌水渠的两端都有一定的高度差，这样才能使水 流动。为简单起见，我们假设水渠是直的，这时可以把 x 坐标轴取为逆水渠 走向的方向（见图 A-5），于是各处渠底的高度 h 便是 x 的函数： h=h（x） 知道了这个函数，我们就可以计算任意两点之间的高度差。9在修建水渠的时候，人们经常运用“坡度”的概念。譬如说，若逆水渠 而上，渠底在 100m 的距离内升高了 20cm，人们就说这水渠的坡度是大小反映着高度随长度变化的快慢程度。如果用数学语言来表达，我们 就要取一段水渠，设它的两端的坐标分别为 x0和 x1，于是这段水渠的长度为 xx1-

16、x0 根据 h 和 x 的函数关系 h（x）可知，在 x0和 x1=x0+x 两地 h 的数值分 别为 h（x0）和 h（x1）h（x0+x），所以在x 这段长度内 h 改变了 hh（x0+x）-h（x0） 根据上述坡度的定义，这段水渠的平均坡度为在前面所举的数字例子里，x 采用了 100 米的数值。实际上在 100 米 的范围内，水渠的坡度可能各处不同。为了更细致地把水渠在各处的坡度反 就愈能精确地反映出 x=x0这一点的坡度。所以在 x=x0这一点的坡度 k 应 是2 23 3 函数的变化率函数的变化率导数导数前面我们举了三个例子，在前两个例子中自变量都是 t，第三个例子中 自变量是 x这三个例子都表明，在我们研究变量与变量之间的函数关系时， 除了它们数值上“静态的”对应关系外，我们往往